并联机床的动力学特性对加工精度影响的分析

许兆棠， 刘远伟， 汪通悦， 吴海兵

(1.淮阴工学院江苏省数字化制造技术重点实验室，淮安 223003;2.淮阴工学院 交通工程学院，淮安 223003)

并联机床的动力学特性对加工精度影响的分析

许兆棠1，2， 刘远伟1， 汪通悦1， 吴海兵1

(1.淮阴工学院江苏省数字化制造技术重点实验室，淮安 223003;2.淮阴工学院 交通工程学院，淮安 223003)

为了提高并联机床的加工精度，分析了并联机床的动力学特性对加工精度的影响。根据牛顿－欧拉方程，得到并联机床的动力学方程，解得连杆的驱动力;根据杆件轴向伸长量与受力之间的关系，得到连杆的长度误差;以无长度误差的连杆长度为优化目标，用优化的方法，得到动平台的位姿，并与连杆有长度误差时动平台的位姿比较，得动平台的位姿误差;根据刀具在动平台坐标系中位置，得刀具加工位置误差及对被加工零件精度的影响。结果表明:并联机床连杆的长度误差，引起刀具加工位置误差，使被加工零件产生形位误差和尺寸误差;并联机床电主轴偏心引起连杆的长度误差的扰动，产生刀具加工位置的扰动误差，影响被加工零件的表面粗糙度。

并联机床;连杆的驱动力;连杆的长度误差;动平台位姿误差;加工位置误差

并联机床的动平台等运动产生惯性力和连杆等受力使连杆产生伸长或缩短，影响并联机床的加工精度，并影响被加工零件的精度。并联机床被认为刚度大，只能定性说明并联机床在加工过程中变形小，并不能说明动平台等运动产生的惯性力和连杆等受力对并联机床加工精度的影响有多大。要获得高加工精度的并联机床，尤其是高精度的高速加工并联机床，需要从动平台等运动产生惯性力和连杆等受力方面，认识并联机床的动力学特性对并联机床的加工精度及对被加工零件的精度的影响。

针对并联机床的精度问题，单鹏等［1］对6自由度Stewart型并联机床，以D－H变换矩阵为建模工具，建立包含铰座位姿参数、杆件D－H参数的机床动平台位姿方程，采用矩阵微分方法推导出一个机床位姿误差线性化计算模型，进行位姿误差计算。高猛等［2］利用D－H方法，计算得到工作空间内铰链制造误差对终端运动精度的影响规律。汪劲松等［3］将Stewart平台的各条支链作为假想的单开链，利用D－H方法，推导出终端运动误差和铰链间隙误差间的映射关系。Ropponen等［4］利用雅可比矩阵的奇异值分解，得到了Stewart平台的结构参数和驱动误差与终端误差之间的关系。Patel等［5］利用误差分析软件图形化分析了机构运动时的位置和姿势误差。李铁民等［6］以6自由度6TPS型并联机床为模型，利用雅可比矩阵的奇异值分解，得到影响位形精度的误差综合敏感度、误差绝对敏感度和误差方向敏感度，并以此作为评价不同位形运动精度的指标。胡明等［7］采用叠加原理，建立三自由度并联机构驱动杆铰链误差模型，采用矩阵范数分析驱动杆铰链误差对动平台终端运动精度的影响规律。姜虹等［8］提出根据球杆仪球杆理论识别与修正并联机构结构误差的算法。这些研究，未能从动平台等运动产生惯性力和连杆等受力方面研究并联机床的加工精度，未见相关研究的报道。

根据牛顿－欧拉方程，获到交叉杆并联机床的动力学方程，并解得连杆的驱动力;根据杆件轴向伸长量与受力之间的关系，得连杆的长度误差;再以无长度误差的连杆长度为优化目标，用优化的方法，通过并联机床动平台位姿的正解，计算得到动平台的位姿，并与有长度误差时动平台的位姿比较，得动平台的位姿误差;根据刀具在动平台坐标系中的位置和连杆无长度误差时动平台的位姿，计算得到连杆无长度误差时刀具在定平台坐标系中位置，并与连杆有长度误差时的刀具在定平台坐标系中位置比较，得刀具加工位置和加工半径误差及对被加工零件精度的影响。

