五轴联动数控加工的刀具路径优化方法研究

赵 鹏 楼佩煌 刘明灯 胡荣华

1.南京航空航天大学，南京，210016 2.南京四开电子企业有限公司，南京，210007

0 引言

在复杂曲面高速、高效、高精度加工中，五轴联动数控是目前研究和发展的重要方向。由于ISO6983规定的NC代码标准和五轴刀具路径规划算法的限制，CAM将CAD中的参数曲线模型离散为微小直线段进行规划，生成一阶不连续的刀具路径，造成各驱动轴的运动路径呈现离散特征，在加工中发生速度和加速度的跳动，影响机床动态特性，并降低了零件轮廓加工精度和表面质量。这些刀具路径的不连续性缺陷在后续处理的速度规划和插补中无法进行补偿。现代CNC期望直接处理参数曲线信息以获得平滑的刀具路径，一些厂家的CNC提供了参数曲线插补功能，与传统直线插补方式相比，可以得到更高的加工精度［1－2］。然而由于五轴联动中旋转轴附加运动路径与工件坐标系没有线性映射关系，造成五轴加工刀具路径规划困难，国际上只有极少数高档CAM软件支持输出五轴联动加工的参数曲线NC代码，但这些CAM软件价格昂贵。有学者将刀具路径平滑算法作为独立模块并将其作为CAD／CAM 和CNC的中间组件［3－10］。文献［2］研究了五次参数样条的拟合刀具路径，文献［3－8］提出了NURBS曲线拟合刀具路径的方法，但这些方法都没有说明五轴加工中旋转轴附加运动带来的影响；文献［9－11］对五轴数控刀具路径中的位置矢量和方向矢量采用离线曲线插值方法优化，但增加了对CAM系统输出代码的特殊要求。FANUC数控系统应用了五轴刀具路径平滑方法［12］，在曲面加工中获得了良好的加工质量，但未公开其关键技术。笔者应用通用CAM输出的五轴NC代码进行刀具路径优化，消除了由加工路径不连续引起的机床振动，提高了工件的表面质量和加工精度。

1 五轴加工运动分析

1.1 五轴加工NC代码分析

通用CAM软件输出的五轴加工NC代码为

该代码表示机床各驱动轴的实际运动量。其中，X、Y、Z为平动轴的位移，A、B、C为旋转轴的转角（分别对应旋转轴A、B、C），F为进给速度。三轴加工中，刀具中心点运动路径直接表达刀具相对零件轮廓的有效切削运动。五轴加工中，旋转轴转动不仅会改变刀具相对工件的方向，还会改变两者的相对位置，产生附加运动，而附加运动在刀具运动路径中进行补偿。因此，五轴联动中的刀具中心点运动路径不能真实表达刀具相对零件轮廓的有效切削运动。如图1所示，工件装夹于转台abc位置，以多轴方式加工工件轮廓ab，开始加工时，刀具中心点位于点a，一段加工时间后，由于旋转台转过角度θ，工件位置随转台转至a′b′c′，刀具中心点切削到轮廓ab上的M 处。在这段加工过程中，刀具中心点实际从a点运动到M点，但有效切削路径是沿工件轮廓的运动路径a′M。在五轴加工中，工件轮廓的精度和表面质量由有效切削运动路径决定，而机床运动的稳定性和连续性由各驱动轴运动路径决定。

1.2 刀具切削路径计算

数控加工的首要目标是保证工件的加工质量，刀具相对于工件的切削加工路径的精度和平滑性直接影响工件的加工精度和表面质量。本文首先将机床坐标系中的驱动轴运动路径转换为工件坐标系中的刀具切削路径，对切削路径进行平滑处理。由于五轴数控机床类型繁多，坐标转换关系复杂，故本文以应用广泛的立式双转台五轴机床为例。双转台结构中的旋转自由度是由工件旋转实现的，因此，NC代码中的（X，Y，Z）为刀心点在机床坐标系ORXYZ中的位置，工件坐标系在初始状态（A＝0，C＝0）时平行于机床坐标系，工件坐标系原点与机床实际旋转中心偏差为（dx，dy，dz），刀具中心点在工件坐标系Owxyz 中的坐标（x，y，z）表示刀具相对工件轮廓的有效切削运动路径点。有效切削运动路径点的坐标求解过程如下［13］：① 将机床坐标系平移到工件坐标系，变换矩阵为T1；②工件绕Z轴旋转角度C，变换矩阵为T2；③工件绕X轴旋转角度A，变换矩阵为T3。可得：（x，y，z，1）R＝ （X，Y，Z，1）WT1T2T3。

