一类二阶复域微分方程的解与小函数的关系

李明星，肖丽鹏

（江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌330022）

1 引言与结果

本文使用值分布的标准记号（见［1］），用σ(f)表示f(z)的级，λ(f)，表示f(z)的零点收敛指数和不同零点收敛指数，表示f(z)取小函数φ的点的收敛指数，当φ=z时，表示f(z)的不动点收敛指数。本文还需引入下列定义。

定义1[2]设f(z)为亚纯函数，那么我们定义f(z)的超级σ2(f)为

如果f(z)为整函数，那么

定义2[3]设f(z)为整函数，那么我们定义f(z)的二级零点收敛指数λ2(f)为

定义f(z)的二级不同零点收敛指数为

2000年，陈宗煊首次考虑了方程f″+A(z)f=0 的不动点的问题，得到以下结果。

定理A[3]假设A(z)为超越整函数且σ(A)=σ＜∞，那么微分方程

的所有非零解f(z)有无穷多个不动点，且满足：。

2006年，陈宗煊研究了方程

的解以及它们的一阶、二阶导数，微分多项式取小函数的点的收敛指数，得到了一些有趣的结果。例如下面的定理B和定理C。

定理B假设Aj(z)(≢0)(j=0,1)是整函数且σ(Aj)＜1，a，b是复常数且满足ab≠0 和arga≠argb或a=cb(0 ＜c＜1)。如果φ(z)(≢0)是有限级整函数，那么方程（6）的每个解f(≢0)满足=∞。

定理C假设Aj(z)，a，b满足定理B 的假设条件。假设d0(z)，d1(z)，d2(z)是不全恒为零的多项式，φ(z) (≢0) 是级小于1 的整函数。如果f(≢0) 是方程（6）的任一整函数解，那么微分多项式g(z)=d2f″+d1f′+d0f满足。

一个自然的问题是方程（5）的解的一阶、二阶导数以及微分多项式取小函数的点的收敛指数如何？本文对这个问题进行了研究，得到以下结果。

定理1假设A(z)为超越整函数且σ(A)=σ＜∞，若φ(≢0)是有限级整函数，则方程（5）的任一解f(z)(≢0)满足：

①=∞，=σ；②=∞，=σ；③=∞，=σ。

考虑一种特殊的情形，当A(z)=B(z)eP(z)时，可得到比定理1更进一步的结果。

定理2设B(z)(≢0)为级小于m的整函数，P(z)是次数为m≥1的多项式，φ(z)(≢0)是级小于m的亚纯函数，设f(z)(≢0)是方程

的任一解，d0(z)，d1(z)，d2(z)是不全恒为零的亚纯函数，且满足max{σ(d2(z))，σ(d1(z))，σ(d0(z))}＜m，那么微分多项式g(z)=d2f″+d1f′+d0f满足=∞。

2 为证明定理所需要的引理

引理1[4]设A0，A1，…，Ak-1是整函数，满足

（i）σ(Aj)＜σ(A0)＜∞（j=1，2，…k-1）或者

（ii）A0是有限级超越整函数，A1，…，Ak-1是多项式。那么微分方程f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f=0 的所有非零解具有无穷级。

引理2[5]假设A0，A1，…，Ak-1，F≢0 是有限级亚纯函数，若f(z) 是方程f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f=F的亚纯解，并且σ(f)=∞，则有。

引理3[6-7]假设G(r)和H(r)为两个定义在(0，+∞)内的非减实函数。

（i）若除去一个有穷线测度的集合E外有G(r)≤H(r)，那么对任意的α＞1，存在r0使得对所有的r≥r0，都有G(r)≤H(αr)。

（ii）若存在一个集合E，其对数测度lmE=δ＜∞， 其 中 集 合E的 对 数 测 度lmE定义为lmE=，其中χE=使得当r∉E时，G(r)≤H(r)，那么对任意的常数β(＞eδ)，当r＞1时，有G(r)≤H(βr)。

引理4[8]设W(z)是开平面上有限ρ级超越亚纯函数，Γ={(k1，j1)，(k2，j2)，…，(km，jm)}是由不同整数对组成的有限集，满足ki＞ji≥0，i=1，2，…，m，又设ε＞0 是给定的常数，则存在零测度集E1⊂[0，2π)，使得如果φ0∈[0，2π)E1，则存在常数R0=R0(φ0)＞0，对满足argz=φ0及 |z| ≥R0的所有的z及对所有(k，j)∈Γ，都有≤ |z|(k-j)(ρ-1+ε)。

引理5[9]假设g(z)是超越亚纯函数且σ(g)=σ＜∞，那么对任意给定的ε＞0，存在线测度为零的子集E⊂[0，2π)，满足：如果φ∈[0，2π)E，那么存在常数R=R(φ)＞1，满足对所有argz=φ和 |z| =r≥R的z，有exp{-rσ+ε}≤ |g(z)| ≤exp{rσ+ε}。

引理6[10]设p(z)是次数为n的非常数多项式，W(z)≢0 是亚纯函数，其级σ(W)＜n，令g=WeP，则存在零测度集H1⊆[0，2π)对每一θ∈[0，2π)(H1∪H2)，及给定常数ε：0 ＜ε＜1，当r＞r0(θ，ε)时，有