1 并联机床的运动学分析

交叉杆并联机床［9］如图1所示，定平台1与花键套3通过万向铰Bi联接，动平台5与花键轴4通过万向铰bi联接，花键套3与花键轴4为花键联接，花键轴4的一端通过丝杠与伺服电机2联接，电主轴6安装在动平台5的中心，刀具7安装在电主轴6的下端。

在定平台上建立定坐标系 O1ξηζ，原点O1在定平台的重心;在动平台上，建立与动平台固结的动坐标系 Oxyz，原点O在动平台的重心。在万向铰Bi上，建立连杆坐标系 Bixiyizi，原点 Bi在铰链中心，zi轴过连杆Bibi的轴线，xi轴过万向铰的动轴线，yi轴用右手螺旋定则确定，i=1，2，…，6，图 1中绘出B5x5y5z5。

在定坐标系下，第i根连杆Bibi的长度矢量:

式中:Po、bi、Bi分别为 O1O、Obi、O1Bi的长度矢量。

式(1)对时间求导，得定坐标系下第i根连杆的万向铰bi的速度:

式中:ωp为动平台的角速度矢量。

另一方面，第i根连杆的万向铰bi的速度可表示为:

用wi对式(3)两边点积，再将式(2)代入，得:

再用wi对式(3)两边叉积，再将式(2)代入，得:

式(4)和式(5)分别对时间t求导，得:

2 并联机床的动力学方程

2.1 第i根连杆的动力学方程

连杆受力如图2所示，根据欧拉动力学方程，得连杆花键套转动的动力学方程:

连杆花键轴沿轴线移动，对Bi点的转动惯量是变量，在连杆花键轴的动量对时间求导中，连杆花键轴的转动惯量对时间的导数是变量，不能直接应用转动惯量是常量的欧拉动力学方程，要根据动量矩定理求连杆花键轴的动力学方程。根据动量矩定理，得连杆花键轴转动的动力学方程:

图2 连杆受力Fig.2 Force of a leg

式(8)和式(9)中:lBi、Ibi分别为连杆花键套和花键轴对Bi点的惯量张量，mbi为连杆花键轴的质量;Mci为连杆花键套对花键轴的作用力矩，MBfi、Mbfi分别为第i 根连杆在铰链点 Bi、bi的摩擦力矩;GBi、Gbi分别为连杆花键套和花键轴的重力;lBi为连杆花键套的重心到铰链点Bi的距离，lbi为连杆花键轴的重心到铰链点bi的距离，lci为连杆花键套与花键轴的作用点到铰链点Bi的距离;Fbi为第i根连杆铰链点bi受到的作用力，Fci为第i根连杆的花键套对花键轴的正压力。在式(9)中，等式左边第3项由连杆花键轴的转动惯量的变化产生。

合并式(8)、式(9)得连杆转动的动力学方程:

式中:Ii=lBi+lbi为第i根连杆对Bi点的惯量张量。

将Fbi=Fxybi+Fzbi代入式(10)，Fzbi为沿连杆轴线方向第i根连杆铰链点bi的作用力，Fxybi为垂直于连杆轴线方向第i根连杆铰链点bi的作用力，再用wi叉乘式(10)，取第i根连杆在铰链点Bi、bi的摩擦力矩 MBfi= －cbiωi、Mbfi= － cbi(ωi－ ωp)，并考虑含 Fzbi的项为零，得:

在动平台的运动过程中，连杆的长度是变化的，连杆花键套与花键轴之间有摩擦力，考虑连杆花键套与花键轴间的摩擦力，根据牛顿方程，得连杆移动的动力学方程:

式中:abi为连杆花键轴的加速度，FBi为第i根连杆铰链点Bi受到的作用力，cli为第i根连杆花键轴的阻尼系数。

取FBi、Fbi在连杆上的投影分别为 FlBi和 Flbi，FlBi和Flbi均是标量，FlBi是连杆的驱动力，也是伺服电机的推力。将Fbi=Fxybi+Fzbi代入式(12)，两边再点乘wi，并考虑含 Fxybi、Fci的项为零，FlBi=FBi·wi，Flbi=Fzbi·wi，Glbi=Gbi·wi，得:

2.2 并联机床的动力学方程

根据牛顿方程，得动平台的三角平台和电主轴的定子移动的动力学方程:

电主轴的转子移动的动力学方程:

将式(14)、式(15)的等号两边分别相加，得动平台移动的动力学方程:

