一堂“材料命题型”复习课的设计及反思

● 阮强 (绍兴市高级中学 浙江绍兴 312000)

一堂“材料命题型”复习课的设计及反思

●王伟阮伟强(绍兴市高级中学 浙江绍兴 312000)

1 问题的提出

近日，笔者所任教学校高三数学备课组接受了市教科院下达的一个任务——要求通过对2010年浙江省数学高考理科第15题的研究，提炼出一个复习主题，再设计一堂小专题复习课，然后指定一位青年教师上课，供各校教师学习、交流及研讨.

题目设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是______.

2 确定主题

为确定复习课的主题，要舍得在考题研究上下功夫，只有先“入”考题，再“出”考题，才能“超越”考题，准确、敏锐地捕捉到其中透露出来的信息，从而明确复习的方向与目标.而对考题的研究，可以从以下几个角度入手.

2.1 解法探究

解法1由S5S6+15=0，得

(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，

即

配方得

解法2由S5S6+15=0，得

(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，

即

因为a1,d为实数，故

Δ=(9d)2-4×2×(10d2+1)≥0，

所以d2≥8.下略.

2.2 考生答题中存在的问题

主要是“想不到”，表现在：一是没有关于d的不等式，要求d的范围，想不出往哪个方向思考；二是化简后得到关于d的等式中含有另一个字母，其范围也没有限制，不知道接下来该怎么办；三是看到问题与平常见过的题型不一致，直接放弃.导致得分率仅为0.06，居全卷22个题目中的倒数第2位.

2.3 命题意图的解读

主要考查等差数列前n和的公式、基本量思想方法、判别式法等3个基本知识点，同时考查综合运用所学知识分析、解决问题的能力.

鉴于上述研究，备课组的教师达成下列共识：无论是依据《考试说明》还是浙江省数学高考对数列考查的实际情况，数列复习的重点无疑是等差与等比这2个数列.因此，大家一致认为小专题复习课的主题是“立足基本量解决数列问题”.而围绕该主题，又制定了下列教学目标及重点、难点.

知识与技能：会正确运用等差与等比数列的通项、求和公式，建立基本量的相等及不等关系；能熟练运用诸如消元法、判别式法等方法解决有关求基本量的值或范围问题.

过程与方法：借助常见、典型数列问题的训练，发现、总结蕴含其中的规律.

情感、态度与价值观：体验问题解决中隐含的方程、化归等思想，树立踏实、细致的运算态度，养成独立思考、积极探索的学习习惯.

重点：立足基本量解决数列问题；难点：问题解决中的知识综合、迁移和方法联系.

3 授课简录

3.1 题组训练，夯实双基

师：呈现、刻画一个等差(或等比)数列特征的量有哪些？

生：a1，d(或q)，n，an，Sn.

师：好！现在不妨把这些量通称为数列的基本量.接下来，就围绕这些基本量来解决数列问题.

(出示下列题组，让学生练习，并请4位学生上台板演.)

(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=11，S4=16，求an.

(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1=1，求S4.

(3)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=10，S5≤15，求公差d的取值范围.

(4)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10,S5≤15，求a4的取值范围.

从板演看，学生能顺利完成问题(1)～(3)(解答略)，而对于问题(4)，学生能熟练地将条件转化为：2a1+3d≥5且a1+2d≤3，但求a4=a1+3d的最大值不知如何求解.为此，教师作了下列提示：“解题思路的寻找，就是要学会联想.通过联想，将陌生问题转化为熟悉问题.而要使联想顺利进行，首先需认识问题的结构特征，然后，依据特征做出联想.”学生略加思考后，想到将问题转化为线性规划问题(解答略).

师：通过练习，请大家归纳一下，立足基本量解决数列问题的基本思路是什么？

生：先建立关于基本量a1，d(或q)的等与不等关系，然后将问题转化为解方程(或组)、不等式、线性规划问题等.

师：很好！求解时请特别注意两点：一是相关公式运用要准确、到位；二是要善于联想、注重知识间的联系与综合.

3.2 链接高考，凸现主题

师：求范围问题的实质是什么？

生：寻找关于所求量的不等关系.

师：那么，已知的是关于2个变量a1,d的相等关系，如何寻找到蕴含其中的不等关系？如果把方程看成关于a1的一元二次方程，你能得出什么结论？

生：此方程有实数解，得出Δ≥0.

师：这样就找到了关于d的不等关系，问题便迎刃而解.类似地，可求变量a1的取值范围(注：解法1因没有学生想到就不再介绍).