（i）如果δ(p，θ)＜0，则exp{(1+ε)δ(p，θ)rn}≤ |g(reiθ)| ≤exp{(1-ε)δ(p，θ)rn}；

（ii）如果δ(p，θ)＞0，则exp{(1-ε)δ(p，θ)rn}≤ |g(reiθ) |≤exp{(1+ε)δ(p，θ)rn}。

其中H2={θ:δ(P，θ)=0，0 ≤θ＜2π}是有限集。

引理7设P(z)=(α+iβ)zm+…是次数为m≥1的多项式，Hj(j=0，1，2，3，4)为级小于m的亚纯函数，其中H2≢0，令φ(z)=H0+H1eP+H2e2P+H3e3P+H4e4P，那么φ(z)≢0。

证对任意的射线argz=θ，有δ(jP，θ)=jδ(P，θ)(j=2，3，4)，分为H4≢0 和H4≡0 来讨论。

1）若H4≢0，令σ(H0)=d＜m。由引理5，对任意给定的ε(0 ＜ε＜min{m-d，})，存在测度为零的子集E1⊂[0，2π)，满足如果θ∈[0，2π)E1，那么存在一常数R=R(θ)＞1，满足对所有argz=θ和 |z|=r≥R的z有

由引理6，存在argz=θ∈[0，2π)(E2∪E1∪E0)。其中E2，E0⊂[0，2π)，E2具有线测度零，E0是有限集，满足δ(p，θ)＞0，以及对上面给定的ε，当r充分大时，有

如果φ(z)≡0，则由（8）～（12）得

由d+ε＜m，0 ＜ε＜min{m-d，}，当r→∞时，有

由（13）～（15）得到1 ≤0，这个矛盾表明当H4≢0 时，φ(z)≢0。

2）若H4≡0，分为H3≢0 和H3≡0 来讨论。

（i）若H3≢0 ，由引理5 和引理6，对上面给定的ε，取射线argz=θ∈[0，2π)(E2∪E1∪E0) ，满足δ(p，θ)＞0 和r充分大时（8），（10），（11）式成立，且

如果φ(z)≡0，那么由（8），（10），（11），（16）有

exp{(1-ε)3rmδ(P，θ)}≤ |H3e3P| ≤exp{rd+ε}+2 exp{(1+ε)2rmδ(P，θ)}。

由d+ε＜m，0 ＜ε＜，类似于1）的讨论得出1 ≤0，这个矛盾表明当H4≡0，H3≢0 时，φ(z)≢0。

（ii）当H3≡0 时，有已知H2≢0，如果φ(z)≡0，有H0+H1eP+H2e2P≡0，使用上面方法能推出矛盾，进而知φ(z)≢0。即H4≡0，H3≡0 时，φ(z)≢0。结合（i）的讨论，当H4≡0 时，φ(z)≢0。再结合1）的讨论知总有φ(z)≢0。

引理8[11]假设f(z)是无穷级整函数且σ2(f)=α＜∞，dj(z)(j=0，1，2)是不全恒等于零的有限级亚纯函数且0 ≤β=max{σ(d0)，σ(d1)，σ(d2)}＜α，那么W(z)=d2f″+d1f′+d0f具有无穷级。

引理9[12]设f(z)是一整函数且级σ(f)=σ＜∞。假设存在一集合E⊂[0，2π)，线测度为零，对任一射线arg，，（其中M=M(θ0)＞0 是一常数且k(＞0)也是一与θ0无关的常数），那么f(z)是一次数≤k的多项式。

3 定理1和定理2的证明

3.1 定理1的证明

假设f(z) 为方程（5）的一个解，由复域微分方程的基本理论可知f(z) 为整函数，且由引理1 知σ(f)=∞。

注意到（17）式可能存在有限级解，但我们只需考虑它的无穷级解。若φ″+Aφ≡0，由引理1 知，显然σ(φ)=∞，但这是不可能的，因此φ″+Aφ≢0，于是由引理2得

