高等数学运用数学模型案例教学路径探究

翁 嘉

(福州英华职业学院 公共基础部，福州 350018)

1 引言

数学是一门古老而又常新的学科。目前数学科学与计算机科学相互结合，相互渗透，发展迅速，使得其在整个科学技术中的基础性地位得到进一步巩固。而且数学科学已经突破了传统理论框架和应用范围，渗透到人类知识的各个领域中，对人类的物质生产和日常生活的贡献越来越大。科学技术领域方面，不断产生与数学相结合的新型交叉学科，如数学生物学、数学化学、数学地质学等，即使是那些传统上被认为与数学无关的领域也与数学联系在一起，出现了新的科学，如数学社会学、数学心理学等。此外，数学是人类文明不断向前进步的标志，可以说是一种人类文化，社会中不管其学历层次和从事的职业的文化人都必须受到数学的熏陶和教育。由于数学对社会的发展具有重要推动作用，因此社会对他们的需求非常迫切。然而，目前世界各国对数学的认识情况却不容乐观，存在较大问题。对于那些抽象的数学符号和高深莫测的理论等，很多人望而却步，他们害怕学习数学，甚至不知道该怎么学习和理解数学，还有一些人虽然心里认同数学的作用，但无法真正理解数学，一些人干脆认为数学是少数人能够玩的神秘游戏，对他们没有丝毫作用。究其本质原因，认为这种困境和问题很大程度上是由我国现行的学校教育方式造成的。

2 高等数学教学过程中的弊端

现今大学高等数学教学主要侧重于介绍概念、定理、专业定义，以及讲解证明定理的过程和推导计算的过程。通过这个方式来传授知识是无可厚非的，但它也存在一些问题，造成了现如今的困境：数学的重要性学生从小就明白，而且我国小学到大学都要学习数学，也明白通过数学可以训练自己的思维，培养自己严密的推导能力，严谨的学习、办事态度，但是很多人根本不知道在生活中运用所学习到的这些数学知识。数学的学习对他们来说只是一个由一些符号、计算推导和推理的游戏而已。学生唯一的目标就是上课认真听讲，按时完成老师布置的任务，从而顺利通过考试，根本没有想过如何应用这些数学知识。很多人对数学的实践性和实用性认识不够，没有完全领悟数学知识潜在的价值，缺乏数学学习的动力。“数学无用”论和人们心中其他那些关于数学的不良意识和观念日积月累，一直传承，数学成了“空对空”导弹，给数学的学习带来了严重的负面影响。此外，由于使用陈旧的教材、落后的教学方式、老师狭隘的知识修养等因素的影响，都在一定程度上影响着人们对数学的重要性、实用性等认识和观念。

3 数学模型案例教学的创新运用

面对大学高等数学的现状和困境，必须加快改革数学理念和教学方式的步伐。考虑到数学体系具有强烈的系统性和经典性，不可能对大学高等数学进行大刀阔斧的改革，但我们可以从小处入手，从局部进行探讨和改变，做出一些有益的尝试。

激发和提高学生对数学在日常生活中的重要性和应用性的认识对改变他们目前的观念、培养他们对高等数学的兴趣、提升他们学以致用的能力和意识具有重要的意义，是改革目前大学高等数学教学的关键。老师应当改变传统的教学方式，除了讲清、讲透书本中的基本概念、定理、方法和定义之外，还需要在教学过程中运用那些与课堂教学内容有关的合理简单的“数学模型案例”，这是一种非常有效的措施。数学模型是运用数学知识、方法等解决日常生活实际问题的桥梁和手段，这种面向现实、走进生活的案例教学能够使学生产生直观的、切身的认同感，彻底明白和领悟到在解决日常实际问题过程中数学工具的巨大作用和强大威力。

案例1：在高数微积分的学习中，笔者列举出一个综合性较强的案例：美国深海处理核废料是否安全。具体问题是：美国政府将核废料密装于铅桶后沉入海中，如果海水较深，铅桶到达海底的速度过大，与坚硬的海底岩石碰撞破裂。如何论证铅桶的安全性?由于背景新颖，能够吸引学生的眼球，提高兴致，激发他们的热情。此问题可以直接转化为求解日落速度，学生可以运用微积分的知识来考虑和求解。