2 五轴数控刀具路径优化

2.1 刀具切削路径优化

刀具切削路径平滑优化采用NURBS曲线拟合方法。NURBS曲线表达式为［6］

式中，wi为权因子；Vi为NURBS曲线控制顶点；l＋1为控制顶 点 数 目；Ni，p（u）为p 次 规 范 B样 条 基 函数，u 为NURBS曲线参数。

影响NURBS曲线形状的主要因素为控制顶点Vi。在NURBS曲线拟合过程中，权因子wi、基函数次数p和节点向量U可提前设定，通过求解控制顶点的数目和坐标最终实现离散刀具路径的NURBS曲线拟合平滑。

如图2所示，对任意刀位点Pj，拟合NURBS曲线上均有点R（uj）与其对应：

其中，uj为点Pj对应参数值，根据向心弦长法可求出［4-5］：

式中，｜P0Pj｜为起点到当前点Pj间的微小直线段长的和；｜P0Pm｜为本拟合段所有微小直线段长的总和。

每个刀位点与曲线偏差为｜R（uj）－Pj｜，最小二乘法拟合目标是优化控制顶点，使拟合曲线到各刀位点偏差的总和最小，建立偏差总和与控制顶点的函数：

如要偏差总和最小，则第q（q＝0，1，…，l）个控制点处方程为

由式（2）～式（5）可初步求出各控制顶点坐标，确定拟合的NURBS曲线方程。

2.2 切削加工路径误差分析

切削路径的拟合精度决定了工件的轮廓精度，如图3所示，为保证刀具切削路径的拟合最大误差小于允许误差ζ0，要计算拟合曲线与原直线段链的最大弦高误差。为简化计算过程，采用近似弦高法求解［6］，以其中一直线段PiPi＋1为例进行误差分析，具体过程如下：

（1）设 Pi、Pi＋1对 应 曲 线 上 的 点 R（ui）、R（ui＋1）；

（2）将参数区间uiui＋1等分为n个子区间，计算各等分点处的弦高误差ζk和各弦高误差最大差值Δζmax；

（3）若Δζmax＞ε（ε为一个设定的极小数，小于ε的数可判定为0），则选取包含最大弦高值的相邻参数作为新的uiui＋1，返回步骤（2）；

（4）若Δζmax≤ε，则各参数点处弦高误差相同，ζk为PiPi＋1的最大弦高误差；

（5）若ζk≤ζ0，则微直线段PiPi＋1可以由NURBS曲线R（u）拟合；

（6）若ζk＞ζ0，需要对R（u）进行调整，将线段PiPi＋1中点作为新的型值点，按2.1中所述拟合方法重新计算R（u）。

按以上方法对整个NURBS曲线段进行调整，直到所有线段弦高误差均在允许值以内。

2.3 机床驱动轴运动路径优化

机床驱动轴的不连续运动造成各轴在微段转接点发生冲击，缩短机床寿命，降低精度，为消除上述缺陷，五轴刀具路径优化系统将驱动轴运动路径进行二阶连续曲线化处理。刀具切削路径优化保证了加工零件的精度和表面质量，旋转轴运动路径优化保证各驱动轴运动的平滑性。为便于与切削加工路径参数进行统一化处理，选取刀具切削路径中的弦长为参数，进行五次样条曲线拟合。