式中:mp为动平台的质量矩阵，mp=msp+md，msp为动平台的三角平台和电主轴的定子的质量矩阵，md为电主轴的转子的质量矩阵为动平台坐标原点o的加速度，ae为电主轴转子的质量偏心产生的加速度，Gsp为动平台的三角平台和电主轴定子的重力，Gd为电主轴转子的重力，Gp为动平台的重力，Gp=Gsp+Gd，Fd为电主轴定子与转子间的作用力，Fc为作用在刀具上的外力。

根据欧拉动力学方程，得动平台的三角平台和电主轴定子转动的动力学方程:

电主轴的转子相对z轴匀速转动，取电主轴转子的角速度为ωp－dz，根据动量矩定理，得电主轴的转子转动的动力学方程:

考虑 ωp－dz= ωp+ ωdz，合并式(17)、式(18)，得动平台转动的动力学方程:

式中:Ip为动平台对原点o惯量张量，Ip=Isd+Idz，Isd为动平台的三角平台和电主轴的定子对原点o惯量张量，Idz为电主轴的转子对原点o惯量张量;ωp为动平台的角速度，ωdz为电主轴转子相对动平台的角速度;Md为电主轴的转子对定子的作用力矩，Tc为作用在刀具上的扭矩;Lc为oc的长度矢量，c点为刀具上外力的作用点。

3 连杆的驱动力

将 Fbi=Fxybi+Fzbi及式(11)、(13)代入式(16)及式(19)，得:

式(22)中，U是6×6的矩阵，W是6×1的矩阵，当已知动平台的运动学参数及外载荷时，可得连杆的驱动力。

4 并联机床加工中的误差

4.1 第i根连杆的长度误差

并联机床运动时，连杆的驱动力使连杆伸长产生误差，第i根连杆由连杆花键轴和丝杠组成，根据材料力学中杆件轴向伸长量与受力之间的关系［12］，略去第i根连杆的重量对其伸长量的影响，得第i根连杆的伸长量，也即第i根连杆的长度误差:

式中:等式右边第一项为连杆花键轴的长度误差，等式右边第二项为连杆丝杠的长度误差，FlBi为第i根连杆的驱动力，El为第i根连杆的拉压弹性模量，Ahi、Asi分别为第i根连杆花键轴和连杆丝杠的截面积，lhi－0为无长度误差的第i根连杆花键轴的长度。

4.2 动平台的位姿误差

用动平台的原点O在定平台上的坐标描述动平台的位置，用欧拉角描述动平台相对于定平台的姿态，用Q描述连杆有长度误差时动平台的位姿，用Q0描述连杆无伸长量时动平台的位姿，也即连杆无长度误差时的动平台位姿，有:

Poη、Poξ和 Poζ分别为连杆有长度误差时动平台的原点O沿η、ξ和ζ方向的位置坐标，ψ、θ和φ分别为连杆有长度误差时动平台的进动角、章动角和自旋角，Poη－0、Poξ－0和 Poζ－0分别为连杆无长度误差时动平台的原点O沿η、ξ和ζ方向的位置坐标，ψ0、θ0和φ0分别为连杆无长度误差时动平台的进动角、章动角和自旋角。

Q0可用优化的方法求得，这可避开通过并联机床动平台位姿的正解获得Q0的困难。取Q0为设计变量，无长度误差的连杆长度为优化目标，其目标函数为:

并联机床的结构尺寸为已知，给定Q，根据式(1)，可求得第i根连杆的长度li，li也为有长度误差的连杆长度;根据式(23)，可求得第i根连杆的长度误差Δli;根据式(24)，取初值为Q，用单纯形等优化方法，可求得Q0。

动平台的位姿误差:

4.3 刀具加工误差

连杆有长度误差时刀具加工中心的位置:

连杆无长度误差时刀具加工中心的位置:

动平台的位姿误差引起刀具的加工误差，刀具加工中心的位置误差为:

式中:Po－0、Pc－0分别为动平台无位姿误差时动平台的原点O的位置矢量，刀具的长度矢量。将ΔPc向η、ξ和ζ坐标轴上投影，得沿η、ξ和ζ方向刀具的加工位置误差分别为 Δηc、Δξc和 Δζc。

