渐开线少齿差行星传动的多目标优化设计

林尚飞

LIN Shang-fei

（中国矿业大学 机电工程学院，徐州 221008）

0 引言

渐开线少齿差行星齿轮传动与普通齿轮传动相比，具有传动比范围大、承载能力大、效率高、结构紧凑、体积小、重量轻、运转平稳、噪音小、加工方便、制造成本较低等优点，受到了世界各国的广泛关注，成为机械传动方面的重点研究方向之一。

目前国内已有将少齿差行星传动应用于绞车的实例，如广东梅田煤机厂已批量生产用于井下的JD-1M型渐开线少齿差式调度绞车。钟相强[2]对渐开线少齿差行星传动的齿轮体积作了优化，楼锡银[3]对少齿差行星传动的啮合角和重合度作了多目标优化，但都没有把齿轮齿形角作为设计变量，因此本文考虑了齿形角的变化对优化结果的影响，建立少齿差行星传动的多目标优化模型，利用MATLAB求得其最优解，从而获得更加科学、综合评判效果更好的设计结果。

1 渐开线少齿差行星传动在绞车上的应用

绞车采用K-H-V型少齿差行星齿轮传动结构，如图1所示，绞车滚筒与内齿轮副联接成一体，两个外齿轮相隔180°安装于偏心轴上，并与内齿轮啮合，以抵消轴上的偏心力，动力由左端输入，滚筒输出。

图1 渐开线少齿差行星传动在绞车上的应用

已知绞车的基本参数为：

滚筒直径—1.2m；

滚筒宽度—1.0m；

最大静张力F—30KN；

最大静张力差—30KN；

钢丝绳平均速度—1.84m/s。

通过初步设计得到的结果见表1。

2 少齿差行星传动系统的优化设计

2.1 设计变量

在行星轮和内齿轮齿数、模数确定的情况下，影响齿轮机构传动设计的主要因素是齿轮变位系数、齿顶高系数和啮合角的选择，另外，由文献[1]可知，采用非标准齿形角，对提高传动效率效果显著。因此取设计变量为：

2.2 目标函数

取传动效率最大和齿轮体积之和（所用材料）最少为目标函数。

1）传动效率最大为目标函数：

其中，ix2为少齿差行星传动的传动比，为一对齿轮的啮合效率，且

其中，μe为齿廓摩擦因数，E1,E2根据文献[1]表14-6-11计算。

2）以齿轮所需材料最少为目标函数：

其中，b为外齿轮齿宽，df1和df2为外、内齿轮齿根圆直径，da1和da2为外、内齿轮齿顶圆直径。

3）据目标规划法构造统一目标函数：

2.3 约束条件

1）性能约束。首先应防止产生齿廓重叠干涉，即:

a'—行星轮与内齿轮间的实际中心距 ；

a —行星轮与内齿轮间的理论中心距；

αa1—行星轮齿顶圆压力角；

αa2—内齿轮齿顶圆压力角。

为保证传动连续平稳无冲击，少齿差传动的重合度εa必须大于1，即：

2）结构约束。行星轮与内齿轮不发生齿顶干涉的约束条件为：

3）齿顶厚度的限制条件。对正变位齿轮为防止齿顶变尖，应保证齿顶厚度大于等于0.4倍的模数，即：

4）为保证渐开线齿廓，内齿轮的齿顶圆必须大于基圆，即

5）为避免小齿轮齿根过度曲线干涉，da2应满足下式：

6）强度条件。由于行星轮与内齿轮齿廓曲率半径很接近，轮齿接触面积较大，接触应力较小，因此只校验轮齿弯曲强度。

式中，σF1,σF2—外、内齿轮的齿根弯曲应力；

σFP1,σFP2—外、内齿轮的许用弯曲应力。

7）边界约束。根据文献[1]，取内外齿轮的变位系数0≤x1≤1.75，0≤x2≤2.01，采用非标准齿形角为6°≤α≤14°，齿顶高系数为0.06≤≤0.8，啮合角为20°≤α'≤70°。至此，就得到了少齿差行星传动的多目标优化数学模型，即：求，使min f(x)

表1 优化设计与初步设计结果对比

2.4 模型的求解

1）可行方向法简介。可行方向法是求解不等式约束问题

的一种直接算法，该算法的基本思路是从可行域内的一个可行点出发，选择一个合适的搜索方向Sk和步长因子ak，使下一个迭代点xk+1=xk+akSk，即不超出可行域，又使目标函数有所下降，其程序框图见图2。

图2 可行方向法程序框图

2）求解。本文的模型属于有约束非线性多目标优化问题，先调用MATLAB工具箱中的fmincon函数求得两个单目标函数f1(x)、f2(x)在最优解处的值分别为：

3 结论

比较优化设计与常规设计的结果可知：

1）优化后的渐开线少齿差行星齿轮采用非标准齿形角，正变位，超短齿，并且是正传动。

2）内外齿轮均采用了较大的正变位，齿根厚度有明显增大，又采用了超短齿制，使得齿根弯曲强度也有所提高。

3）转臂轴承的寿命一直是少齿差行星传动中的薄弱环节，优化结果使啮合角 显著减小，从而也提高转臂轴承的寿命。

4）齿轮副啮合效率提高2.74%，制造齿轮所需材料减少24.95%。

[1]成大先,机械设计手册.第五版第3卷[M].化学工业出版社,2008.

[2]钟相强.渐开线少齿差行星传动模糊可靠性优化与CAD/CAE研究[D].西北农林科技大学,2006.

[3]楼锡银.K-H-V少齿差行星传动的模糊可靠性优化设[J].机械制造,2008,46(528):38-39.

[4]王光建,蒋汉军,褚志刚.渐开线少齿差内啮合齿轮副几何设计研究[J].农业机械学报,2011,42(4):201-205.

[5]陶桂宝,李泽群.NN型渐开线少齿差行星传动齿轮副的设计[J].现代制造工程,2007,(8):116-118.

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[7]赵继俊,优化技术与MATLAB优化工具箱[M].北京：机械工业出版社,2011:141-172.