粘弹性复合材料屈曲梁非线性参数振动的稳定性和分岔分析

曾志刚，叶 敏

(浙江大学 航空航天学院力学系，杭州 310027)

许多同时具有弹性和粘弹性两种不同机理变形的材料，如高分子聚合物、纤维复合材料、生物材料等等，广阔应用于航空航天、车辆工程、土木工程、生物工程及材料工程等领域。复合材料在受载情况下常常表现出明显的非线性粘弹性性质［1－2]。随着新型材料的不断涌现，粘弹性结构的非线性振动问题越来越受到国内外学者的关注。Surie等［3]研究了简谐激励作用下粘弹性杆的周期和混沌运动。Li等［4]研究了粘弹性Timoshenk梁，由假设的本构关系推导出系统的运动方程，利用数值计算分析系统的非线性行为。刘伟等［5]研究了粘弹性传动带横向振动的分岔特性和混沌动力学行为。Mahmoodi等［6－7]研究了碳纳米增强复合材料夹层悬臂梁的非线性振动问题，根据Kelvin-Voigt模型建立了粘弹性悬臂梁的动力学控制方程，利用多尺度分析法和实验研究了系统的稳定性。Hu等［8]研究了在非线性弹性和线性粘性条件下，桩的横向振动。Pratiher等［9]研究了末端带集中质量的简支粘弹性材料梁的非线性振动问题。姚志刚等［10]研究了简支压电复合材料层合梁在轴向、横向载荷共同作用下的非线性动力学、分岔和混沌动力学响应。Ding等［11]对在轴向载荷激励作用下粘弹性梁的横向运动进行分析，通过粘弹性本构关系求出控制方程，然后分析系统的非线性动力学特性。Firooz等［12]研究了各向同性的粘弹性层和悬臂梁的非线性振动。Younesian等［13]研究了变速旋转粘弹性梁的非线性振动。刘彦琦，张伟［14]基于几何非线性和线性粘弹性，分析了参数激励粘弹性传动带的分岔和混沌特性。

在粘弹性结构非线性动力学研究中，非线性本构关系往往会导致复杂的动力学控制方程，为进一步分析系统的稳定性、分岔和混沌运动增加了难度。实验建模方法不仅为粘弹性材料，而且为越来越多的新型材料提供了一条建立便于进行非线性动力学分析的数学模型的途径。我们以ABS树脂为基材，填充1% －10%的金红石纳米二氧化钛制成复合材料系列样本。并建立了参数激励非线性振动梁的实验系统，实验装置为承受轴向激振力和施加可控干摩擦阻尼的粘弹性简支梁的横向振动。通过实验数据和增量谐波平衡非线性识别，采用实验建模的方法，得到了粘弹性参激梁的非线性动力学控制方程。

进一步研究了方程(1)在1/2亚谐共振时解的稳定性和分岔特性，利用多尺度方法对系统的幅频响应、解的稳定性和分岔特性进行了分析，并用数值模拟验证理论分析结果。

1 实验建模

为了通过实验建模的方法建立粘弹性复合材料梁的动力学控制方程，首先进行材料的制备，按ABS与金红石纳米二氧化钛的组成比例，见表1，制备六种不同的复合材料梁系列样本，如图1所示。

表1 ABS与金红石纳米二氧化钛的组成比例Tab.1 The composition of ABS and rutile nano TiO2

图1 金属梁和六种不同配比的纳米复合材料梁Fig.1 Metal beam and 6 kinds of the nanocomposite beams

以ABS材料为基材，填充入其它纳米尺度的成分，以便对ABS材料进行改性，获得相应功能的复合材料。金红石纳米二氧化钛应用于塑料、橡胶和功能纤维产品，它能提高产品的抗老化能力、抗粉化能力、耐候性和产品的强度，同时保持产品的颜色光泽，延长产品的使用期。

