电力系统快速相量提取算法的性能探究

索南加乐，王 斌，宋国兵，康小宁，焦在滨

（西安交通大学 电气工程学院，陕西 西安 710049）

目前，电力系统的工频相量测量在电力系统事件录波、状态估计、系统保护和系统控制中有着广泛的应用，它也是实现电力系统安全稳定运行的基本电气量［1-2］.

国内外学者在电力系统工频相量测量方面取得了大量研究成果.按照不同的信号观测模型，各个算法会具有一些本质的特性，而这些特性很大程度上依赖于信号观测模型的复杂程度.故按照信号模型的复杂程度，将工频相量测量算法分为3类：①基于单个纯余弦信号的算法［3-6］；②基于“谐波和”模型的算法［7-8］；③基于“衰减指数和”模型的算法［9-12］.

基于单个余弦信号的算法在电力系统稳态时具有良好的性能，但是当电力系统中出现谐波时，算法的性能会受到不同程度的影响.基于“谐波和”模型的算法，比如傅里叶算法及其改进算法、最小二乘算法等，可以有效地克服恒定直流分量和各种谐波分量的影响，但是衰减直流分量和衰减余弦分量会给这类算法带来不可忽视的误差.基于“衰减指数和”模型的算法，如Prony算法、矩阵束算法等，有能力提供较精确的工频相量值，它们会在响应时间、计算量、抗噪性及一些算法的特殊要求等方面有一定的区别.

文献［12］提出了快速相量提取算法，该算法基于“衰减指数和”信号模型，具有计算量小、不受整次谐波和非整次谐波影响、受衰减分量影响小以及在较短数据窗仍能保持较高精度等优点.

笔者将进一步探究快速相量提取算法的性能，并讨论数据窗长和频率偏移对算法测量结果的影响，同时与传统的傅里叶算法进行对比.

1 快速相量提取算法

将待测信号看成一组衰减分量的和，即

式中 Am为幅值；φm为相位；αm＜0，为衰减因子；fm为频率；q为信号分量的个数.

将待测信号中的衰减余弦分量用欧拉公式展开，并对待测信号整体进行抽样，得到

式（2）～（4）中 M=2q1+q2；pk为信号中第k个分量的复幅值；zk为信号中第k个分量的幅值和相位在一个采样间隔内的变化量；Ts为采样间隔.

类似地构造参考信号u（t），其离散时间函数形式为

令其具有与i（t）相同的频率分量，且各个分量的衰减因子相同，幅值和相位按公式取值，即

对i（t）和u（t）的离散时间序列分别构成（NL+1）×L阶采样矩阵：

可以写成：

式中

将I的伪逆［13］左乘至U，得

式中 ［·］+为矩阵的Moore-Penrose广义逆（伪逆）.

结合式（13）～（15）可知：

由式（16）可看出，通过求解方阵I+U的2个非负特征根，就可以得到信号i（t）与u（t）中工频分量的复幅值之比，进而得到待测信号的工频相量.

文献［12］中还提出了求解方阵I+U的2个非负特征根的降阶算法，可以减少计算量.

2 快速相量提取算法性能探究

首先，在Matlab中实现快速相量提取算法，探究各种谐波、各种衰减分量、不同数据窗长及频率偏移对该算法工频相量测量的影响；然后，在EMTP中搭建单相接地故障模型，用快速相量提取算法测量其短路电流的工频相量；最后，利用实际录波数据对算法进行验证.

2.1 各种谐波和衰减分量的影响

假设输入信号分别为

1）含整次谐波信号

2）含整次和非整次谐波信号

3）含整次、非整次谐波及衰减直流分量信号

4）含整次、非整次谐波及衰减余弦分量信号

式中 ω0=2πf0.

不妨取f0=50Hz，将采样率设定为10kHz，分别用快速相量提取算法和傅里叶算法对4种信号的工频相量进行测量，数据窗长取半个周波（傅氏算法此时为半周傅氏算法），并在2个周波内进行逐点连续测量，将所有测量值中的最大误差记录下来，测量结果如表1所示.

表1 各种谐波分量及衰减分量对算法的影响Table 1 Different harmonics and decaying components impact on phasor calculating algorithms

由表1可以看出：使用半周波数据进行工频相量测量时，傅里叶算法无法消除整次谐波、分数次谐波、衰减直流分量或衰减余弦分量的影响，会产生严重的误差；快速相量提取算法得到的测量结果相对具有较高的精度，几乎不受整次谐波和分数次谐波的影响，受衰减直流分量和衰减余弦分量的影响很小.

