桩身应变曲线的多项式拟合方法

颜钟 ，李端有

(1.长江科学院工程安全与灾害防治研究所，湖北武汉 430010;2.水利部水工程安全与病害防治工程技术研究中心，湖北武汉 430010)

1 引言

在单桩静载试验中，通常需要弄清楚在荷载作用下桩的位移及变形规律，在桩基设计中也要明白桩的侧阻力和端阻力有多大，给桩的沉降计算提供依据。我们能普遍接受的认识就是桩在荷载的作用下，桩和桩周土发生相对位移，从而桩和桩周土之间有摩阻力的存在。通常我们可以通过埋设点法监测仪器(比如沿桩长方向埋设一系列的钢筋计等方法)测得桩的应力或应变来计算出桩侧摩阻力，也可以通过埋设线法监测仪器(如滑动测微计，三向位移计等)测得相应的应力、应变来计算。

然而通过监测仪器所得到的数据只是沿桩的一系列点的应力或应变值(线法仪器也不例外，如三向位移计也只是测出每米处的应变)，在测试数据误差较大的情况下，计算桩侧摩力时不能直接把各点相连的折线用于后续的计算处理，这样可能会将误差恶性放大，甚至出现负摩阻力等不合理现象，所以在计算之前需要对实测的应力或应变曲线进行趋势拟合处理使之更加凸显应变的变化规律。

关于试验曲线的趋势拟合，1994年朱国甫和李光煜先生就提出了约束样条的拟合方法，从理论上作出了完整的推导。在实际的工作中，此方法会受到很大的约束，因为约束样条法在计算过程中需要两端有导数值，但在实测数据中很难得到(因为我们事先可能并不知道曲线的方程是什么，也就没办法求导)，基于解决实际问题的需要，本文探讨使用多项式拟合法来解决应变曲线的趋势拟合问题。

2 约束样条法

约束样条法的思想是通过样条插值来进行拟合计算，本处以三次样条为例。设给定一组节点，x0＜x1＜x2＜…xn，设 S(x)∈C2［x0，xn］满足在每个小区间［xi，xi+1］上都是三次多项式，则称 S(x)是节点 x0，x1，x2，…xn上的三次样条函数，若给定节点xj上的函数值为yj=f(xj)(j=0，1，…n)，同时有 S(xj)=yj(j=0，1，…n)，则称S(x)为三次样条插值函数。若边界的一阶及二阶导数值均已知，根据这些条件可以很方便求得三次样条插值函数S(x)。三次样条插值方法为一种十分成熟的方法，本文也不再做出详细的推导。

使用样条约束法拟合应力或应变曲线时，为了使数据看起来更加直观，可以规定桩顶坐标为0，向下沿桩长坐标依次增大。计算中，节点便为监测仪器测值处的桩长值，节点上的函数值便为测得的应力或应变值，按三次样条插值方法便可以得到应力或应变拟合曲线。

3 简化拟合方法

由于用约束样条的方法在实际的操作过程中使用不是很简便，我们需要尝试使用简单函数来代替约束样条的方法。通过多次尝试，选用了几种不需要导数值来拟合的简单函数，分别是三次多项式拟合，四次多项式拟合，五次多项式拟合及指数函数拟合。因为在特殊情况下应力或应变实测值有可能为零或负值，对数函数及幂函数不能在此种情况下使用，故不对这两种方法进行比较。

对于多项式插值，设给定节点 x0，x1，x2，…xn上的函数值yi=f(xi)(i=0，1，…n)，关于n次多项式要使得S(xi)=yi(i=0，1，…n)，由此可得到关于系数 a0，a1，a2，…an的 n+1 元线性方程组

解此方程组我们可以得到唯一的插值多项式S(x)。多项式插值并不是次数越高越好，我们都知道高次的插值多项式容易出现病态，在后面的工程实例中我们可以通过对比来选用适当次数的多项式。对指数函数的插值过程不作过多的推导，读者可参阅相关数值分析教材即可。

