分数布朗运动环境下缺口期权定价模型

蔺 捷，薛 红，王晓东

(西安工程大学理学院，西安710048)

期权作为一种防范金融风险或投机的有效手段而得到了迅猛发展.除了标准欧式和美式看涨看跌期权外，还有很多不同的复杂的新型期权，缺口期权就是其中的一种.文献[1]在几何布朗运动环境下利用风险中性估值原理，给出了缺口期权定价公式;文献[2]在几何布朗运动环境下利用保险精算的方法，将期权定价问题转化为公平保费的确定问题，给出了欧式期权定价公式.

1 金融市场数学模型

假设股票价格S(t)和利率r(t)分别满足随机微分方程

假设{BH(t)，t≥0}与{WH(t)，t≥0}是完备概率空间(Ω，F，P)上分数布朗运动且相互独立.令

定理1随机微分方程(3)的解为

证明 由分数型It^o公式

可得

定理2[3]随机微分方程(4)的解为

定义3[4]股票价格{S(t)，t≥0}在[t，T]上的期望回报率β(u)由下式给出

定理4[3]股票价格{S(t)，t≥0}在[t，T]上的期望回报率 β(u)满足 β(u)=μ，u∈[t，T].

2 缺口期权定价公式

定义5[1]欧式缺口看涨期权到期日的价值为

定义6欧式缺口看涨期权的保险精算价格定义为

引理7[5]假定a，b，c，d，k为实数服从标准正态分布，则有其中Φ(·)为标准正态分布.

其中Φ(·)为标准正态分布.

由引理7可得

定理9欧式缺口看涨期权在t时刻的保险精算价格为

其中Φ(x)为标准正态分布函数，且

关于算子MH的定义见文献[6-8].

证明 由定理1、2、4可知

由分数型It^o公式，知

则

由于

由于

且

当K≥G时，

其中

同理当K＜G时，有

注1当b=0，c=0，a→0时，可得分数布朗运动环境下缺口期权定价公式

其中Φ(x)为标准正态分布的分布函数，且

特别地，

(ii)当G=K时，可得分数布朗运动环境下欧式期权定价公式(参见文献[2]).

3 结 语

本文在利率满足Vasicek模型，股票价格过程遵循分数布朗运动驱动的随机微分方程，建立了金融市场数学模型，利用保险精算方法，讨论缺口期权定价问题，得到了缺口看涨期权的定价公式.

[1]张 艳，孙 彤.关于欧式缺口期权定价模型的研究[J].徐州师范大学学报，2006，24(12):44－47.

[2]BLADTM，RYDBERG T.An actuarial approach to option pricing under the physicalmeasure and withoutmarket assumptions[J].Insurance:Mathematics and Economics，1998，22(1):65－73.

[3]XUE H，SUN Y.Pricing european option under fractional jump－diffusion Ornstein－Uhlenbeck model[C]//Conference Proceeding of 2009 International Institute of Applied Statistics Studies，Qingdao:Aussino Academic Publishing House，2009:164－169.

[4]XUE H，LIQ.An actuarial approach to the minimum ormaximum option pricing in fractional Brownian motion environment[C]//Proceedings 2010 2nd IEEE international conference on information and financial engineering，September，Chongqing:IEEE PRESS.2010:216－219.

[5]陈松男.金融工程学[M].上海:复旦大学出版社，2002.

[6]BIORKT，HULTH.A note on Wick products and the fractional Black－Scholes model[J].Finance and Stochastics，2005，9(2):197－209.

[7]BIAGINIF，HU Y，OKSENDAL B，et al.Stochastic calculus for fractional Brownian notion and applications[M].New York:Springer，2008.

[8]于艳娜，孔繁亮.分数布朗运动环境中应用鞅方法定价欧式期权[J].哈尔滨商业大学学报:自然科学版，2010，26(4):433－435.