采用信号相邻采样点联合估计的欠定盲源分离算法

冯 涛，朱立东

(电子科技大学通信抗干扰技术国家级重点实验室，四川成都611731)

0 引言

盲源分离［1］(blind source separation，BSS)问题是当前信号处理领域的热点与难点问题，其要求在对源信号及信道参数未知的情况下，仅根据检测信号恢复出源信号。因为其对先验信息要求较少，所以应用前景广阔，当前已经广泛应用于数字通信［2］、医学信号处理及阵列信号处理等领域。

盲源分离问题常用的数学模型表示为(1)式中:X(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xm(t)］T为检测信号向量;Α∈Rm×n为混叠矩阵;S(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sn(t)］T为源信号向量;N(t)=［n1(t)，n2(t)，…，nm(t)］T为噪声。盲分离的过程就是通过寻找一个逆矩阵W∈Rn×m，使得通过(2)式恢复出源信号。

因为先验信息未知，所以对源信号的恢复存在某些不确定性，即恢复源信号的幅度及排列顺序存在不确定性。

在盲源分离问题中，当检测信号数不少于源信号数时，即m≥n时，是盲源分离的初期研究中常考虑的超定及适定情况下的盲源分离问题，这个方面当前已经取得了较成熟的研究成果;但事实上，mn是更常见，也是更实际的情况，这种情况就是本文所考虑的欠定情况下的盲源分离。在欠定情况下，因为混叠矩阵不可逆，所以即使估计出混叠矩阵，也无法直接恢复出源信号。在欠定盲源分离(underdetermined blind source separation，UBSS)方法中，基于源信号稀疏特性的方法是当前应用最广的方法，对于时域上不具备稀疏性的信号，也往往采用变换域的方法，如频域、时频域或者小波域［3］等，使信号具备稀疏性。在已有的大部分欠定盲源分离算法中，噪声对分离效果的影响都是十分明显的，甚至可能导致算法不收敛或者恢复出错误的信号。

在基于稀疏性的欠定盲源分离算法中，两步法是一种常用的解决步骤，即首先估计混叠矩阵，然后根据估计的混叠矩阵进一步恢复出源信号。混叠矩阵的估计算法当前较成熟的有基于时域稀疏性的k均值算法，基于时频掩码的 DUET(degenerate unmixing estimation technique)算法，采用单源时频区域的 TIFROM算法、单源区间的检索平均法(SAMTD)，基于高阶累积量联合对角化的SOBIUM及FOBIUM算法［4－9］。混叠矩阵估计对源信号恢复有直接的影响，但不是本文考虑的重点，本文后面会对混叠矩阵估计误差对算法的影响做简要分析。本文主要考虑当混叠矩阵估计出后，如何进一步恢复出源信号并有效地抑制噪声的影响。

1 基于子空间的线性欠定盲源分离算法

基于子空间的线性欠定盲源分离算法(subspace－based linear UBSS algorithm，SL_UBSS)［9］最早由 Aïssa－El－Bey等人提出并应用于时频域的欠定盲源分离，该方法可以在当任意时频域点包含的源信号数小于检测信号数时恢复出源信号。本文考虑任意时刻的源信号数近似小于检测信号数，则该算法可以直接应用于时域上。

考虑某一时刻的 k个源信号分别为 sl1(t)，sl2(t)，…，slk(t)，kmn，(1)式可转化为(3)式中:

S'(t)=［sl1(t)，sl2(t)，…，slk(t)］T;A'=［al1，al2，…，alk］，ai(1≤ i≤ n)为 A 的列。

令Q表示到A'噪声子空间的正交投影矩阵。则Q为

(4)式中:I为单位阵;(*)－1表求取逆运算。同时，有(5)式成立。

当混叠矩阵已经预先估计，则通过(5)式可以判断任意时刻采样点所包含的源信号序列l1，…，lk。考虑到噪声的影响，我们通过使(6)式最小化以判断源信号序列

(6)式中，A'α=［aα1，…，aαk］。当该时刻的混叠矩阵A'估计后，当前时刻的源信号可以由(7)式估计

(7)式中，A'#表示矩阵A'的M－P伪逆。在每一个采样点分别进行(6)式及(7)式运算，从而可以恢复出每一个采样时刻的源信号值。在该算法中，每一个采样时刻都是独立考虑的，对每一个采样时刻源信号序列的估计都只受当前采样时刻的信号及噪声的影响，当出现瞬时噪声很大的情况下，该算法出现源信号序列错误判断的概率将大大增加。

