带线性红利的非齐次复合Poisson风险模型

韩孟云

(河海大学理学院，南京 200098)

风险理论是当前精算学界和数学界研究的热门课题。自古典的风险模型被提出后，许多研究人员对此进行了推广，以使其更符合保险公司的实际经营情况。但很多研究只考虑了索赔到达的复合齐次泊松过程，并没有考虑资金的时间价值以及投资收益等其他资金活动的影响，这具有一定的局限性。

近几年来，大量文献对经典风险模型进行了研究，并取得了有关破产概率方面的结果［1－3］。经典风险模型是假设保险公司按照单位时间常数速率(每张保单的保费为常数c)，但任何风险事业都是在随机环境中进行的，因此，保费收取过程应是一随机过程。文献［4－6］利用Poisson过程对此进行了研究，文献［7］又把线性红利因素引入了风险模型。本文在文献［7］的基础上把索赔过程推广为非齐次复合泊松风险模型，使得模型更贴近实际。

1 模型的建立

定义1 设 u≥0，给定概率空间(Ω，F，P)，t≥0。令

对模型(1)作如下假设:

1){Xi，i≥1}，{Yj，j≥1}是均值分别为 λ，μ 的非负独立同分布随机变量序列，其分布函数分别为F(x)，H(x)。

2){M(t)，t≥0}，{N(t)，t≥0}分别是参数为 A(t)、B(t)的非齐次泊松过程。

3){Xi，i≥1}，{Yj，j≥1}，{M(t)，t≥0}，{N(t)，t≥0}相互独立。

定义2 设定一个线性红利界限z=b+qt，其中b为初值(u≤b)，q为递增速率(0＜q＜ λ2μ2)，只要盈余在红利界限以下，便不发放红利，若盈余在红利界限以上，每单位时间发放λA(t)－q的红利，直至下一次索赔发生，于是有如下关系式:

定义3 保险公司最终破产概率ψ(a，b)=P{T＜∞，R(0)=u};T=min{t:t≥0且R(t)＜0}表示破产概率。

定义4 令

2 主要结果

由文献［2］中式(3.(6.3))可知，只要 ν(z，，t)满足式(4)，它便为一鞅。

定理1 当dR(t)=dS1(t)－dS2(t)时，满足式(5)的 ν(z，t)能使 ν(R(t)，t)为一鞅。

由此可知ν(R(t)，t)只要满足式(5)它便满足式(4)，就为一鞅。所以在带线性红利的非齐次Poisson风险模型中，要找 ν(z，t)使得 ν(R(t)，t)为一鞅，ν(z，t)只要满足:

这样，转而寻找这样一个函数，使得方程(6)所有的z和t皆成立，并满足

即为满足式(6)和(8)的ν(z，t)，其中R是方程

的非平凡正解，S为方程

的唯一正解。

3 最终破产概率

定理2 在带线性红利的非齐次复合Poisson过程下的最终破产概率为

证明 假设T为破产时刻，对固定的时刻t，可证得TΛt是有界停时，利用有界停时定理知，由式(9)所确定的鞅{ν(R(t)，t)}有

将ν代入式(16)即得到式(12)，至此得出了带线性红利的非齐次复合Poisson风险模型的破产概率上界。

［1］GRANDEL L J.Aspects of risk theory［M］.New York:Spring-Verlag，1991.

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