全纯函数和它的线性微分多项式分担有穷值的正规族

刘志宏，李迎春

(红河学院数学学院，云南蒙自 661100)

全纯函数和它的线性微分多项式分担有穷值的正规族

刘志宏，李迎春

(红河学院数学学院，云南蒙自 661100)

研究了全纯函数族和它们的线性微分多项式分担有限值的正规族，并举例验证其正确性．

全纯函数;线性微分多项式;分担值;正规族

1 引言及主要结果

设f(z)和g(z)是亚纯函数，a，b是两个复数，若 f(z)=a，则 g(z)=b，我们记作f(z)=a⇒g(z)=b．若 f(z)=a当且仅当 g(z)=b，则记作 f(z)=a⇔g(z)=b．如果f(z)=a⇔g(z)=a，我们就说 f(z)和 g(z)分担a．

亚纯函数族的正规性是复分析的重要课题之一，国内外许多学者对这方面的问题进行了深入地研究(见文献［3］，［4］，［6］，［7］等)．

定义1 设k≥2是一正整数，f是一亚纯函数，我们称

为f的线性微分多项式．其中 a1，a2，…，ak≠0是常数．

2003年，林伟川和杨连中讨论了全纯函数族中的函数f与其线性微分多项式具有一个分担值时的正规性，并得到以下结果．

定理A［1］设F为区域D上的全纯函数族，a为有穷非零复数，若对任意的f∈F，f(z)=a⇔L［f］=a，且 f(z)=a⇒f'(z)=L'［f］=a，则 F 在 D 中正规．

最近吕峰，徐炎，仪洪勋在文献［2］中证明了以下定理．

定理B设F为区域D上的全纯函数族，a 为有穷非零复数，M 是正整数，L［f］如(1)式定义，若对任意的 f∈F，f(z)=a⇒f'(z)=a，f'(z)=a⇒|L［f］|≤M，则 F 在D中正规．

我们能否把定理B中的条件f(z)=a⇒f'(z)=a，f'(z)=a⇒ |L［f］|≤M 替换成 f(z)=0⇒f″(z)=a，f″(z)=a⇒ |L1，s［f］|≤M，结论是否还成立呢? 其中 L1，s［f］如(2)式定义．本文我们肯定地回答了这个问题，并得到以下定理:

定理1设F为区域D上的全纯函数族，a 为有限非零复数，M 是正整数，L1，s［f］为f的线性微分多项式如下式

其中 aj(j=0，1，…，s)是常数，且 a3≠0，as≠0，s≥4 是一偶数．若对任意的f∈F，且它们零点的重数至少为2，f(z)=0⇒f″(z)=a，f″(z)=a⇒|L1，s［f］|≤M，则 F在D中正规．

注:在定理1中，在(2)式中，当s≥3的奇数时，以上结论一般说来是不对的．我们通过计算验证s≥4的偶数是必要的．下面我们举例来说明．

例:设F={fn}是单位圆盘Δ内全纯函数族，考虑函数

2 一些引理

按球面距离局部一致收敛，其中g是复平面C上非常数的亚纯函数，且所有的零点至少为 k，使得 g#(ζ)≤g#(0)=kA+1．特别地，g是指数型的．

引理2设g是非常数的整函数，其增长级ρ(g)≤1，并且其零点的重级至少为2，a为有限非零的复数，s≥4是偶数．若

为了证明结论，我们需要以下引理:

引理1［6］设k是一正整数，F是区域D内的一亚纯函数族，所有零点的重级至少为 k，假设当 f(z)=0，f∈F 时，存在 A≥1 使得|f(k)(z)|≤A．若F在点z0∈D不正规，对每一个0≤α≤k，存在

(1)点列 zn∈D，zn→z0;

(2)函数族 fn∈F;且

(3)正数列 ρn→0+

使得，其中z0为常数．

证明:由于 g(z)=0⇒g″(z)=a≠0，并且g的零点的重级至少为2，从而g的零点的重级恰好为2．由于g是整函数，故存在一非常数的整函数h，并且h的零点都是单零点，使得

假设存在点z=z0使得h(z0)=0，则h可在z0的邻域内展成以下幂级数

3 定理的证明

［1］林伟川，杨连中．函数与其导数具有公共值得全纯函数族的正规性［J］．数学学报，2003，46(3):539－544．

［2］ L．Yang，Value Distribution Theory［M］．Springer－Verlag，Berlin Heidelberg，1993．

［3］刘志宏，李迎春，黄斌．关于亚纯函数的正规族与分担值的一个结果［J］．西南大学学报(自然科学版)，2010，32(8):112－114．

［4］M．L．Fang and L．Zalcman，Normal families and uniqueness theorems for entire functions［J］．J．Math．Anal．Appl．，280(2003):273－283．

［5］X．C．Pang and L．Zalcman，Normal families and shared values［J］．Bull London Mth．Soc，32(2000):325－331．

［6］G．G．Gundersen，L．Z．Yang．Entire functions that share one value with one or two of their derivatives［J］．J．Math．Annal．Appl．223(1998):88－95．

［7］X．C．Pang and L．Zalcman，on theorems of Hayman and Clunie［J］．New Aealand J．Math，28(1999):71－75．

Normality of a Family of Holomorphic Functions Which Share Finite Values with Their Linear Differential Polynomial

LIU Zhi-hong，LI Ying-chun

(College of Mathematics Honghe University，Mengzi，Yunnan 661100，China)

In this paper，we study the normal family of holomorphic functions that share finite values with their linear differential polynomials，and provide a example to show that the result is the best possible．

holomorphic functions;linear differential polynomial;shared values;normal family

O174．52

A

1672－7010(2013)02－0010－04

2013－03－10

云南省科技厅科研基金资助项目(2010ZC150);红河学院一类重点课程建设项目(ZDKC1003)．

刘志宏(1978—)，男，湖南邵阳人，讲师．研究方向:亚纯函数值分布论，单叶调和映射．