2 采用信号相邻采样点联合估计

采用矩阵子空间的欠定盲源分离算法在任意时刻源信号数少于检测信号数时可以有效地估计出源信号，但随着噪声的增大，检测信号的信噪比会降低，恢复源信号的信噪比也会随之降低，与此同时，采用(6)式进行任意时刻包含源信号序列判断时出错的概率会增大，又会进一步降低源信号的估计性能。考虑到现实中，源信号的出现与消失都是有一段时间的，即往往相邻的几个信号采样点都由相同的几路源信号构成，而噪声具有随机性。因此，可以采用检测信号的几个相邻的采样点来进行联合估计，判断其中间时刻所包含的源信号序列，通过这一方法可以抑制噪声对源信号序列估计的影响，提高判断的准确率，进而提高恢复信号的信噪比。

对(1)式做简单变换，可得对于任意相邻的p个采样点，有(8)式成立。

将(8)式简写为

(9)式中:Xspan(t)∈Rmp×1，由p个采样点的检测信号展开而成;Aspan∈Rmp×np，由m×n个子块构成，每一个子块是一个p×p的对角阵，对角阵的对角线元素为混叠矩阵A的元素aij(1≤i≤m，1≤j≤n);Sspan(t)∈Rnp×1，由p个采样点的源信号展开而成;Nspan(t)∈Rmp×1，由p个采样点的噪声信号展开而成。

假设在某一时间段的相邻p个采样点，检测信号都由相同的k路源信号混合而成，则(8)式可以转变为。

(10)式中，sl1，…，slk为包含的源信号序列。将(10)式简写为

(11)式中:Xspan(t)∈Rmp×1与Nspan(t)∈Rmp×1的定义与(9)式相同;A'span∈Rmp×kp，由m ×k个子块构成，每一个子块是一个p×p的对角阵，对角线的元素为混叠矩阵Α的元素aij(1≤i≤m，j∈{l1，…，lk});S'span(t)∈Rkp×1，由k路源信号的p个采样点展开而成。

同SL_UBSS算法相似，我们可以得到向噪声子空间投影的正交矩阵为

同样的，我们可以通过使(13)式最小化以判断源信号序列

当源信号的序列估计后，可以由(7)式恢复出源信号。总的算法流程如下所示:

1)采用已有算法估计出混合矩阵;

2)按时间顺序，将采样点与其前后采样点联合，利用(13)式判断该采样点所包含的源信号序列，进而得到该采样时刻的混合矩阵A';

3)利用(7)式恢复出当前时刻的源信号，如信号未处理完，则返回2)，否则算法完成。

相对原有的SL_UBSS算法，新的算法通过相邻采样点联合估计包含的源信号序列，进而抑制噪声对源信号序列估计的影响，下文中简称该算法为ASL_UBSS算法(advanced SL_UBSS algorithm)。在实际应用中，我们可以采用当前采样点及前后对称数目的采样点(如前后各取1个点)联合判断该采样点的源信号序列。

3 仿真及性能分析

通过仿真，我们将检验SL_UBSS算法完成欠定盲源分离的可行性，噪声条件下，ASL_UBSS算法相对SL_UBSS算法对源信号恢复性能提升及条件改变时对算法性能的影响。这里考虑源信号为4路语音信号，检测信号为3路，则当采样时刻的源信号数不超过2路时，可以恢复出源信号。因为混叠矩阵估计不是本文考虑的重点，所以在仿真中都假设混叠矩阵已经有很好的估计。

3.1 SL_UBSS算法分离仿真

首先检验无噪条件下SL_UBSS算法的分离可行性，采用混叠矩阵A为

在不考虑噪声情况下，采用SL_UBSS算法得到的估计源信号及源信号和检测信号如图1所示，其中图1a为源信号，图1b为检测信号，图1c为估计信号。通过图1可以看出，当采样时刻源信号数不超过2路时，分离性能良好，当超过2路后，估计的源信号存在失真。

图1 SL_UBSS算法分离效果Fig.1 Separation result of SL_UBSS algorithm

3.2 ASL_UBSS与SL_UBSS性能比较

我们考虑在噪声情况下，检验ASL_UBSS算法相对SL_UBSS算法的性能提升。在性能评价上，本文采用常用的平均信干比(signal interference ratio，SIR)来比较估计信号与源信号的差异。在仿真中，噪声采用的是加性高斯白噪声，混叠矩阵A为随机产生，矩阵A中的元素aij服从－1到1之间的均匀分布，在不同检测信号信噪比下分别进行100次仿真，比较SL_UBSS算法，采用相邻1个点进行联合估计(3点ASL_UBSS算法)和相邻2个点进行联合估计(5点ASL_UBSS算法)3种情况下恢复信号的平均信干比。3种方法的对比如图2所示，从下往上分别为 SL_UBSS，3点 ASL_UBSS和5点 ASL_UBSS的性能曲线，通过图我们可以看出，ASL_UBSS算法相对SL_UBSS算法在检测信号信噪比为10～28 dB的整个区间上都有更好的性能，其中5点ASL_UBSS算法相对SL_UBSS算法平均有大约1.5 dB的性能提升。