刀具的加工半径误差

式中:ηc和 ξc分别为 Pc在 η 和 ξ轴上的投影，ηc－0和ξc－0分别为 Pc－0在 η 和 ξ轴上的投影。

5 算例及分析

动平台的原点绕O1ζ轴以角速度ω0作匀速圆周运动，动平台的原点的轨迹半径100 mm，到定平台的距离680 mm，用欧拉角描述动平台相对于定平台的姿态，进动角ψ=ω0t，动平台的章动角θ=10°，自旋角φ=－ω0t，动平台中心绕 ζ轴旋转动的角速度 ω0=2π/15 rad，电主轴旋转速度nd=1 500 r/min，结构尺寸为并联机床图纸上尺寸。并联机床在无扰动下，根据式(22)，计算得连杆的驱动力见图3;根据式(23)，得无扰动下连杆的长度误差，见图4;根据式(25)，得动平台的位姿误差，见图5;根据刀具c点在动平台坐标系中的位置、式(28)和式(29)，得无扰动下刀具c点加工位置和加工半径误差，见图6。

在无扰动计算的基础上，增加伺服电机进给、推动动平台位姿态变化产生的扰动，用与以上相同的计算方法，可得动平台位的位姿受扰动时连杆的驱动力、连杆的长度误差、动平台的位姿误差、刀具c点加工位置和加工半径误差，分别与图3～6中曲线类似。

图3 无扰动下连杆的驱动力Fig.3 Drive force of a leg under non disturbance

图4 无扰动下连杆的长度误差Fig.4 Length error of a leg under non disturbance

图5 无扰动下动平台的位姿误差Fig.5 Position error and pose error of a moving platform under non disturbance

在无扰动计算的基础上，增加刀具受力变化产生的扰动，用与以上相同的计算方法，可得刀具受力变化引起扰动时连杆的驱动力、连杆的长度误差、动平台的位姿误差、刀具c点加工位置和加工半径误差，分别与图3～6中曲线类似，因刀具受力变化较小，在图上难以看到曲线的扰动。

图6 无扰动下刀具加工位置和加工半径误差Fig.6 Error of machining position and radius of a tool under non disturbance

在无扰动计算的基础上，取电主轴的转子及刀具对z轴的偏心距adz=1.5 mm，增加电主轴转子偏心引起的扰动，根据式(28)和式(29)，得电主轴偏心引起扰动时连杆的驱动力、刀具c点加工位置和加工半径误差，分别见图7和图8。

并联机床的激励来自伺服电机、电主轴的转子和刀具c点。在无扰动计算的基础上，同时增加伺服电机进给、推动动平台位姿态变化产生的扰动，刀具受力变化产生的扰动，电主轴的转子偏心引起的扰动，根据式(28)和式(29)，得综合扰动时连杆的驱动力、刀具c点加工位置和加工半径误差，分别见图9和图10。

图7 电主轴偏心引起扰动时连杆的驱动力Fig.7 Drive force of a leg under disturbance of a motorized spindle

图8 电主轴偏心引起扰动时刀具加工位置和加工半径误差Fig.8 Error of machining position and radius of a tool under disturbance of a motorized spindle

图9 综合扰动时连杆的驱动力Fig.9 Drive force of a leg under comprehensive disturbance

图10 综合扰动时刀具加工位置和加工半径误差Fig.10 Error of machining position and radius of a tool under comprehensive disturbance

在无扰动下，由图3～6可以看出，连杆的驱动力随加工位置的不同，作无扰动变化，变化的幅值较大，使连杆产生长度误差并随驱动力变化，引起动平台的位姿误差，使刀具c点产生加工位置误差和加工半径误差，使被加工零件在ζ坐标方向和加工半径上产生形位误差和尺寸误差。

在电主轴偏心引起的扰动下，由图7～8可以看出，连杆的驱动力随加工位置的不同，作有扰动变化，使刀具c点产生加工位置和加工半径误差，并伴有扰动误差，使被加工零件在ζ坐标方向和加工半径上产生形位误差和尺寸误差，同时，扰动影响被加工零件在ζ坐标方向和加工半径上的表面粗糙。减小电主轴的偏心距，可提高被加工零件的表面粗糙度。

在综合扰动下，由图9～10可以看出，连杆的驱动力随加工位置的不同，作有扰动变化，驱动力的绝对值增大，刀具c点的加工位置和加工半径误差增大，被加工零件在ζ坐标方向和加工半径上的形位误差和尺寸误差增大，扰动误差变化不大，被加工零件在ζ坐标方向和加工半径上表面粗糙度变化不大。

