圆柱与伪圆柱组合投影

童新华 ， 钟业勋 ，2

（1.广西师范学院 资源与环境科学学院，广西 南宁 530001；

2.广西测绘地理信息局，广西 南宁 530023）

圆柱与伪圆柱组合投影

童新华1， 钟业勋1，2

（1.广西师范学院 资源与环境科学学院，广西 南宁 530001；

2.广西测绘地理信息局，广西 南宁 530023）

根据圆柱投影和伪圆柱投影的变形分布和互补性，提出了圆柱与伪圆柱组合投影概念.推导了中央经线方程，赤道方程和伪圆柱投影的非中央经线方程.通过系数K1，K2和K3分别调节纬线间隔、经线间隔和伪圆柱投影的非中央经线收敛度.用系数K4确保伪圆柱投影的经线与接合纬线正交.用一实例阐释了圆柱与伪圆柱组合投影的设计程序和方法.本例中，在南纬60°到北纬60°之间，面积比在1.5以下，最大角度变形在15°以下.这投影适于用作小比例尺世界地图的数学基础.

圆柱投影；伪圆柱投影；组合投影；中央经线方程；赤道方程；接合纬线；变形

正轴圆柱投影适用于低纬度和赤道地区，但在高纬地区因长度变形过大而不宜使用.伪圆柱投影则可减少高纬地区的长度变形[1-5].考虑到这两种投影变形特点的互补性和纬线均为赤道的平行线的共同点，本文提出了以某一设计纬度φk为接合纬线，在[0°，φk）区间采用圆柱投影，而在[φk，90°]区间采用伪圆柱投影的组合投影概念.本文是笔者关于圆柱与伪圆柱组合投影的研究和探讨.

1 中央经线方程、赤道方程和伪圆柱投影非中央经线方程

1.1 中央经线方程

圆柱投影和伪圆柱投影的中央经线上，每个纬度φj对应着一个纵坐标xoj，xoj表现为φj的奇函数.经纬线公式要求经纬度以rad（弧度）为单位.为使以rad表示的φj在方程解算中得到简化，通过转换系数K1将φj变换为ψj[6-8]：

选取适当的K1值，给定中央经线上四个点的坐标xoj，即可解算xoj方程的 4个系数a00、a01、a02、a03.因不同的系数组对应着不同的纬线间隔，所以组合投影的纬线间隔具有可调节性.

1.2 赤道方程

正轴圆柱投影的赤道为直线.赤道与各经线交点的横坐标yio表现为经度λi的奇函数.同理，可通过转换系数K2将λi变换为ξi：为了使赤道方程和中央经线方程可用同一程序解算，设赤道方程为ξi的7次幂方程：

选取适当的K2值，给定赤道上4个点的横坐标yio，即可解赤道方程的4个系数l0，l1，l2，l3.

1.3 伪圆柱投影的非中央经线方程

圆柱投影和伪圆柱投影的纬线为赤道的平行线，可见任意纬线φj与任意经线λi交点的纵坐标xij与xoj相等，即xij=xoj.而伪圆柱投影的非中央经线，为对称于中央经线的曲线.选择曲线的形式为椭圆，用椭圆参数方程的y方程[9]，即可建立非中央经线方程：

（5）式中之φk为圆柱投影和伪圆柱投影的接合纬度，K3为经线的收敛系数，其定义域为1≥K3＞0.K4为确保[φk，90°]的余弦变化与[0°，90°]的变化同步的系数，它满足所有经线与接合纬线正交条件.

从（4）、（5）式可见，yij是yio的函数，而yio由赤道方程的系数l0，l1，l2，l3决定，每组系数，对应着不同的经线间隔，所以组合投影的经线间隔，具有可调节性.

2 变形公式

2.1 伪圆柱投影的变形公式

（6）式中的R为满足某种条件的地球正球体半径，μ0为地图比例尺，计算单位可用cm或mm.

因伪圆柱投影只用于[φk，90°]区间，所以（6）式的φj∈[ ]

φk,90∘；（6）式中的ε为经纬线投影后的夹角θ′与90°之差值.m为沿经线长度比，n为沿纬线长度比，p为面积比，ω为最大角度变形.将（10）式代入（9）式可求yλ.将yφ，yλ代入（6）式之4式求到ε后，m，n，p，ω依次可求.

2.2 圆柱投影的变形公式

φk处的变形值，采用伪圆柱投影的计算成果，所以（11）式之φj的定义域为[0°，φk）.

3 算例

设地图比例尺为1∶2500万，R用GRS80椭球的等体积球体半径，以cm为计算单位，则μ0R=25.484 cm；设φk=40°，令φj=40°时ψj=1，得K1=1.432394448；令λi=90°时ξi=1，得K2=0.63662；取K3=0.6，K4=1.8.