图2 不同检测信号信噪比下的2种分离算法性能对比Fig.2 Comparing of the two separation algorithms under different SNR

3.3 ASL_UBSS中相邻点数的选取

通过分析可以发现，ASL_UBSS算法中相邻点数的选取对算法性能的影响包含以下2个方面。

3.3.1 相邻点数选取对分离性能的影响

设选取的相邻点数为l，且相邻的p个点都属于同样的k路源信号。当lp时，l越接近p，正确判断信号归属的概率就越大，即分离算法对噪声影响的抑制就越好，但随着l的变大，属于不同源信号的相邻区域用于联合判断的数量也会增加，相应的分离算法性能又会进入下降区间;当lp时，l越大，分离性能越差。

图3给出的仿真结果可以很好地表达相邻点数选取对分离性能的影响(数据及仿真方法与前一仿真相同)，当相邻信号数选择为1时，即退化为SL_UBSS算法。当检测信号信噪比偏低(10 dB)时，随着选取相邻点数的增加，算法对噪声干扰的抑制越好，不过增幅会逐步降低;当检测信号信噪比偏高(22 dB)时，初期恢复信号信干比会随着相邻信号数增加而改善，但当相邻信号数持续增加时，算法对外部噪声的抑制作用增加很小，反而会因为增大了属于不同源信号的相邻区域的选择次数，带来额外的检测错误，所以恢复信号的信干比反而出现一个降低的趋势。

图3 相邻点数选取对分离性能的影响Fig.3 Performance of separation algorithm with different selected adjacent point numbers

3.3.2 相邻点数选取对算法复杂度(计算量)的影响

从算法流程可以看出，随着相邻点数l的增加，矩阵A'span会增大，且A'span的元素总数正比于l2，A'span的大小对正交投影矩阵Qspan的计算有直接影响，同时，(13)式的计算量也正比于l2，l对源信号恢复过程的计算量无影响。因为Qspan的计算过程中存在取逆运算，所以，当l取值过大后，算法的计算量会有明显提高。

从前面讨论的2点综合看来，在实际应用中，相邻点数选取最好为3个点或者5个点，这个使得在分离性能改善及计算复杂度中取得了较好的平衡。

3.4 检测信号数对ASL_UBSS算法分离性能的影响

通过前面对SL_UBSS算法的介绍，可以知道，当检测信号为3路时，我们可以分离瞬时源信号少于3路的多路源信号;当检测信号为2路时，我们可以分离瞬时源信号少于2路的多路源信号。这里我们依然考虑前面的4路源信号，分别考虑3路检测信号及2路检测信号时的ASL_UBSS算法(3点)的分离性能。图4给出了检测信号数对分离性能的影响曲线。

图4 检测信号数对分离性能的影响Fig.4 Performance of separation algorithm with different number of sensing signals

从图4可以看出，因为仿真所使用源信号在任意时刻都是大于或等于2路的，而当检测信号为2路时，仅能分离出其中1路信号，所以分离性能相对3路检测信号有了较大的降低，并且此时恢复信号信干比随检测信号信噪比提高而改善很小。当然，通过前面对SL_UBSS算法的分析也可以得到，当信号具有强稀疏时，即任意时间源信号为一路时，SL_UBSS与ASL_UBBS算法也会取得较好的分离性能。

3.5 混叠矩阵估计误差对算法性能的影响

混叠矩阵估计误差会对分离性能产生影响，其影响主要包含2个方面:①对任意采样点包含源信号序列判断的影响;②源信号序列判断完成后，伪逆矩阵的计算会引入误差。通过分析可得，对于第1个方面，当混叠矩阵估计误差较小时，改进算法依然可以提高源信号序列的判断准确率;当混叠矩阵估计误差较大时，原算法及改进算法都很难有效完成对源信号序列的判断。对于第2个方面，混叠矩阵的估计误差对原算法及改进算法的影响相同。所以总的来说，混叠矩阵估计误差对改进算法分离性能的影响相对原算法更小。

4 结束语

盲分离算法对噪声的鲁棒性是当前盲信号处理中的一个难点，当前的很多算法在有噪情况下性能都会急剧下降，在本文提出的方法中，通过对相邻采样点进行联合估计，提升了盲信号分离算法的鲁棒性，提高了恢复信号的信噪比。同时，时域或者变换域相邻点具有相关性是一种常见的情况，因此该方法还可以灵活应用于其他类似情况。在后面的工作中，可以将该方法运用于时频域或者将该方法与小波降噪等噪声抑制、消除方法联合使用。

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