分数阶控制器实现方法研究

邝 钰 吴 润 李 岩

北京航天自动控制研究所，北京100854

分数阶微积分把传统整数阶微积分的阶次推广到了复数形式［1］，此概念最早是1695年Leibniz 和Hospital 提出的，经过300 多年的发展，分数阶微积分已经应用到材料记忆、力学和电特性的描述、粘弹性阻尼、分形理论等诸多工程领域［2］，分数阶微积分在控制系统中应用还比较新。理论上，控制系统既包括分数阶被控对象又包括分数阶控制器［3］。朱呈祥等人对被控对象的分数阶辨识进行了研究［4］，然而，在控制实践中，被控对象的模型已经有了经典的整数阶模型，所以往往仅考虑控制器为分数阶［3］，例如，Alain Oustaloup 等人提出了非整数阶鲁棒控制(CRONE)［5］，以及目前国内外研究较多的分数阶PID(PIλDμ)控制［2，6］也是如此。

传统整数阶PID 控制结构简单、鲁棒性强，广泛应用于航天、冶金、电力等过程控制中，而PIλDμ控制是传统PID 控制的推广，它比PID 控制多了积分阶次λ 和微分阶次μ 这2个可调参数，控制器参数的整定范围更广，控制更灵活。本文首先研究了分数阶控制器的模拟及数字实现方法，然后以阀控对称液压缸PIλDμ控制系统为例，对分数阶控制器的数字实现方法进行了研究与验证。

1 分数阶微积分

分数阶微积分的基本算子为a，a 和t 是积分的上、下限，α 为微积分阶次，可以是一个复数，本文只研究α∈R 的情况。

分数阶微积分定义有多种，常见的分数阶微积分定义有Grünwald－Letnikov(G－L)定义、Riemann－Liouville(R－L)定义和Caputo 定义等［8］，以常用的R－L 定义为例，其分数阶积分定义为

其中，0 ＜α ＜1，Gamma 函数Γ(λ)定义为

由式(2)的积分定义，还可以定义出分数阶微分。假设分数阶n－1 ＜β ＜n，则其微分定义为

R －L 定义的分数阶积分式(2)和分数阶微分式(3)的Laplace 变换分别为

和

式中F(s)为f(t)的Laplace 变换。特别地，若函数f(t)及其各阶微分的初值均为0，则

对于广类实际函数，G－L 定义和R －L 定义的分数阶微积分完全等效，而Caputo 定义更适合于分数阶微分方程初值问题的描述［7］。

2 模拟分数阶微积分器件

理想电容的阻抗为1/(jωC)，而现实比较理想的电容阻抗表达式为1/(jωC)α，这里α 取值从0.999 到0.9999 或者更好［8］，典型情况下，我们希望电容的α 值尽量接近“1”。然而，实际的电容大都表现出一定的“分数度”，Schmidt 和Drumheller研究发现，LiN2H5SO4(Lithium Hydrazinium Sulfate)这种材料在一个很大的温度和频率范围内，其导纳的实部与虚部数值可达到106，而且随频率的f－1/2变化［9］。考 虑LiN2H5SO4这 种 材 料 导 纳 的实部与虚部数值巨大且近似相等，可得其阻抗表达式为

其中K 为整合后的系数。式(7)的Laplace 变换为

图1 和图2 分别为使用LiN2H5SO4材料做成的元器件所构成的模拟分数阶积分与微分电路，此电路仅适用积分与微分阶次大约为0.5 的情况，其它阶次并不适用。

图1 分数阶积分电路

图2 分数阶微分电路

3 分数阶微积分的数字实现

文献［7］给出了可由Fourier 级数展开的已知函数的分数阶微积分的计算方法，但实际应用中，信号的函数表达式经常是无法预先知道的，对于这种情况，可以通过构造数字滤波器的方式对信号进行分数阶微积分数值处理，信号经过滤波器的输出结果就是信号分数阶微积分的近似结果。

分数阶微积分可用Laplace 变换写成s±r形式。要构造数字滤波器，需要引入生成函数s =ω(z－1)对分数阶微积分算子s±r(r∈(0，1))进行离散化，生成函数的形式及其展开方法不同，所构造滤波器输出结果逼近原信号分数阶微积分的程度也不同。已经提出的分数阶离散化数字实现方法有对Euler算子的连分式展开(CFE)法和幂级数展开(PSE)法，对Tustion 算子的递归式展开法和CFE 法，以及对Al－Alaoui 算子的PSE 法等。

理想积分算子s－1在高频段的幅频响应位于Simpson 积分算子HS(z)和梯形积分算子HT(z)幅频响应之间，为改善高频段响应，在设计滤波器时，引入加权系数a∈［0，1］，兼顾Simpson 积分算子和梯形积分算子，可以得到一种新的积分算子［3］