(1)首先引导学生自主思考，明确这已不是初中学习熟知的自由落体运动，而是一种阻尼落体运动。这对于学生来说是一个全新的问题，该如何去描述下降过程中的运动规律，能激发他们探索新知的欲望。

(2)根据导数的物理意义，结合牛顿第二运动定律，建立下落运动方程：

式中：k表示空阻尼系数。老师告诉学生这是一种新的方程即常微分方程。

(4)问题进行到这步还没结束，教师可引导学生明白两个事实：

若已知海底的深度h，就能够求解得到v。

(6)很难求出上述代数方程的解析解，与学生过去习题求解的教育相违背，有助于他们逐步体会到实际问题的求解过程中，其中任何一个环节不能参照理想化的普通习题求解，需要创新地运用特殊方法。这时可以顺便给学生介绍下二分法怎么求解函数方程的数值解，同时也复习了零点存在定理。

这是一个综合性非常强的例子，不仅能够引发学生的兴趣和注意力，还能使学生体会到高等数学可以解决实际问题。求解方程的过程中要求学生结合已熟悉的物理学意义还要努力学习积分、极限、符合函数求导甚至数值计算等相关知识。该方式有助于提高学生的自主学习能力，起到事半功倍的效果。

案例2：在讲解如何判别无穷级数的敛散性时，笔者设计了一个有趣的游戏(如图1所示)。

将相同木板按图叠起来，是否存在木堆中的最上面一块木板向右无限水平伸长而木堆不会倒塌的可能。感觉似乎不能做到，但需要我们运用简单的物理知识建立模型进行论证：

根据图中建立的坐标系，假设木堆不会倒塌时从上到下第n块木板的重心横坐标的表达式为：

4 运用数学模型案例教学的原则

“数学模型”案例在大学高等数学的教学过程中的运用一般应遵循以下几个原则：

(1)最好设计和选用那些贴近日常生活实际的模型。使运用的这些模型符合实际，同时赋予给它们更多的趣味性和应用性。模型不应当过分专业，学生比较熟悉上课模型的背景知识，能够更好地激发他们的学习兴趣。如果能够和其他专业的知识背景联系起来，产生的教学效果就会更好，如给理工科学生上课时刻选择那些与物理工程、化学工程相关的模型。

(2)数学模型在教学过程中是作为插件来运用的，其必须简单，能够在较短时间内就讲解完。占用的时间不超过20～30分钟为宜。

(3)模型建模和求解使用的方法最好是能联系和结合本课程中的知识。通过该数学模型还能使学生加深和理解所学课程中知识的应用价值，消除他们心中的消极被动的学习情绪，激励他们一步步学好该课程。

(4)教师须合理安排好习题课的进程，因为习题课中安排讲解模型会取得更好的效果。花费足够的时间来推导一个经典的数学模型对教学具有重要价值，起到抛砖引玉的作用。

(5)教师须精心处理模型的讲解过程。数学案例模型不仅能够起到推广数学知识应用价值的作用，还在一定程度上附带了人文艺术价值。安排得体、讲解通俗，同时上课语言充满幽默和风趣，内容充满生活性和文化性，会给学生带来耳目一新的感觉；老师讲课时充满亲切感和轻松感，能够缓解课堂原本相对沉闷的气氛，调动学生的情绪，提高其学习兴趣。

5 数学案例模型教学的积极作用

数学科学是一门关键、运用普遍并能授予人们能力和技术的学科，对经济竞争十分重要。面对着我国目前大学高等数学教学中存在的问题和困境，必须改革数学教学方式，而树立正确的数学观是改革数学教育的关键因素。高校数学教学过程中教师要融入模型化的思想，给学生一种比较直观的感受，同时更要引导学生自主去思考问题，能够运用学过的建立模型方法解决实际问题，逐步培养他们的数学分析、计算、推理的能力，发展他们的创造力、观察力等，提升学习熟练运用计算机和其他数学软件的能力，这样学习的数学知识才能真正变成他们的一个有力工具。此外，学校应倡导建模的理念，组织建模活动，引导学生发挥出他们的聪明才智，享受学以致用的快乐。

参考文献：

[1]覃永昼.在数学分析课程的概念教学中渗透数学建模思想[J].考试，2011，(8).

[2]熊辉.数学模型在常规数学教学中的渗透[J].东莞理工学院学报，2008，(2).

[3]罗朝晖.关于数学建模思想渗入数学分析教学的思考[J].教育与职业，2007，(20).