静电场中导体镜像与介质镜像的统一

朱 峰，魏天彩

(西南交通大学电气工程学院电工电子系，四川成都610031)

1.问题的提出

1.1 导体的镜像

“电磁场”是电气工程等专业的技术基础课程。镜像法作为等效方法的一种，在电磁场中具有广泛的应用。在解决静电场边值问题的时候，我们用到了镜像法［1，2]。其中最简单的例子就是当接地无限大导体平面上方只有一个点电荷q的情形。

由于q的存在，使得无限大导体表面感应出一定量的电荷。如图1(a)所示的导体上方一点P处的电场，即是由此点电荷与这些感应电荷共同产生的。

此时，从等效的角度来说，我们就可把此无限大导体平面撤去，对上半空间任一点P的电场或电位，可看成是q和它对称位置上放置一个q1=－q共同作用的结果［3]。这些感应电荷的作用等效为该镜像电荷q1=－q的作用，如图1(b)所示;同理，对下半空间任一点P'而言，由于电荷上下的对称性，这些感应电荷的作用相当于在原q的位置上再放一个q1=－q，由于二者带等值的异号电荷，所以处的场强为零，这也符合导体内场强为零这一结论，如图1(c)所示。

图1 接地无限大导平面情况

1.2 介质的镜像

现在讨论点电荷介质极化情况。为简明起见，讨论点电荷的双层介质情况。假设平面的上、下半空间分别充满介电常数为ε1与ε2的均匀介质，在上半空间有一点电荷q。双层介质中任一点P处的电场分布如图2(a)所示。

我们在这里使用这样的镜像系统:即认为上半空间P处的场由原来电荷q和镜像点的像电荷q'所产生(这时介电常数ε1的介质布满整个空间);又认为下半空间P'处的场由q″产生(这时介电常数ε2的介质布满整个空间)，如图2(b)与2(c)所示。

图2 双层介质情况

这里有一个问题:根据在1.1中的讨论，从极化的角度，在下半空间应该为原点电荷与镜像电荷的叠加，即

而实际结果为图2(c)所示［4]，有

将上式与(1)相比有明显的差别，此时便产生了一个悖论，到底哪个正确呢?

2.问题的分析

对于这个问题，我们须从其物理本质上进行分析。

当点电荷q所在空间的介电常数为ε1时，q的周围会产生一定量的极化电荷，设空间任一点的电位移向量为，电极化强度为，则

所以q处的实际电量为原q与q表面所有极化电荷之和:

至于两层介质分界面，可从物理底层看成一层分布在表面的极化电荷，即相当于q'Σ的作用。此时已经考虑到不同介质对于电荷量的影响，则可将整个空间视为介电常数为ε0，即真空。同理有

如图3(a)所示，此时再利用开始的结论，对于下半空间p'处，与1.1原理相对应。此处相当于有实际的自由电荷为

q″Σ为独自在P'处产生电场，如图3(b)所示。

图3 将整个空间效为真空

在前面的推导过程中，我们将整个空间的介电常数都视为ε0。但在这个实际问题中，研究空间下半平面的电场分布时，空间的介电常数是ε2。依据上述结论，如果下半空间的介电常数是ε2，则在此空间作用的电荷为

可见它与公式(2)的结果是一样的。我们再一次验证一下q'，同理在上半空间作用的电荷为

电荷的分布如图4(a)与4(b)所示。至此，我们完成二者在形式上的统一。

图4 考虑介质的影响

3.结语

极化和镜像的概念一直都是电磁场教学中的一个难点。本文通过对点电荷在介质镜像和导体镜像中的对比研究，从物理现象底层出发，对极化的本质进行了较为深入的分析，实现了两者完全的统一。这对学生正确理解极化的概念，深入了解电磁场的内在底蕴，提高他们分析问题和解决问题的能力具有重要的实际意义。这也为学生进一步体会电磁场的奥妙所在，激发其对于电磁场学习的热情大有裨益。

［1] J.A.Stratton.Electromagnetic Theory［M] .McGRAW－HILL BOOK COMPANY，1941

［2] J.D.JACKSON.Classical Electrodynamics［M] .John Wiley＆Sons，Inc.New York.London.Third Edition.，2001

［3] 冯慈璋，马西奎.工程电磁场导论［M] .北京:高等教育出版社

［4] 雷银照.电磁场［M] .北京:高等教育出版社，2008