3.1 解中央经线方程

给定中央经线上四个点的坐标，见表1.

表1 中央经线上的设计坐标Tab.1Design coordinate on central meridian

3.2 解赤道方程

给定赤道上四个点的横坐标yoj，见表2.

表2 赤道上的设计坐标Tab.2Design coordinate on equtaor

将xoj，yio，φk，K3，K4值代入（5）式，可求伪圆柱投影[φk，90°]区间的坐标xij，yij；

而圆柱投影的坐标为：

将（12）式之各系数代入（7）式可求x′；将（13）式之各系数代入（10）式可求y′io.按（6）式，（11）式可以计算各经纬线交点的m，n，p，ω变形值.本例的坐标和变形计算成果见附表1，面积比和最大角度变形图见图1.

4 结语

本文提出了圆柱与伪圆住组合投影概念，推导了可调节纬线间隔的中央经线方程，可调节经线间隔的赤道方程和可调节伪圆柱投影非中央经线收敛度的经线方程.通过系数K4确保伪圆柱投影在φi∈[ ]

φk,90∘区间的余弦变化与0°～90°的变化同步，从而使伪圆柱投影的经线与接合纬线φk正交，与圆柱投影的同名经线自然衔接.通过实例，阐述了圆柱与伪圆柱组合投影的设计程序和方法.本例设计的投影，在南纬60°至北纬60°的广大区域，面积比在1.5以下，最大角度变形在15°以内.本投影适用于编制小比例尺世界地图.

图1 圆柱与伪圆柱组合投影的面积比P和最大角度变形ω等变形线Fig.1 Distortion Isograms of proportion of area P and maximum angular distortion ω for cylindrical and pseudo-cylindrical Homeotheric projection

附表1 圆柱与伪圆柱组合投影的坐标和变形成果Schedule 1 Achievement of coordinate and distortion of cylindrical and pseudo-cylindrical homeothric projection

[1]胡毓钜.数学制图学[M].北京:中国工业出版社,1964.

[2]胡毓钜,龚剑文.地图投影[M].2版.北京:测绘出版社.1992.

[3]胡毓钜,龚剑文.地图投影图集[M].3版.北京:测绘出版社.2006.

[4]黄国寿.地图投影[M].北京:测绘出版社.1983.

[5]钟业勋.数理地图学[M].北京:测绘出版社，2007.

[6]钟业勋.不等分经纬线多圆锥投影的设计与解析计算方法[J].测绘学报,1965,8(3),210-236.

[7]钟业勋.吻接圆弧边经多圆锥投影—预先给定变形分布设计多圆锥投影方法的探讨[A].吴忠性,胡毓钜.地图投影论文集[C].北京:测绘出版社,1983.230-254.

[8]钟业勋.关于用纬度φ的高次幂方程表示地图投影经线的若干问题[A].吴忠性,胡毓钜.地图投影论文集[C].北京:测绘出版社,1983.329-334.

[9]西安交通大学高等数学教研室.高等数学（上册）[M].北京:人民教育出版社,1964.

Cylindrical and Pseudo-Cylindrical Homeotheric Projection

TONG Xinhua1，ZHONG Yexun1，2
（1.School of Resource and Environment Science，Guangxi Teachers'College，Nanging530001，China；
2.Guangxi Regional Geographic Informational Bureau of Surveying and Mapping，Nanning530023，China）

According to the distortion distribution and complementarity of cylindrical and pseudo-cylindrical projec⁃tion,the authors put forward the concept of cylindrical and pseudo-cylindrical homeotheric projection,derived the cen⁃tral meridian equation，equator equation and non-central meridian equation of pseudo—cylindrical projection,adjust the interval of parallel and meridian and convergent degree of non-central neridian of psaudo-cylindrical projection respec⁃tively through coefficientK1,K2andK3,ensure orthogonal of meridian in pseudo-cylindrical projection and joint parallel by coefficientK4.The design program and mode of cylindrical and pseudo-cylindrical homeotheric projection have been explained by an example.The proportion of area at 1.5 below and maximum angular distortion at 15°below between from south parallel 60°to north parallel 60°interval in this example,this cylindrical and pseudo-cylindrical homeetheric pro⁃jection is suitable to be mathenatical base of small scale world map.

cylindrical projection；pseudo-cylindrical projection；homeotheric projection；central meridian equation；equator equation；joint pareallel；distortion

P 204

A

1674-4942（2012）01-0032-04

2011-12-20

广西自然科学基金项目（0448037）

毕和平