关于A-G的几个不等式

周美秀,张小明

(1. 浙江广播电视大学 开放与远程教育研究院，浙江 杭州，310030； 2. 浙江海宁电大，浙江 海宁， 314400)

关于A-G的几个不等式

周美秀1,张小明2

(1. 浙江广播电视大学 开放与远程教育研究院，浙江 杭州，310030； 2. 浙江海宁电大，浙江 海宁， 314400)

为加强或加细几个著名的算术-几何不等式,研究用方差来估算两者的差，并利用一个统一的证明模式，加强或推广这些结果.

算术平均;几何平均;最值压缩定理;不等式

0 引 言

不加特殊说明，本文都设

通过对均值差的估计, 加强或加细著名的算术-几何-调和平均值不等式

H(w,a)≤G(w,a)≤A(w,a)

(1)

是不等式理论研究的热点之一.

(2)

和

文献[2][3]中有

(4)

和

(5)

文[4][5]中的结果等价于

(6)

文[6]中有

(7)

文[7]把式(4)和(7)分别加强为

(8)

和

(9)

在文[14], Alzer H证明了

(10)

(11)

本文将以统一的方法加强或推广以上式(4)-(7)和式(10)、(11)，其中的结果也与(8)、(9)不分强弱，但形式比其简洁.

1 有关引理

以下都设集合D⊆Rn是有内点的对称凸集，对于i=1,2,…,n，记

和

若对引理1进行函数变换可得引理2和引理3，详细证明见参考文献[9].

证明设

lnIn={lna=(lna1,lna2,…lnan)|a∈In}，g:y∈lnIn→f(ey1,ey1,…,eyn)，

则

□

引理3证毕.

□

2 A(a)-G(a)的几个上下界

定理1

(12)

即

(13)

则有

和

此即为(12)的右式.

(13)的左式为同理可证，在此略.定理1证毕.

□

此即为式(4). 对于一般的wi(i=1,2,…,n)，由于无理数是有理数的极限，所以式(4)仍成立.

定理2

(14)

即

(15)

有

和

□

同理可证(14)的右式，在此略.

(16)

证明设

则有

□

定理4

(17)

和

□

同理可证(17)的右式，本文在此略. 定理3证毕.

采用评注1中的证明方法，由定理4，易知推论1成立.

推论1

(18)

评注4 式(18)强于式(5).

3 Alzer H的一个不等式加强

rA(a)+(1-r)H(a)≥G(a).

(19)

证明若n=2，命题易证成立.下设

其中q>r.则

和

qA(a)+(1-q)H(a)-G(a)≥0.

再令q→r，知定理5成立.

□

所以说式(19)强于式(10)(11).

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SeveralInequalitiesaboutA-G

ZHOU Mei-xiu1, ZHANG Xiao-ming2

(1. Open and Distance Education Research Institute, Zhejiang Radio&Television University, Hangzhou 310030, China;2. Zhejiang Radio & Television University Haining College, Haining 314400, China)

To strengthen and refine some famous arithmetic-geometric inequalityies, this paper used variance to estimate the difference between the two, strengthen or popularize these results with a unified proof mode .

arithmetic mean; geometric mean; compressed independent variables theorem; inequality

2012-04-20

周美秀(1969—)，女，教授，主要从事微分方程研究.E-mail:zwy950120@163.com

11.3969/j.issn.1674-232X.2012.05.009

O122.3MSC2010: 26D15

A

1674-232X(2012)05-0426-07