如图2所示，为求解拟合路径在点Pj处的一阶和二阶导数，选取 Pj－1、Pj、Pj＋1、Pj＋2四个点，设旋转轴在各点的旋转角度分别为Aj－1、Aj、Aj＋1、Aj＋1，相 应点参数 为 0、lj－1，j、lj－1，j＋1、lj－1，j＋2，对4个点的角度值Aj－1、Aj、Aj＋1、Aj＋1进行3次参数曲线插值得到参数曲线Cj（l），可设定旋转轴A的路径在点Pj处对切削路径弦长参数的1阶、2阶导数分别为 C·j（lj－1，j）和 C¨j（lj－1，j）。对点 Pj＋1进行同样处理，设点Pj、Pj＋1间的旋转轴A的运动路径五次样条插值曲线方程为 Aj，j＋1（l）。

由下式求出五次参数曲线方程系数

由式（6）计算出的曲线方程在切削路径微线段转接点处保证了2阶连续。同理可对旋转轴B、C进行插值平滑。由以上处理对刀具切削路径和旋转轴运动路径进行优化，实现了2阶连续。若平动轴路径仍然由五轴NC代码中的离散路径单独拟合优化，则机床驱动轴运动路径可能偏离刀具切削运动路径，造成实际加工误差。为解决该问题，平动轴路径可由切削运动路径和旋转轴运动路径经过机床逆运动变换后表达。

由于旋转轴运动路径插值参数和刀具切削路径的NURBS曲线拟合参数不同，首先需要建立不同路径参数的同步映射关系。如图2所示，路径段P0Pm为一个切削路径NURBS拟合段，拟合结果为R（u），点Pj、Pj＋1为路径段P0Pm上任意两点，设其分别对应的切削路径R（u）上的R（uj）和R（uj＋1）。设l为切削路径R1（u）上的路径点到Pj的距离，则旋转轴A在点Pj、Pj＋1间的优化曲线运动路径为Aj，j＋1（l）。点R（ui）在为切削路径上PjPj＋1间任意一点，根据切削路径参数的单调递增性，可知uj＜ui＜uj＋1，由切削路径NURBS曲线拟合的参数选取方法可知，点Pj在切削路径中参数uj＝｜P0Pj｜／｜P0Pm｜，点R（ui）在切削路径中参数ui＝（l＋｜P0Pj｜）／｜P0Pm｜＝uj＋l／｜P0Pm｜，切削点R（ui）所对应的旋转轴A的角度为Aj，j＋1（ui｜P0Pm｜－｜P0Pj｜）。通过上述参数映射处理使刀具切削路径和旋转轴路径的曲线参数一致，机床坐标系下的平动轴运动路径通过机床逆运动变换求出：

其中，d为机床坐标系原点和工件坐标系原点的距离。由于切削路径和旋转轴运动路径均为2阶连续曲线并且参数为线性映射关系，式（7）中的x、y、z、A、C均二阶连续变化，并且三角函数均为无限阶连续函数，因此，式（7）所求出的平动轴运动路径为2阶连续的平滑路径。五轴加工的刀具路径优化过程如图4所示。

3 实例和验证

在自主研发的数控系统SKY2010上采用本文提出的五轴数控刀具路径优化方法，控制双转台立式铣床SK5L－70100进行典型工件叶轮的五轴联动精加工，使用通用五轴CAM软件POWERMILL输出设定曲面精度为1μm、弦高误差为0.01mm的五轴NC代码。对刀具路径优化处理，设置刀具切削路径最大拟合误差为5μm，设置进给速度为3m／min，得到的加工效果如图5所示，从图5a可看出明显的加工纹路，图5b中零件的表面基本是平滑曲面。测量结果如表1所示，其中，平均误差由三坐标测量仪测量叶片上表面获得。实验结果表明，经过五轴刀具路径优化后，加工误差显著降低，表面更加光滑，加工效率也有较大提高。

表1 叶轮在不同刀具路径处理下的加工效果对比

4 结语

本文提出复杂曲面五轴加工中的驱动轴运动路径优化方法，通过坐标变换求解刀具相对零件轮廓的有效切削路径，对切削路径进行NURBS曲线拟合，最终获得2阶连续的五轴数控刀具路径。实验结果表明，采用本文提出的方法优化五轴数控加工路径可显著提高曲面加工的表面质量，减小曲面轮廓误差，提高加工精度和加工效率。

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