由定理A 可知，对于方程（5）有σ2(f)=σ。要证明，由于，所以只要证明g″+Ag=-(φ″+Aφ)的每个超越解g有即可。

由g″+Ag=-(φ″+Aφ)可知：如果z0为g的零点且阶数大于2，那么φ"(z0)+A(z0)φ(z0)=0，所以

另一方面，（17）式可改写为

从而

从（18）和（19）式得到：除去一个线测度为有穷的集合E1外，

当r充分大时，

设σ1=max{σ(φ)，σ(A)}，那么对任意给定的ε＞0，当r充分大时，

由（20）～（22）式得到：当r∉E1，且当r充分大时，

2）现在证明λ-(f′-φ)=∞和，令g1=f′-φ，对（5）两边求导得

从而

将f″=g′+φ′和（25）代入（5）式得

对满足argz=φ0∈[0，2π)E1的z=reiφ0成立，其中d为常数。由引理9知A为一多项式，与A为超越整函数矛盾，因此，由引理2可得=∞。

观察（26）式两边，事实上，若z0为g1(z)的k(＞2)重零点，则z0为(φ″-+Aφ)的k-2 重零点，这样即有

由（26）式可得

从而

再结合（27），（28）式可得，除去一个线测度为有穷的集合E3外，

由于当r充分大时，

设σ(φ)=α，已知σ(A)=σ，令β=max{σ，α}，则对任意给定的ε＞0，当r充分大时，

由（29）～（31）得到，当r∉E3，且当r充分大时，

由引理3 和（32）式，得到σ2(g1)≤(g1)，从而σ2(g1)=(g1)。由f′=g1+φ及σ2(f)=σ2(f′)=σ2(g1)=σ得到。

把g′2=f‴-φ′代入（33）式得

再对（33）式两边求导，则有

由（5）式及注意到f(4)=g2″+φ″，（35）可变形为

我们断言：AA″-A3-2(A′)2≢0，否则，由类似情形2）的讨论可得矛盾。由（34），（36）式有

再把（37）式以及f″=g2+φ代入（5）式即有

由类似情形2）的讨论可得，A2φ″-2AA′φ′-(AA″-A3-2(A′)2)φ≢0 ，再由引理2知=λ(g2)=σ(g2)=∞。

观察（38）式两边，利用类似情形1）和情形2）的讨论可得=σ。

3.2 定理2的证明

1）首先假设d2≢0，f(≢0)是方程（7）的任一解，由定理A知σ(f)=∞，σ2(f)=m。

令W=d2f″+d1f′+d0f-φ=g-φ，由max={σ(d2(z))，σ(d1(z))，σ(d0(z))}＜m=σ2(f) 和引理8 知σ(W)=σ(g)=∞。为证，仅需证明=∞。将f″=-BeP f代入W(z)，得到

对方程（39）的两边微分且用f″=-BeP f替换f″，得到

令α1=d1，α0=d0-d2BeP，β1=′+d0-d2BeP，β0=-d1BeP-BeP-d2B′eP-d2BePP′。则有

令k=α1β0-α0β1，有

k=d1(-d1BeP-BeP-d2B′eP-d2BePP′)-(d0-d2BeP)(d′1+d0-d2BeP)=

其中，h2，h1，h0为级小于m的亚纯函数，由前边假设的d2≢0 知，h2≢0，用类似引理7的讨论可得k≢0。由（39）和（40）得到

对（41）式两边求导，得

把（42），（43）代入（7）式中得

式 中：k=α1β0-α0β1，F=α0kφ″-(k(-α0)′+β0k+k′α0+BePkα1)φ′-(k-k′β0-BePkβ1)φ=(d2)3B4φe4P+H0+H1eP+H2e2P+H3e3P；Hi(i=0，1，2，3)为级小于m的亚纯函数。

已知d2≢0，B≢0，类似引理7的讨论可知F≢0，而当d2≢0 时，α0=d0-d2BeP≢0，于是由引理2和（44）式可得=∞。

2）当d2≡0，d0≢0，d1≢0 时，使用类似情形1）的方法可得=∞。

3）当d2≡d0≡0，且d1≢0 时，W=g-φ=d1(f′-)，得=f′-。于是由类似定理1的证法得

4）当d2≡d1≡0 ，d0≢0 时，使用类似情形3）的方法可得=∞。综合1），2），3），4），得=∞。

［1］杨乐.值分布论及其新研究［M］.北京：科学出版社，1982：7-33.

［2］CHEN ZONGXUAN.On the complex oscillcition theory off(k)+Af=F［J］.Proc Edinburgh Math Soc，1993，36：447-461.

［3］陈宗煊.二阶复域微分方程解的不动点与超级［J］.数学物理学报，2000，20（3）：425-432.

［4］高仕安，陈宗煊，陈特为.线性微分方程的复振荡理论［M］.广州：华中理工大学出版社，1996：199.

［5］CHEN ZONGXUAN. Zeros of meromorphic solutions of higher order linear differential equations［J］.Analysis，1994，14：425-438.

［6］何育赞，肖修治.代数体函数和微分方程［M］.北京：科学出版社，1988：205.

［7］GAO SHIAN.Two theorems on the complex oscillation theory of non-homogeneous linear differential equations［J］. J Math Anal Appl，1991，162：381-391.

［8］GUNDERSEN G，Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function，plus similar estimates［J］. J London Math Soc，1988，37（2）：88-104.

［9］陈宗煊，孙光镐.一类二阶微分方程的解和小函数的关系［J］.数学年刊，2006，27A（4）：431-442.

［10］曹春雷，陈宗煊.一类整函数系数微分方程解的增长级和零点［J］.应用数学学报，2002，25（1）：123-131.

［11］张然然，陈宗煊.一类微分方程的解和小函数的关系［J］.数学物理学报，2009，29A（4）：918-928.

［12］CHEN ZONGXUAN，SHON KWANGHO，On the growth of solutions of a class of higher order differential equations［J］.Acta Mathematica Scientia，2004，24B（1）：52-60.

［13］王锦熙，易才凤.亚纯函数的迭代级与Borel方向［J］.华东交通大学学报，2009，26（1）：94-103.