4 工程实例对比

某试桩工程位于武汉地区，为检测试桩在各级荷载下各地层单位摩阻力及单位端阻力，对其中1根桩进行单桩竖向抗压静载试验。仪器采用瑞士Solexperts AG公司生产的三向位移计，加压方式为堆载法，通过千斤顶进行分级施加反力，共分9级加压，第一次施加荷载1 000 kN，最大值为5 000 kN，每级加压后荷载持续2 h。实测应变曲线如图1所示。

图1 实测应变曲线

从图1可以看出实测数据趋势性不十分明显，整体看起来显得比较杂乱，不能满足对数据进行后续分析的需要，故需对试验曲线进行趋势拟合，下面我们分别用不同的拟合方法来对实测数据进行拟合处理。

按插值函数的方法对每级荷载下的应变曲线分别按三次拟合多项式，四次拟合多项式，五次拟合多项式及指数函数方法进行拟合，拟合结果如图2～5所示。

图2 三次多项式拟合法

图3 四次多项式拟合法

图4 五次多项式拟合法

图5 指数函数拟合法

从图2和图3可以看出，通过三次多项式拟合法和四次多项式拟合法所得到的曲线是比较光滑的，而且从图上可以看出插值函数是收敛的。通过经验知道拟合后的应变曲线的总体趋势符合单桩在竖向荷载作用下的应变规律，但拟合后的曲线和原应变曲线的差别能否让我们接受，可以通过求相关系数的方法来进行查验。如果相关系数越接近1则拟合效果就越好，反之相关系数过小，则认为拟合效果差，插值函数方程是不可信的，得到回归应变曲线也就应该舍弃。

从图4可以看到，使用五次多项式拟合回归应变时，回归应变曲线变化趋势变得复杂化，不再符合实际情况。我们都知道，当多项式次数过高时，插值函数可能产生病态，在本例中五次多项式插值函数已经产生病态，我们也不再追求更高阶的多项式插值函数，更高阶的多项式插值函数可能产生更严重的病态。

对于指数函数拟合从图5可以看到，总体上来说曲线保留了一定的规律，但也可以看出应变曲线略有发散的趋势，虽然有发散的趋势，但对于我们来说我们不需要对数据进行前推或后推，只要拟合后的数据相对于拟合前数据来说是可靠的，我们也是可以将其作为一个对比的方法，择优选择。

对于已经是产生病态的五次多项式我们不再对其进行考虑，对剩下的几种方法进行对比来择优选择。拟合后的回归应变能否使用，必须要看其相关系数是否够高，对三种方法的相关系数进行对比分析，看哪一种方法更能满足我们对精度的要求，使拟合后的应变曲线和实际情况的吻合度最好。三种拟合方法相关系数对比情况如表1所示。

相关系数对比表 表1

从表中我们可以看出，三次多项式拟合和四次多项式拟合的相关差别不大，四次多项式拟合方法的相关系数比三次多项式拟合稍高，指数函数拟合方法的相关系数相对来说比较低，从统计学的角度看就认为指数函数拟合曲线不如前两种方法好，精度相对较低。本例中，四次多项式拟合时相关系数最小也为0.899 611，最高达0.966 644，可以认为拟合后的回归应变和实测应变相关性很强，可以使用回归应变来代替实测应变进行后续计算。通过本工程实例的验证及几种方法的比选，认为选取四次多项式拟合应变曲线是可行的，从相关系数也可以看到在精度上完全可以达到工程要求的精度。

5 结语

通过工程实例证实，采用四次多项式拟合的方法来对实测应变曲线进行趋势拟合处理是可行的，这种处理实测应变曲线的方法无样条差值拟合时的限制条件，故在实际的工程应用中有较强的适用性。当然在应用中我们也还是应该要考虑到地层分层多、地质情况复杂时，应变曲线起伏变化比较大，很难用简单函数一次实现对这种变化趋势的逼近。对于这个问题，我们可以采用分段的思想来解决，即我们可以把应变曲线适当的分段，采用分段函数的方法进行四次多项式插值即可。

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