考虑绝热边界条件的地埋管换热器传热模型研究

方燕燕

1南京理工大学能源与动力工程学院

2常州市规划设计院

0 引言

地源热泵系统地下埋管换热器中应用最为普遍的是竖直U型地埋管换热器，其传热过程是复杂的三维非稳态传热过程，故在工程应用进行传热分析时需进行适当的简化计算。通常简化方法是：以钻孔壁为界，将钻孔周围的土壤区域划分为钻孔外的土壤部分和钻孔内的地埋管两个部分，并采用不同的方法进行分析[1]。对于钻孔内的地埋管部分，一般近似用稳态的传热模型进行分析，对于钻孔外部分土壤的传热，由于传热过程的复杂性，必须采用非稳态的传热模型。钻孔外部的传热为导热过程，通常看作是线热源或柱热源在半无限大介质或无限大介质中的热传导过程。常用的简化传热模型有：无限长线热源模型，无限长柱热源模型、有限长线热源模型及一些数值模型[2～5]。

从理论研究的角度看，柱热源传热模型比线热源模型更符合实际情况，具有一定的研究价值，但也存在一定的局限性，如下：

1）假设钻孔壁处热流密度恒定，实际系统运行时，热流密度随建筑物负荷的逐时变化而变化。

2）假设周围土壤无限大，即远边界处的土壤温度等于土壤初始温度，即钻孔内的热量可以向无穷远处传递，且远边界处的土壤温度未受到波动，实际上由于竖直地埋管换热器钻孔间距一般为3～6m，系统长周期运行时，相邻钻孔的传热已经造成附近土壤温度的变化。在系统运行时间较短或负荷较小的情况下，两钻孔中心处的土壤温度未发生变化时，使用传统传热模型进行计算是合理的。但是由于土壤源热泵的寿命周期较长，该处的温度受到波动，故土壤无限大的假设并不合理。

因此，在实际传热模型建立时，需考虑井间的相互热影响及盘管负荷的变化特性对地下埋管换热器传热过程的影响。故本文传热模型在两钻孔中心处建立绝热边界条件，钻孔壁处建立热流密度随时间变化的边界条件，对竖直地下埋管换热器进行更准确的传热分析。

1 变热流无限长柱热源模型

有限长线热源在计算单个钻孔壁温度时，不仅考虑本钻孔外土壤的传热对钻孔壁温度的影响，尚需考虑周围钻孔传热对本传热的影响。这样要进行叠加计算，计算过程十分繁琐。故本文在无限长柱热源的基础上加了远端半径处的边界条件。

假定单个钻孔仅在以钻孔中心为圆心，远端半径为半径的圆形区域内进行传热。避免多个钻孔间热干扰的复杂计算。另外传统传热模型大多针对恒定热流或者恒定埋管进口温度的情况来分析，没有考虑负荷的逐时变化对地埋管换热器传热过程的影响，在实际的工程应用中，地埋管钻孔壁的边界条件随着建筑物负荷的变化而变化。

为了考虑长周期变负荷对地下埋管换热系统的影响，在图1所示传热模型的基础上，基于下述简化处理建立地源热泵系统地下埋管换热器的变热流柱热源模型。

图1 本文传热模型示意图

本文的传热模型假设：

①土壤原始温度分布均匀，忽略深度方向的变化；

②土壤的热物性为常数，不随温度发生变化；

③忽略地下水的流动，认为埋管与土壤之间的传热为纯导热过程；

④埋管与土壤接触很好，忽略接触热阻；

⑤假设土壤各向同性；

⑥忽略轴向传热，只考虑一维传热。

本文模型的一维热传导微分方程为：

式中：Ts为土壤的初始温度，℃；rb为钻孔半径，m；r∞为远端半径，m；a为土壤的导温系数，m2/s；ρ为土壤的密度，kg/m3；c 为土壤的比热，kJ/(kg·℃)；λs为土壤的导热系数，W/(m·℃)；q(t)为单位埋管长度负荷，W/m。

夏季埋管放热量为：

冬季埋管吸热量为：

式中：Qc(t)、Qh(t)为建筑物的逐时冷、热负荷，W；L 为埋管长度，m；COPc(t)、COPh(t)为热泵机组的制冷、制热性能系数，在考虑逐时负荷变化时，该值随着埋管出水温度的变化而变化。

1.1 初始条件确定

本文模型的初始条件就是土壤在t=0时刻的初始温度，地源热泵系统地埋管一般在60～120m，属于温度常年不变的土层。本文是一维传热模型，忽略了土壤温度在深度方向上的变化，故取初始温度恒定为Ts。

1.2 边界条件

把整个传热区域看成是无限长的圆筒壁，有两个边界条件，r=rb，r=r∞。对这两个边界条件分别进行讨论有：

1）r=rb边界

因为盘管的热容量较小，所以近似认为埋管传向土壤的热量等于管内流体传向埋管的热量，所以单位管长钻孔壁处的热流密度为：

式中：q1(t)为单位埋管长度的热流量，W/m2。

2）r=r∞边界

热泵机组运行时，埋管会向周围土壤放热或者吸热，周围土壤温度不断升高或降低，热量或冷量会向远处传递。由于钻孔间距在工程应用中有相应的范围，故远端的土壤温度场由于受到周围钻孔的影响发生了变化，现定义钻孔间距的一半处到钻孔中心的水平距离为远端半径，在远端半径处建立绝热边界条件，即热量或冷量只能在以钻孔中心为中心，钻孔间距为直径的圆形土壤区域内传递。

