多属性决策中方案属性权重计算的相对熵模型

2012-11-09徐亚军刘庆禄

指挥控制与仿真 2012年5期

徐亚军,吴浩,刘庆禄

(解放军65571部队,吉林四平 136000 )

多属性决策中,方案属性的权重反应了各方案属性间的相对重要程度,合理准确地确定这些方案属性的权重是进行方案排序选优的基础。

多属性决策一般由多个专家参与进行,每个专家对每一项方案属性重要性的个人偏好不同,导致在确定方案属性权重过程中会出现专家意见不一致的情况。如何解决这一问题？本文试想能否把每个专家对方案属性重要性的个人偏好集结成专家群体的群偏好,从而解决专家群体中单个专家对方案属性的重要性意见不一致的情况,求得最能够让每一个专家都满意的方案属性权重。在此设想下,本文受相对熵原理的启发,构建了方案属性权重计算的相对熵模型来求解方案属性权重。

1 方案属性权重计算的相对熵模型

限于篇幅,本文只引述有关相对熵离散形式的定义及主要性质[1]。设 Ω = ｛ 0, 1, 2,...｝,xi, yi是 Ω 上两

由上述性质可知,当X、Y为离散分布时,相对熵可用于度量二者符合程度。

依据上述分析,要想得到专家群体对方案属性集合 A的群偏好向量 Wg,就要最小化它与每一个专家给出的方案属性重要性偏好向量的相对熵,结合相对熵的概念,建立方案属性权重计算的相对熵模型如下：

由式(3)可以看出,通过计算各个专家对方案属性重要性的个人偏好向量与群偏好向量之间偏离值的最小值,使得各个专家对方案属性重要性的个人偏好与群偏好之间进行了比较,最后通过解此模型,可以得到专家群体对方案属性集合A的群偏好向量Wg即为方案属性的权重向量。

2 相对熵模型的求解

设上述模型(式 3)中群偏好向量有最优解

构造Lagrange函数：

把式(4)代入方程组式(6)中,解得方程式的唯一的驻点：

3 模型的可行性及有效性验证

为了更好地理解方案属性权重计算的相对熵模型,本文给出一个算例来证明模型的可行性和有效性。

矩阵X中的数据越大,表示该专家认为这项属性越重要。

利用公式(4),将评判矩阵X标准化,得到标准化的评判矩阵：

从矩阵B中我们可以看出,每个专家对方案属性重要性的个人偏好是不一样的,而且有的还相差很大,针对这一问题,本文通过求得专家群体对方案属性重要性的群偏好来解决这一问题。

本文采用基于统计数据的专家权重计算法来计算参与决策的专家权重,限于篇幅,本文不作具体介绍,详细方法请参考笔者的学位论文[2]。结合以往统计数据,可以求得参与本次方案决策的专家的权重为 ω = ( 0.53,0.14,0.13,0.20)。

将矩阵B中的数据和专家权重ω代入公式7,可以求得专家群体对方案属性重要性的群偏好向量Wg如下：

至此,求得四个方案属性的群偏好权重Wg=(0.249,0.276,0.172,0.304)。权重的和不等于1是因为计算中四舍五入导致的计算误差。

下面来分析一下计算结果,首先构建表1。

表1 方案属性权重的单个专家偏好与群偏好的比较表

对于专家1来说,其对方案属性重要性的偏好排序是：方案属性 1≻方案属性 4≻方案属性 3≻方案属性 2;对于专家 2,排序情况是方案属性 4≻方案属性2≻方案属性 1≻方案属性 3;对于专家 3,排序情况是方案属性 3≻方案属性 2=方案属性 4≻方案属性 2;对于专家4,排序情况是方案属性4≻方案属性3≻方案属性2≻方案属性1。方案属性4在排序过程中取得了两次第一,两次第二;方案属性 2在排序过程中取得了两次第二,一次第三,一次第四;方案属性 3在排序过程中取得了一次第一,一次第二,一次第三,一次第四;方案属性 1在排序过程中取得了一次第一,一次第三,两次第四;结合计算结果,专家群体对方案属性重要性的偏好排序是方案属性4≻方案属性2≻方案属性 1≻方案属性 3,是符合方案属性的总体排序情况的;其次,对于专家 1来说,虽然其在专家群体中的地位比较重要(权重最大),但通过计算专家群体对方案属性重要性的群偏好,发现专家群体最终并没有绝对按照他的意见对方案属性的重要性进行排序,而是按照多数人的意见进行排序。这也是符合实际情况的。