一般情况下，任何函数G(z)都可以用CFE 法展开成如下形式

对式(10)选择不同的加权系数a，或按照不同的拟合阶次进行CFE 展开，就可以得到不同的滤波器，最终实现对分数阶微积分的离散数字化。

以分数阶微积分s±0.3和s±0.7为例，取加权系数a=0.5，采样周期T=0.01S，分数阶次r =0.3，0.7，对式(12)进行3 阶CFE 展开，可分别得到滤波器GF(r)的表达式分别为

如果r ＞1，也即r=［r］+r'，则可以先利用已有的方法，对整数阶微积分部分进行离散化后，然后再用上面讲的方法对分数阶部分进行离散化，所以通过式(12)～(15)，我们还可以得到s±1.3，s±1.7的数字化表达式。

4 分数阶PID 控制器

分数阶PID 控制器即PIλDμ控制器，其积分阶次λ 和微分阶次μ 为任意正实数，其传递函数为

其中KP为比例增益，KI和KD分别是积分和微分常数。显然，当λ=μ=1 时，PIλDμ退变为经典的整数阶PID，类似地，PD 或PDμ控制都是PIλDμ的特例。

5 数值仿真

阀控对称液压缸是较为常见的一种电液伺服动力机构，如果忽略结构柔度、摩擦负载和弹性负载的影响，其连续数学模型可表示为［10］

式中:y 为液压缸活塞杆的位移(m);kv为系统的速度增益(rad/s);ζh为动力机构的阻尼比;ωh为动力机构的固有频率(rad/s);xv为伺服阀阀芯位移(m)。

当选取参数kv= 15. 96rad/s，ζh= 0. 8，ωh=16.85rad/s，对阀控对称液压缸进行传统的连续PID控制器设计时，系统的闭环传递函数为

假设期望的系统闭环极点为－ 10，－ 10，－3.48 ±j9，则可以求出PID 控制器参数KP=0.5646，KI=2.0548，KD=0.017。

为便于分析PIλDμ控制器参数λ 和μ 对系统的影响，在对上述阀控对称液压缸进行PIλDμ控制器设计时，选取与连续PID 控制相同的控制参数KP，KI和KD。使用MATLAB 分别对阀控对称液压缸PIλDμ控制系统，在不同积分阶次λ 和微分阶次μ作用下的单位阶跃响应进行研究，具体如下:

当积分阶次λ=1，微分阶次μ 分别取0.7，1 和1.3 时的单位阶跃响应如图3 所示。

图3 不同微分阶次下阶跃响应

当微分阶次μ=1，积分阶次λ 分别取0.7，1 和1.3 时的单位阶跃响应如图4 所示。

图4 不同积分阶次下阶跃响应

λ=μ=1 和λ=0.3，μ=1.7 两种情况下的单位阶跃响应如图5 所示。

图5 整数阶与分数阶PID 阶跃响应

仿真结果表明:在选择相同Kp，KI和KD参数的情况下，随着λ 或μ 的增大，闭环系统的超调量减小的同时，系统的响应速度会有所减慢;微分阶次μ在减小超调量方面的作用强于积分阶次λ，而积分阶次λ 在提高系统响应速度方面的作用优于微分阶次μ;适当减小积分阶次，增大微分阶次，可以达到如图5 所示的理想控制效果。仿真结果不仅验证了PIλDμ控制比经典PID 控制多了2个可调参数，可以更好地改善系统性能，还进一步验证了数字实现分数阶控制器方法的正确性与可行性。

6 结论

本文对分数阶控制器的模拟与数字实现方法进行了阐述与研究，并以阀控对称液压缸分数阶PID控制为例，验证了分数阶控制性能的优越性，以及分数阶控制器数字实现方法的可行性。

［1］Oustaloup A，Levron F，Nanot F，and Mathieu B.Frequency-band Complex Noninteger Differentiator:Characterization and Synthesis［J］. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I，2000，47(1):25-40.

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［3］Chen Y Q，Blas M，Vinagre. A New IIR-Type Digital Fractional Order Differentiator［J］. Signal Processing，2003，83(11):2359-2365.

［4］朱呈祥，邹云.基于PIλDμ控制器的一种线性系统辨识方法研究［J］. 系统仿真学报，2009，21(12):3532-3535.(Zhu Cheng xiang，Zou Yun. Identification Algorithm for Linear System Based on Fractional-Order PIλDμController［J］. Journal of System Simulation，2009，21(12):3532-3535.)

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［7］薛定宇，陈阳泉. 高等应用数学问题的MATLAB 求解［M］.北京:清华大学出版社，2008:401-427.(Xue Dingyu，Chen Yangquan.Advanced Applied Mathematical Problem Solutions With MATLAB［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2008:401-427.)

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［10］李长春，刘晓东，孟亚东.电液伺服系统的模型跟随控制研究［J］.兵工学报，2007，28(5):629-632.(Li Changchun，Liu Xiaodong，Meng Yadong. Model Following Control of Electro-hydraulic Servo System［J］.Acta Armamentarii，2007，28(5):629-632.)