极限概念教学刍议

2012-11-21李伟

长江大学学报(自科版) 2012年19期

关键词：本质属性共性定义

李伟

(集美大学理学院,福建厦门 361021)

极限概念教学刍议

李伟

(集美大学理学院,福建厦门 361021)

极限是描述变量变化过程中的变化趋势的重要概念。极限概念的严格精确的“ε”语言，是抽象的、纯量化的精确定义，初学者难以理解。而极限的方法是微积分的基本思想方法。因此，只有突破极限概念教学这一难点，才能使后续内容的教学得以顺利进行。教学实践中，通过引入学生熟知的实例，注重师生的互动，引导学生抓住概念的核心，剖析概念的层次，揭示概念的本质属性，在对比中把握不同概念的共性与个性，从而使学生真正理解和掌握极限概念。

极限；概念；本质属性；教学实践；共性与个性

极限是高等数学中的一个重要概念。连续、导数、积分、级数收敛等一系列重要概念都是以极限概念为基础建立起来的，极限理论是整个高等数学理论的基础。因此，要学习高等数学，极限概念便是第一课。在教学实践中，教学对象对于极限定义及其理论真正理解并不容易。尽管在中学学生已经接触过极限概念，但那里所学的极限是用“无限靠近”、“趋向”等语言描述的。极限的严格精确的“ε”语言，既是打开高等数学宝库的金钥匙，又是阻拦学生进入高等数学大门的拦路虎［1］。这种纯量化的精确定义，往往使学生感到抽象，难以理解。因此，只有突破极限概念教学这一难点，才能使后续内容的教学得以顺利进行。在教学实践中，可以实例、模型等进行引入，从具体到抽象，从近似到精确，使学生对极限概念由感性认识上升到理性认识，从而达到提高课堂教学质量的目的❶集美大学教学质量工程资助项目 (C16207)。。

1 通过直观实例，建立极限概念

图1 y=曲线

2 揭示概念的本质属性，理解极限概念

数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其特征在思维中的反映。教学中只有引导学生紧紧抓住概念的核心，剖析概念的层次，通过对极限定义的仔细推敲，揭示极限概念的本质属性，才能让学生真正理解极限概念［3］。

1)抓住概念的核心如何让学生理解“变量在变化过程中无限趋近于一个常数A”的涵义，将是极限概念教学的核心。变量y在变化过程中无限趋近于一个常数A可以分成3个部分：①对给定的任意小正数ε的条件下；②变量y在变化过程中存在那么一个时刻N或δ；③在那个时刻以后，都有|f(x)-A|<ε成立。

图2 f(x)=的图形

3 分析概念的共性与个性，掌握极限概念

数学概念之间，通常有着紧密的联系，前面的概念往往是建立后面概念的基础。同一教学内容的数学概念之间既有共同之处，又有不同的特点，只有分清它们的共性与个性，概念才会鲜明地树立起来，从而让学生掌握所学的知识［5］。

1)在分析共性与个性中使概念鲜明地树立起来数列极限的ε-N定义，函数极限的ε-X定义，函数极限的ε-δ定义，其共性即都是变量的极限，它们的意义及定义的方法基本相同。另一方面，它们又存在着各自的个性。数列极限是研究整变量函数的极限，其图像是一些跳跃的点；而函数极限是研究连续变量函数的极限，其图像是一条曲线。因此，它们各有不同的特点。

2)在对比中把容易混淆的概念区别开来数列极限、函数极限的几何解释［6］，能帮助理解概念。但对初学者而言，容易混淆不清。因此，把几种极限概念的几何解释汇集在一起加以对比(见图3)，就能较好地把这些概念区分开来。通过图像上的对比，可清楚地看到：数列极限的ε-N定义中，是寻找N，当n>N时，使得f(n)的值都落入区域D=(A-ε,A+ε)。函数极限的ε-X定义中，是寻找X，当|x|>X时，使得f(x)的值都落入区域D1与D2。函数极限的ε-δ定义中，是寻找δ，当0<|x-x0|<δ时，使得f(x)的值都落入区域D。在上述区域内，分别都有|f(n)-A|<ε成立或|f(x)-A|<ε成立。