Clifford代数Clp，q的幂等元

张桂颖， 纪云龙， 李武明

0 引 言

Clifford代数Clp，q是由p＋q维 Minkowski空间Rp，q生成的一类2p＋q维的实结合代数，在数学和物理中有诸多应用［1－3］。在对 Clp，q理论的研究中，人们注意到可除的Clp，q只有R≌Cl0，0，C≌Cl0，1，H≌Cl0，23种。故此，人们非常关注非可除的Clp，q的研究。文中的主要结果有:

1）Clp，q非可除代数的充分必 要条件是Clp，q有非平凡幂等元；

2）若Clp，q的中心子代数Cen（Clp，q）有非平凡幂等元，则Clp，q有双环结构。

1 Clp，q有非平凡幂等元的等价命题

Clifford代数Clp，q的一组基［1－3］为:

且满足

定义1［1］设A为域F上代数，利用A的加法运算与乘法运算，在

上定义加法运算与乘法运算为:

则A2构成环，称其为A的双环，记为2A。

下面我们把Clp，q中满足u2＝1，u≠±1的元素u称为Clp，q的非平凡自逆元。

定理1 设Clp，q是由p＋q维 Minkowski空间Rp，q生成的Clifford代数，则有如下等价命题。

1）Clp，q有非平凡零因子；

2）Clp，q有非平凡幂等元；

3）Clp，q有非平凡自逆元；

4）Clp，q有子代数同构于双环2R。

证明

1）⇒3），Clp，q有非平凡零因子，即Clp，q是非可除的［4－7］，可知p＞0或q＞2。当p＞0时，Clp，q有非平凡自逆元e1，命题成立。当p＝0时，必有q＞2，Clp，q有3次单位向量e123为其非平凡自逆元。

3）⇒2），设u是Clp，q的一个非平凡自逆元，令

即v是Clp，q的非平凡幂等元。

2）⇒1），设v是Clp，q的非平凡幂等元［8］，则存在非零元1－v，使得v（1－v）＝0，即Clp，q有非平凡零因子。

3）⇒4），若Clp，q有非平凡的自逆元u，u2＝1，即u为Clp，q的一个双曲虚单位，从而Clp，q有子代数｛a＋bu｜a，b∈R｝≌H≌2R。

4）⇒3），若Clp，q有子代数与双环2R 同构，即与双曲数 H＝｛a＋bj｜a，b∈R｝同构，从而Clp，q有双曲虚单位j，即为Clp，q的非平凡自逆元。

2 幂等元与Clp，q的结构

定理2 若Clp，q的中心 Cen（Clp，q）有非平凡幂等元，则 Cen（Clp，q）≌2R，且

即 Cen（Clp，q）与Clp，q均有双环结构。

证明 由于Clp，q的中心子代数只可能同构于R，H 与C，而R与C中均无非平凡幂等元。故 Cen（Clp，q）有非平凡幂等元时，必有

下证

1）任取a∈Clp，q－1，b∈Cen（Clp，q）有ab＝ba；

2）Clp，q＝Clp，q－1Cen（Clp，q）；

3）dimClp，q＝2p＋q＝2p＋q－1·2＝dimClp，q－1dimCen（Clp，q）故有

当q≠0时，有

同样可证，当q＝0时，有

推论1 若e

12…（p＋q）

为自逆元，且

则

［1］ Lounesto P.Clifford algebra and spinord［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2001.

［2］ 李武明.Clifford代数与 Minkowski空间的性质［J］.吉林大学学报:理学版，2000，10（4）:13-16.

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［4］ 李武明，张庆成.四维双曲复空间与Lorentz群［J］.东北师范大学学报:自然科学版，2005，37（2）:15-17.

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