本文采用3号材料的实验数据进行参数识别，再利用其他材料的实验数据进行模型验证。以便获得适用于一类纳米复合材料非线性参数振动的动力学控制方程。为了采用实验建模方法，首先建立与模型相对应的实验系统，文本研究粘弹性复合材料梁在参数激励下的动力学特性，因此，实验装置设置为一端固定，一端滑动，且承受轴向激振力和施加可控干摩擦阻尼的纳米复合材料屈曲梁。实验中，考虑到消除重力影响因素(包括材料本身自重，以及布置在材料上的传感器的重量)，将屈曲梁作纵向布置，如图2所示。系统激励频率的调频范围在0 Hz－200 Hz之间;激励幅值f通过调节电压来控制。系统的非线性阻尼由设置在滑动端的干摩擦结构产生，通过加力装置和力传感器等来控制系统的非线性阻尼。梁的横向振动响应由粘贴在梁中间的加速度传感器测得。选择3号材料作为实验建模时的基本材料，其尺寸为200 mm×20 mm×1.5 mm，质量为 7.3 g，第一阶固有频率为 6.5 Hz。

图2 实验装置示意图Fig.2 The schematic diagram of the experimental device

图3 模型中不含的识别结果与实测信号响应和相图的比较Fig.3 The comparation of the identification result withoutand the measured signal in response and phase diagram

根据以往的研究结果［14，15]，金属材料梁在单模态近似下，实验系统的动力学模型是含有参数激励项的非线性常微分方程。

因此，在考虑ABS-TiO2纳米复合材料——粘弹性材料梁的动力学模型时，由于材料的粘弹性特性，假设系统非线性项为3次多项式，则系统的动力学模型设为如下形式:

其中，αi(i=0，…，9)是需要通过实验数据与非线性参数识别理论进行识别的参数［16]。

由实验系统测量梁的振动响应数据，应用增量谐波平衡非线性识别法［17]，识别方程(3)中参数αi(i=0，…，9)，再代入方程(3)解出响应x(t)，并与实验测得响应结果进行比较。通过比较方程(3)中各非线性项对识别结果的影响，表明，当方程(3)中不含x·x 时，模拟结果与实验结果吻合，如图3所示，否则方程的解将显示衰减为零或趋于无穷大。而x2项是否存在于方程中对识别结果没有影响，都可以得到好的效果。但对于其他型号的材料保留x2项将获得更好的结果。于是，粘弹性梁在参数激励下的最优动力学控制方程为:

其中α0与固有频率和初始条件有关;α1为线性阻尼;α2和 α5为非线性刚度;α4，α6，α7和 α8与干摩擦、内阻尼等非线性因数有关;α9为参数激励幅值。

为了验证模型(4)的适用性，利用1、2、4、5 号材料梁测得的实验数据，经过数值模拟结果与实验结果进行比较，如图4所示。从图中可以看出，模型的仿真结果与实测结果定性定量吻合较好，模型(4)得到很好的验证。

图4 不同配比成分材料实验结果与模拟结果的对比验证Fig.4 The verification of the experimental results and simulation results with different compositions

2 解的稳定性

以三号纳米复合材料梁为例，研究梁在参数激励下的非线性动力学特性，故将控制方程(4)写成如下形式:

其中，μ为线性阻尼系数，ω0为系统的固有频率，f0和f与参数激励有关，αi(i=0，…，5)是系统非线性参数。

考虑1/2亚谐共振情况下系统的响应和分岔特性。设Ω2/4=+εσ0，这里 σ0为调谐参数，将Ω2/4－εσ0代入式(5)。利用多尺度方法式(5)可写成:

其中 σ =σ0+f0。

设方程(6)的一阶渐近解形式为:

将式(7)代入方程(6)，令等式两边ε同次幂的系数相等，得到下列微分方程组:

方程(8)的解为:

这里A(t2)为A(t2)的共轭复数，联立式(8)、式(9)和式(10)，要使解中不出现长期项，必须有:

设:

将式(12)代入式(11)，并分离实部和虚部，化简得到一次近似情形下极坐标形式的平均方程为

讨论方程(13)的稳态解及系统响应随参数σ0，μ的变化情况。令，并消去θ，得到分岔响应方程为:

方程(14)可以简写为:

由此，可以得到以下几种不同解，显然有A1≥0，这里假设:

(1)当C＜0时，有:

(2)当 B ＜0，C≥0，Δ =B2－4A1C≥0时，有:

(3)其他情况，有:

为了判断1/2亚谐共振下解的稳定性，把平均方程(13)从极坐标形式变换成为直角坐标形式，令:

这里x和y是t2的实函数，把式(21)代入式(11)，并分离实部和虚部得到直角坐标形式的平均方程:

由方程(22)的Jacobi矩阵可以得到对应零解的本征方程为:

对应非零解的本征方程为:

根据分岔响应方程(14)不同解和本征方程(23)，(24)，可以得到解的稳定区域如图5所示。平均方程(13)的奇点和控制方程(6)的周期解在参数平面(σ0，μ)上有相同的稳定区域。

图5 定常解稳定区域Fig.5 The stability region of steady solutions

2.1 零解稳定性分析

根据零解本征方程(23)，分析不同区域的零解稳定性，得如下结果:

(1)当μ＞0时;如图5，零解在区域Ⅰ是稳定的。在区域Ⅱ是不稳定的。

(2)当μ＜0时;零解的特征根至少有一个实部为大于零的特征根，因此，零解总是不稳定的。

2.2 非零解稳定性分析

根据式(24)的非零解特征根结构，可知非零解的稳定性条件为:

通过稳定性分析，可得非零解稳定与不稳定区域如下:

(1)当μ＞0时:如图15所示，非零解式(16)在区域Ⅱ稳定，非零解(18)式在区域Ⅷ稳定，非零解式(19)式在区域Ⅷ不稳定。

(2)当μ＜0时:非零解式(16)在区域Ⅳ不稳定，而在区域Ⅴ稳定;非零解式(18)在区域Ⅵ是稳定的，而在区域Ⅶ内不稳定;非零解式(19)在Ⅵ和Ⅶ不稳定。

3 分岔分析

从以上分析可知，随着系统参数的变化，系统稳定性会发生变化，从而表现出不同的运动形式。下面利用数值仿真分析参数激励幅值f对系统分叉行为的影响，系统(5)主要参数为 ω0=1，Ω =2，f0=0.1，μ =0.05，αi=0.1(i=1，2，3，4，5)。图 6 为关于参数激励幅值f的最大Lyapunov指数图，图7为Runge-kutta数值积分法得到的关于参数激励幅值f的分岔图。结果表明，随着参数f的变化，系统呈现出丰富的动力学现象。

图6 系统的最大Lyapunov指数图Fig.6 The Maximum Lyapunov exponent map

图7 系统的分岔图Fig.7 The bifurcation diagram

① 当激励幅值f∈(0，0.286)，系统开始由于阻尼作用，运动形式为衰减运动，系统最后处于静止状态。② 当激励作用进一步加强，即取f∈(0.286，12)，系统出现周期运动，先后经历周期1→周期2→周期3，如图8(a)所示。③ 从图6和图7可知，随着激励幅值f的增加，系统由周期3→周期4。取f=13，通过计算获得的相空间轨线和Poincare截面如图8(b)所示。④ 随后系统发生倍周期分叉进入混沌状态，当 f∈(13.044 5，15.365 5)，图6 中最大Lyapunov指数为正，表明系统此时处于混沌状态。在该区间内取f=13.5，模拟计算结果如图8(c)，⑤ 在混沌区间还存在多个周期窗口，在(13.135 5，13.152 5)、(15.227，15.249 5)等区间如图7所示，系统处于周期运动状态。取f=15.24，模拟计算结果如图8(d)所示，此时图6中最大Lyapunov指数为负数，Poincare截面上为六个点，表明系统处于周期6。⑥ 另外，我们还发现系统可以进入阵发性混沌，如当系统从混沌运动状态退出，在(15.227，15.249 5)区间发生倒周期分岔，随后激励幅值f继续增大，系统从周期6运动状态突然转为混沌运动状态，即发生阵发性混沌。当激励幅值f超过15.37，系统发生倒倍周期分岔，即从混沌状态进入周期运动，取f=16，此时系统为周期1运动如图8(e)所示。

4 结论

本文利用实验建模方法建立的粘弹性纳米复合材料屈曲梁参数激励非线性振动系统的动力学控制方程，对系统的动力学特性进行了分析。讨论了系统在1/2亚谐共振情况下线性阻尼系数对系统稳定性的影响，得到了系统的幅频响应以及在(μ，σ0)平面内的稳定区域。利用数值模拟分析了参数激励对分叉行为的影响，并对系统通往混沌的道路进行了讨论，发现通过倍周期分岔进入混沌，同时发现系统存在阵发性混沌。通过实验建模和系统动力学分析，揭示了纳米复合材料参数激励梁丰富的非线性动力学现象，为更好的利用纳米复合材料提供了理论基础。

图8 随激励幅值f变化时系统的响应Fig.8 The response with excitation amplitude f varied

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