The Boussinesq方程新的精确解

张亚敏

（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）

随着科技的迅速发展，非线性方程已被广泛的应用到众多领域中，如光学、流体力学、电磁波等，从而出现了许多求解非线性微分方程的方法，主要有逆散射法[1]、Hirota双线性法[2]、齐次平衡法[3]、Backlund 变换法[4]等。 近些年，由于计算机代数与符号计算的发展，人们发现求解非线性方程许多新的方法[5]，如齐次平衡法[6-7]、双曲函数法、几何方法等。

本文采用F—展开法，借助一种改进的辅助函数的解，并结合符号计算，运用Maple环境中的Epsilon软件包，求解the Boussinesq方程[8]得到了若干其他方法不曾给出的，形式更为丰富的新的显示行波解，其中包括双曲函数解和三角函数解。

1 The Bouqssinesq方程新的解

求解the Boussinesq方程

为求方程（1）新的行波解，令

将（2）式代入（1）式，并积分两次得

由平衡法得u=2，则

将（5）式代入（3）式，并根据（4）式得到关于 F（ξ）的函数，令F（ξ）各次幂的系数为0，得如下方程组：

利用Maple求解上面方程组，得

1）在 A＞0，C 为任意数时，则方程（1）的解为

2）在 A＞0，Δ=B2-4AC＞0 时，即 C＜0，方程（1）的解为

3）在 A＞0，Δ=B2-4AC＜0 时，即 C＞0，方程（1）的解为

4）在 A＜0，Δ=B2-4AC＞0 时，即 C＞0，方程（1）的解为

5）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 时，即 C＜0，方程（1）的解为

1）在 A＞0，方程（1）的解为

2）在 A＜0，方程（1）的解为

1）在 A＞0，C 为任意数，方程（1）的解为

2）在 A＞0，Δ=B2-4AC＞0 时，即 C＜0，方程（1）的解为

3）在 A＞0，Δ=B2-4AC＜0 时，即 C＞0，方程（1）的解为

4）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 时，即 C＞0，方程（1）的解为

5）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 时，即 C＜0，方程（1）的解为

1）A＞0，方程（1）的解为

2）A＜0，方程（1）的解为

2 结束语

本文利用一种改进的辅助函数法，并运用Maple环境中的Epsilon软件包，求解the Boussinesq方程，获得了若干其它方法不曾给出的新的精确解，运用此方法可以求出许多方程新的精确解。

[1]Gardner C S，Greene J M，Kruskal M D，et al.Method for solving the Kortewege-de Vries equation[J].Physical Review Letters，1967（19）:1095-1907.

[2]Hirota R.Exact solution of the Korteweg-de vries equation formultiple collisions ofsolitions[J].PhysicalReview Letters，1971（27）:1192-1194.

[3]Senthilvelan M.On the extented applications of homogeneous balance method[J].Applied Mathematics and Computation，2001（123）:381-388.

[4]Lamb G L.Backlund transformations for certain nonliear evolution equations[J].Journal of Mathematical Physics，1974（15）:2157-2165.

[5]Zhang A E.A note on the homogeneous balance method[J].Physical Letters A，1998（246）：403-406.

[6]李志斌，张善卿.非线性波方程准确孤立波解的符号计算[J].数学物理学报，1997，17（1）：81-89.

LI Zhi-bing，ZHANG Shan-qing.Nonlinear wave equation accurately solitary wave solutions of symbolic computation[J].Journal of Mathematical Physics，1997，17（1）：81-89.

[7]李德亮，韩安明.柔性机械臂有限时间控制器设计与仿真实现[J].现代电子技术，2012（14）：106-108，112.

LI De-liang，HAN An-ming.Design and simulation of finitetime controller for flexible manipulators[J].Modern Electronic Technique，2012（14）：106-108，112.

[8]Yan Z.Constructing exact solutions for two-dimensional nonlinear dispersion Boussinesq eqution[J].Journalof Mathematical Physics，2003，18（4）:869-80.