一类随机投入产出模型的稳定解研究

李 亮

南京审计学院数学与统计学院，江苏南京 210029

一类随机投入产出模型的稳定解研究

李 亮

南京审计学院数学与统计学院，江苏南京 210029

对时滞为1且带消费的动态投入产出模型，研究投入产出消耗系数矩阵、投资矩阵均为随机矩阵时，稳定增长解的存在性问题。利用现代概率分析及马氏过程等工具，证明不存在随机动态投入产出模型的稳定增长解。即投入产出模型反映的经济系统必须经常进行调整，其崩溃时间为无穷大的概率为零。

消耗系数矩阵；投资系数矩阵；消费；稳定增长解；崩溃时间

引言

Sargan J D从数学上指出[1]Leontief模型的内在不稳定性，由此引发数学上的争论[2]，并使数学在该领域的应用研究取得重大结果[3-5]。近年来，许多学者[4-5]使用规划等方法避开此模型的不稳定性，找出了此模型的稳定增长解。现实中，由于度量误差、经济技术变化等众多原因，使投入产出消耗系数矩阵及投资系数矩阵在实现时是随机波动的[7-8]。因此，有必要研究随机动态投入产出模型。

考虑到现实中社会对各部门产品的最终消费也是影响经济发展的一个重要因素，本文研究时滞为1且带消费的前向延迟型随机动态投入产出模型稳定增长解的存在性问题。利用现代概率分析及马氏过程等工具，得 到了稳定增长解不存在的结论。即经济崩溃时间为无穷大的概率为零。从而，从数学上证明了投入产出模型反映的经济系统需要不断调整的必要性。

1 预备知识

设A(t,ω)m×m、B(t,ω)m×m分别为第t年m个部门投入产出消耗系数矩阵，第t年m个部门投资系数矩阵，且取可列值；S(t)表示第t年社会对各部门产品的最终消费列向量；X(t,ω)为第t年的产出列向量。我们考虑如下模型：

称（1.1）为带消费时滞是1的前向延迟型随机动态投入产出模型。

以λ1,λ2,...,λm表D的特征值，x1,x2,...xm表D对应于λ1,λ2,...,λm的右特征向量，且λ1=ρ(D)，x1是D的Perron向量。设

2 随机动态投入产出模型确定的产出序列是一个马氏过程

现在考虑带消费的随机动态投入产出模型，由（1.1）可得

3 经济崩溃时间T(ω)为∞的概率为零

现在讨论崩溃时间T(ω)的分布情况。记

4 结语

由于经济发展变化的随机性，人们自然考虑利用随机分析来刻画经济规律。本文利用随机分析的方法，研究了带消费且投入产出消耗系数矩阵、投资系数矩阵均为随机矩阵的动态投入产出模型，得到了经济系统必须经常进行调整，其崩溃时间为无穷大的概率为零的结论。从而，从数学上说明了计划经济的缺陷。换句话说，经济技术水平，投资水平和消费水平的波动对经济的影响是不容忽视的，从而一成不变的计划经济体系是行不通的。

[1]Sargan J D. The instability of the Leontief dynamic model. Econometrica，1958，26：381-392[2]Leontief W. Lags and the stability of dynamic systems. Econometrica，1961，39：668

[3]华罗庚.计划经济大范围最优化的数学理论(I)-(XI).科学通报，1984，29(12)：705-709.1984，29(13)：769-772.1984，29(16)：961-965.1984，29(18)：1089-1092.1984，29(21)：1281-1282.1985，30(1)：1-2.1985，30(9)：641-645.1983，30(24)：1841-1844

[4]郝金良.非线性动态优化投入占用产出模型及其仿真求解.系统工程理论与实践，1996，(12)：44-48

[5]张金水.多重嵌套的可计算非线性动态投入产出模型及其平衡增长解.系统科学与数学，2000，20(4)：447-453

[6]Geng Xianmin. A dynamic input-output model solution with consumption.Systmes Sciencs and Systems Engineering，1999，8(2)：140-150

[7]陈木法.经济最优化的随机模型(Ⅰ)(Ⅱ).应用概率统计，1992，8(3)：289-294.1992，8(4)：374-377

[8]Chen Mufa，Li Yong. Stochastic model of economic optimization－collapse Theorem.北京师范大学学报(自然科学版)，1994，30(2)：185-194

[9] Geng Xianmin，Li Liang. Markov process functionals in finance and insurance. Applied Mathematics：A Journal of Chinese Universities（Series B)，2009，24(1)：21-26

O211.6；F224.9

10.3969/j.issn.1001-8972.2013.06.017

李亮（1980－）．女，硕士，讲师，主要从事金融数学与计量经济学研究。