连杆的长度误差引起刀具c点加工位置和加工半径误差。连杆的长度误差与连杆的驱动力、连杆的直径有关，减小连杆的驱动力的绝对值，增大连杆的直径，尤其是连杆的最小直径，可减小连杆的长度误差，连杆的花键轴的直径较大，与步进电机联接的丝杠直径较小，主要应增大丝杠的直径。

并联机床上与运动有关的结构尺寸、动平台的位姿一定时，wi、bi和Lc等一定，则U一定，根据式(29)，连杆的驱动力取决于有关。Fc及Tc、ae、Idz较小，使W主要与动平台的质量及转动惯量、连杆的质量及转动惯量、动平台中心的加速度、动平台的角速度和角加速度有关，动平台的角速度和角加速度与动平台的姿态及其变化有关，减小动平台的质量及转动惯量、连杆的质量及转动惯量、动平台中心的加速度、控制动平台的姿态变化，可有效减小连杆的驱动力的绝对值及幅值，经算例计算，可得到以上结论，在计算中，减小电主轴的角速度，对减小连杆的驱动力的绝对值及幅值影响不大。

通过枚举法，取电主轴旋转速度 nd＜30 000 r/min，在并联机床工作空间［9］内改变动平台的原点的轨迹半径、动平台中心绕ζ轴旋转动的角速度等参数，经计算，同样可得到以上定性分析的结论，未见并联机床共振。

6 结论

(1)根据并联机床的动力学方程获得连杆的驱动力，可从动平台等运动产生惯性力和连杆等受力方面，分析并联机床在加工过程中连杆的长度误差、动平台的位姿误差、刀具加工位置误差等，为分析并联机床的动力学特性对加工精度的影响提供基础理论和方法。

(2)并联机床连杆的长度误差，引起刀具加工位置误差，使被加工零件产生形位误差和尺寸误差。减小连杆的驱动力的绝对值，增大连杆的直径，可减小被加工零件的形位误差和尺寸误差。

(3)并联机床电主轴偏心产生的扰动，引起连杆的长度误差扰动，产生刀具加工位置的扰动误差，影响被加工零件的表面粗糙度。减小电主轴的偏心距，可提高被加工零件的表面粗糙度。

(4)连杆的驱动力主要与动平台的质量及转动惯量、连杆的质量及转动惯量、动平台中心的加速度、动平台的角速度和角加速度有关，减小动平台的质量及转动惯量、连杆的质量及转动惯量、动平台中心的加速度、控制动平台的姿态变化，可有效减小连杆的驱动力的绝对值及幅值。减小电主轴的角速度，对减小连杆的驱动力的绝对值及幅值影响不大。

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Effect of dynamic characteristics of parallel machine tool on its machining accuracy

XU Zhao-tang1，2，LIU Yuan-wei1，WANG Tong-yue1，WU Hai-bing1

(1.Key Laboratory of Digital Manufacturing Technology，Huaiyin Institute of Technology，Huaian 223003，China;2.Department of Traffic Engineering，Huaiyin Institute of Technology，Huaian 223003，China)

In order to improve the machining accuracy of a parallel machine tool，the effect of its dynamic characteristics on machining accuracy was analysed.The dynamic equation of the parallel machine tool was derived in the light of Newton-Euler method and the driving force of the leg was obtained from the solution of the dynamic equation.According to the relation between the axial extension length and leg driving force，the length error of the leg was calculated.Taking the accurate leg length as an optimization objective，the position and pose of the moving platform were achieved by using optimization method and their errors were analysed.According to tool position in the coordinate system of the moving platform，the error of machining position was calculated，and its effect on the accuracy of machined parts was discussed.The results show that the tool position error is caused by leg length error，which produces the errors of form，position and dimension of machined parts.The rotor eccentricity of the parallel machine tool may cause disturbances on leg length and tool position，which will effect the surface roughness of machined parts.

parallel machine tool;leg driving force;leg length error;position error and pose error of a moving platform;error of machining position

TG659

A

江苏省高校自然科学研究重大项目资助(12KJA460001);江苏省数字化制造技术重点建设实验室开放课题资助项目(HGDML－0611)

2012－02－08 修改稿收到日期:2012－10－09

许兆棠 男，博士，教授，1957年2月生