师：由此可见，加强数列与方程、不等式等的综合与联系，是高考考查的主旋律，值得关注.

3.3 回看“一模”，思中寻优

幻灯片呈现下列材料：

(1)求数列{bn}的公比q的值；

(2)若a2=-1，且a1

(2012年浙江省绍兴市数学高考一模试题)

配上旁白：对此题的感受，大家可以说是“恨”！“恨”的是虽入手容易，但因运算麻烦，最终都无功而返(平均得分4分，满分14分).暴露的典型问题是：

由题设，得

即

设公差为d，可化为

解关于a1的一元二次方程得

师：因为“恨”，就迫使我们去反思：能否寻找到较为简洁、合理的运算方法？经讨论，学生提出了下列2种方法.

故

(2)略.

解法2(1)若选择基本量a2，d,则可将条件化为

或

得

故

此时，学生都感叹：原来这么简单！

师：对！简单的原因是：关注了运算的细节，使得运算更讲“道理”.由此可见，在运算中，如果多一点思考，就不再有“恨”.

3.4 典例再析，巩固提升

为进一步巩固基本量法，提高学生的运算能力，渗透思想方法，再给出下列例题.

例1设等差数列{an}的前n项和为Sn.

(2)求所有的等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立.

第(1)小题答案是k=4，解答略.现侧重讨论第(2)小题.学生感觉上手容易，引入基本量a1，d后，由题设立得

但不知道接下来该怎么做.经教师启发，学生回忆、联想，想到：把上式整理成关于k的多项式，恒成立等价于各项系数为0.其间，变形过程显得比较麻烦，在师生共同努力下得到：

从而

解得

故

an=0，1，2n-1.

此时，又有学生提出：可先从特殊情况入手，即取k=1,k=2得

解得

4 反思

基于一个试题的研究来立意、设计一堂小专题复习课，类似于语文学科中的材料命题作文.通过这种形式课型的设计，能极大地提升教师研题、选题与讲题的能力和水平，值得广大教师在高考复习中学习与借鉴.具体在设计时，应重点把握以下3点：

4.1 定位要“准”

小专题必须有一个明确的主题，主题的定位要“准”，而要做到“准”需摸透“两情”：一是“考情”；二是“学情”.教师必须再次认真研究《考纲》、《考试说明》及样卷，吃透精神实质，从中去分析、思考主干知识会怎么考，涉及到哪些能力要求，解决问题的方法与策略有哪些，然后提炼出一个主题.同时，要结合学生模拟训练的反馈结果，分析学生主要存在的问题、不足与漏洞，借此丰富、充实主题的内容.

4.2 选题要“针”

明确了主题，接下来的工作重点就是选题，而选题的基本原则是：针对性要强.教师在选择某个题目时，一定要自问：“为什么要给学生布置这个题目？”因此，一个值得倡导的做法是：教师对所选题目，可简要地写出其目的.而目的的回答可从以下几个方面出发：是为了加深“双基”；是为了培养和发展哪方面能力；是为了查漏补缺；是为了培养哪个学习习惯.教师要舍得在选题上花大力气，越临近高考，这个工作显得越重要.虽然不提倡猜题、押题，但有针对性地选择题目让学生练习，是十分必要的.一方面，可以进一步强化重点、突破难点、加深印象、巩固记忆；另一方面，可帮助学生树立信心，消除对高考的神秘感，步入考场会多一份从容与自信.总之，小专题复习课的选题，一定要遵循的原则是“题目要有典型性和多样性，要有一定数量的基本题，由单一到综合，循序渐进，由浅入深”.

4.3 训练要“实”

围绕主题，展开解题训练，是小专题复习课的主要形式.这里，解题训练一定要落到实处，具体就是：要充分暴露学生的思维过程，关注思维的受阻点、薄弱点，找准突破口；要关注细节，特别是学生运算中表现出来的“眼高手低”，要及时提醒、督促，并加以有效的指导；要注重方法的归纳、总结，让学生通过做、思、议等，能亲口说出来.而要做到这一切，教师应给学生提供板演、说题、反思的时间与机会，杜绝只听不练或只练不思的低效活动.实践证明，只要训练扎实、有效，哪怕学生少做几个题目，也一定能取得显著的效果.因此，让学生做适量的题目就达到目的，并取得好成绩，这是考验教师水平的，是每个一线数学教师应共同追求的.

[1]章建跃．做题目，为什么？[J]．中小学数学：高中版，2011(6)：50.

[2]阮伟强．一堂以高考题为载体的期末复习课[J]．中学数学教学参考，2010(12)：17-19.