孙子定理教学新探

李 伟

（西南财经大学经济数学学院，成都 610074）

孙子定理教学新探

李 伟

（西南财经大学经济数学学院，成都 610074）

改进了孙子定理的教学方法.

孙子定理；教学方法

孙子定理 设m1，…，mn为两两互素的正整数，对任意整数a1，…，an，同余方程组

有唯一解modM，并可表示为

这里M＝m1…mn，Mi＝M／mi，M′iMi≡1（modmi），i＝1，…，n.

孙子定理，即中国剩余定理，是初等数论的的重要定理.一般初等数论教程给出的证明过程是：先证明解的唯一性，再验证（1）为解.初学者往往感到困惑：为什么要求m1，…，mn两两互素？能否同时求出M′1，…，M′n？其实，只要对孙子定理的证明过程作适当的教学法加工，就可以化解初学者的困惑，从而使他们更好地理解定理.

下面给出作了教学法加工的孙子定理的证明过程.

第一步：统一各同余方程的模.显然，统一的模为M＝［m1，…，mn］＝m1…mn.由x≡ai（modmi），知Mix≡Miai（modMimi），即Mix≡Miai（modM），i＝1，…，n.

第二步：用M1x，…，Mnx组合出x.我们要求出x，希望能找到M′1，…，M′n，使得

这等价于1＝M′1M1＋…＋M′nMn，即（M1，…，Mn）＝1.由M1，…，Mn的作法，满足前述要求.m1，…，mn满足两两互素的条件，就是为了保证（M1，…，Mn）＝1.因此M′1，…，M′n是存在的.

第三步：同时找出M′1，…，M′n.作整数矩阵如下

这里整数矩阵的列初等变换有三种情形：（i）交换两列的位置；（ii）用－1乘某一列；（iii）把某一列的整数倍加到另一列.于是有

第四步：给出解的表达式.我们有

第五步：证明解modM的唯一性.若y也是同余方程组的解，则

［1］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.北京：北京大学出版社，1992：164－174.

［2］华罗庚.数论导引［M］.北京：科学出版社，1957：32－34.

New Method to Teach Sun Zi’theorem

LIWei
（School of Economic Mathematics，Southwestern University of Finance and Economics，Chengdu 610074，China）

We give a new method to teach Sun Zi’theorem.

Sun zi’Theorem；teaching method

O156.1

C

1672－1454（2012）04－0144－03

2009－10－16；［修改日期］2010－10－25