2 变热流无限长柱热源传热模型的格林函数法求解

2.1 格林函数法

格林函数法是求解数学物理偏微分方程的常用方法之一，这种方法可以求解含热源的，且具有非齐次边界条件与某一初始条件的非稳态热传导方程[6]。该方法广泛应用于各类非齐次的问题，处理问题的方式大都相同，而且，对于一维、二维或三维问题的解在形式上都可表示的非常紧凑[7，8]。应用格林函数法求解的时候困难之一就是格林函数的构造，格林函数的选取与坐标系的形式、边界条件及问题的定义域有关[9]。

一维非齐次热传导问题：

由文献[6]可得以上一维非齐次热传导问题的解为：

式中：x′p为斯特姆-刘维尔权函数，p 分别为 0（平板）、1（圆柱体）、2（球）。

上式各项的物理意义如下：第一项为初始温度分布F(x)的影响；第二项为分布热源g(x,t)的影响；第三项为边界条件的非齐次性fi(x,t)的影响。

2.2 变热流无限长柱热源传热模型的格林函数法求解

为求得本文传热模型的格林函数，先讨论这一问题的齐次形式。

2.2.1 分离变量法求解齐次部分

分离变量法现已广泛应用于求解各种热传导问题，对齐次问题处理起来尤其方便。对多维的、不含热源的稳态热传导问题，如果有一个边界条件是非齐次的也可以用分离变量法，对于多个非齐次边界条件的问题，可以分成几个简单的问题，每个简单问题只包含一个非齐次边界条件[6]。

对于本文的热传导问题，齐次部分的解为：

式中：R0(βm，r)为特征函数；N(βm)为范数；βm为特征值。

由文献[6]可得本文传热模型的特征函数、范数和特征值，如下：

βm是下面特征方程的解：

2.2.2 格林函数法求解非齐次部分

将式（18）变换可得本文模型齐次部分的解为：

另外齐次部分的解还可以根据式(13)用格林函数表示为：

将式（22）和式（23）相比较可得到：

在式（24）中，用(t-τ)代替 t可得所需的格林函数为：

本文取土壤温度恒定为Ts，故不考虑初始温度分布的影响，只考虑第二类边界条件的影响。由此可以得到钻孔周围一维土壤温度分布为：

式中：J0为第一类零阶贝塞尔函数；Y0为第二类零阶贝塞尔函数；J0′为第一类贝塞尔函数的导数，J0′(βm，rb)；为第二类贝塞尔函数的导数，定义如上。

以上即为考虑绝热边界条件的变热流无限长柱热源传热模型的解析解表达式。表达式第一项为初始温度的影响，第二项为随时间变化的热流密度对土壤温度的影响。

考虑绝热边界变热流无限长传热模型的优势：

①该解析解考虑了建筑负荷变化对地埋管换热器的影响，使传热模型更加精确；

②在本文传热模型下，由于增加了绝热边界条件，可忽略相邻钻孔之间的热干扰，避免了多个钻孔间由于热干扰问题而进行复杂的叠加运算，为长周期运行的地埋管换热器的设计计算提供了理论基础。

3 总结

经济性是地埋管热泵技术能否可以广泛应用的关键，该技术换热效率高，运行费用低，但是钻孔费用过高，发展受到制约，故需要一种精确可靠的设计方法来降低其钻孔费用。因此，完善地埋管换热器的传热模型，使其可以更精确地描述地埋管换热器的传热过程，由此衍生出更丰富的设计方法，以确定地埋管换热器的最佳尺寸是发展和推广地源热泵技术的关键。本文在竖直埋管换热器传热模型的基础上提出了一种考虑绝热边界的变热流无限长柱热源传热模型，并用格林函数法求解本文非齐次非稳态的传热问题的传热模型，得到地下埋管换热器温度场分布的解析解表达式，为地埋管换热器的设计计算提供了一种更精确的传热模型。本文传热模型虽然精确，但计算起来比较复杂，需要进一步简化。

[1]刘文学.地源热泵地埋管的传热性能实验研究[D].北京:北京工业大学,2007

[2]马最良.地源热泵工程技术指南[M].北京:中国建筑工业出版社,2001

[3]S P Kavanaugh.Simulation and experimental vertification of vertical ground coupled heat pump systems[D].Oklahoma:Oklahoma State University,1985

[4]J A Shonder,J V Beck.Determining effective soil formation thermal properties from field data using parameter estimation techniq-ue[J].ASHRAE Transactions,1999,105(1):458-466

[5]余延顺,马最良.土壤耦合热泵系统地下埋管换热器传热模型的研究[J].暖通空调,2005,35(1):26-31

[6]俞昌铭.热传导[M].北京:高等教育出版社,1983

[7]杨世铭.传热学(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2007