2.2 数据窗长的影响

取f0=50Hz，采样率设定为10kHz，分别用半周波数据、1个整周波数据及2个周波数据测量4种信号.快速相量提取算法和傅里叶算法的测量结果如表2所示.

表2 数据窗长对算法的影响Table 2 Data window length influence to algorithm

从表2可以看出：①半周傅氏算法受整次谐波的影响，但全周傅氏算法和使用2周波数据的傅氏算法不受整次谐波的影响，而快速相量提取算法基本不受整次谐波的影响；②傅氏算法受到分数次谐波、衰减直流及衰减余弦分量的影响较大，快速相量提取算法受它们的影响较小；③随数据窗增大，衰减直流和衰减余弦给2个算法带来的误差会减小，该例中，快速相量提取算法的误差可减小至不超过4×10-9%，而傅氏算法仅能将误差降至5%.

由于传统傅氏算法需按照数据窗的长度对算法进行调整，如全周傅氏算法、半周傅氏算法和小矢量算法等，故在此仅考察快速相量提取算法在任意长度数据窗时的性能.取含整次、非整次谐波及衰减直流分量的信号i3（t），设定采样率为4kHz，令数据窗变化为7～37ms，测量结果如表3所示.由表3可以看出：数据窗长为基波周期的非整数倍时，计算结果依然很精确；随着数据窗的增长，工频相量测量结果的精度越高.

因为采样频率一定时，数据窗越长，采样点数就越多，从而采样点包含信号中的平稳分量所占的比例越大，故信号估计的精度就越高.

注意到当数据窗长取7ms时，算法失效.若提高采样频率至10kHz，用较短的数据窗进行测量的结果如表4所示.

表3 数据窗对快速相量提取误差的影响Table 3 FCM errors with different lengths of data window

表4 提高采样率时短数据窗对测量误差的影响Table 4 FCM errors with different lengths of data window when increasing sampling frequency

对比表3，4可知，当信号中含有整次谐波、分数次谐波及直流衰减分量时，采样率的增大对精度的提高作用不明显，故数据窗不能太短，否则无法正确提取出工频相量.

2.3 频率偏移的影响

图1 频率偏移时的工频相量测量结果Figure 1 Phasor measurement results by Fourier method and FCM with frequency deviation

当实际工频频率偏离额定值时，工频相量的幅值、相角和频率的测量误差都与初始相角有关［12］.如图1所示，分别使用快速相量提取算法和傅里叶算法对信号i3（t）在一定时间内进行连续测量，设定采样频率为10kHz，分别取实际频率为49，49.5，50.5和51Hz，以10ms数据窗逐点连续测量60 ms，依次记录它们的测量值并画成曲线.

由图1可以看出，频率偏移对2个算法都有影响：①傅氏算法受到的影响很大，最大误差接近40%，且正负误差均存在；②频率偏移对快速相量提取算法的测量结果有一定的影响，频偏越大，误差越大，但误差远小于傅氏算法的误差；③当频率低于实际频率时，快速相量提取算法得到的工频幅值会比实际值略大，反之略小.

2.4 EMTP仿真验证

在EMTP上搭建输电线路仿真模型，系统结构及参数与文献［14］中110kV系统相同.设0.2s时在距线路m端25km处发生A相接地故障，过渡电阻取10，采样率取4kHz，数据窗为10ms，在200～220ms内对电流进行逐点连续测量，并与传统傅氏算法对比，测量结果如图2所示，可以看出，当发生单相接地故障时，用傅氏算法提取电流中工频分量幅值时的结果不稳定，而快速相量提取算法的测量结果准确、稳定.

图2 单相接地故障时的测量结果Figure 2 Calculation results under single-phase fault

2.5 实际录波数据验证

实际故障录波数据的测量结果如图3所示.验证方法：

图3 对实际故障录波数据的测量结果Figure 3 Measurement results for actual fault recording data using FCM

用快速相量提取算法对陕西西安市沙坡变10kV侧母线A相电压于2012年5月8日故障的实际录波数据进行分析，其实际采样率为3.2kHz，使用半周波数据窗对故障时刻附近进行逐点连续测量.从测量结果（图3）可以看出，该算法可以快速、准确地计算出暂态过程中电气量的工频相量值.

3 结语

笔者探究了快速相量提取算法测量工频相量时的性能，该方法具有特点：

1）几乎消除了整次谐波和分数次谐波的影响，并有效地克服了衰减分量带来的误差；

2）使用任意长度的数据窗对算法没有任何特殊要求，且数据窗越长，测量精度越高；

3）当系统实际工频偏移额定工频频率时，快速相量提取算法的测量结果会有误差，但误差较小，且测量结果相对稳定；

4）可以快速、准确地计算出实际电力系统暂态电气量的工频相量值.

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