有关复李群与A-李群的性质的初步探究

岳祥振

（伊犁师范学院奎屯校区 文理系，新疆 奎屯 833200）

有关复李群与A-李群的性质的初步探究

岳祥振

（伊犁师范学院奎屯校区 文理系，新疆 奎屯 833200）

文章从复李群、A-李群及其子群的定义和性质出发，研究了复李群G成为复Poisson仿射群的充要条件，并探讨了A-李群的积和A-李子群的交集的性质.

复Poisson仿射群；A-李群；A-李子群

文章着眼于超李群加以探讨，丰富了超微分几何的理论内容，同时也为量子物理等其他应用学科提供了新的研究工具.A-流形是流形概念的一个自然推广，A-李群也可看作是李群概念的一个自然推广.

1 基础概念与引理

定义1 如果复李群G为仿射群K(G，H)，带有复结构J并赋予了Poisson结构π，使其成为Poisson仿射群.则称其为复Poisson G仿射群.简称为复Poisson仿射群，记为（K（G，H），π，J）.

定义2[3]设M是一个拓扑空间，φ：U→O是M的一个坐标卡，其中φ是同胚，开子集U奂M,O是某A-向量空间E的偶性部分的开子集.在不产生混淆的情况下,用开集U奂M或 (U,φ)表示一个坐标卡.M两个坐标卡φa:Ua→Oa奂(Ea)0, φb:Ub→Ob奂(Eb)0是相容的，如果映射φaφb-1和φbφa-1是光滑的，即φbφa-1∈C∞（φa（Ua∩Ub）;Eb）0和φaφb-1∈C∞（φb（Ua∩Ub）;

Ea）0.

拓扑空间M的光A-结构是一坐标卡簇S={φα:Uα→Oα|α∈I}:满足下面三个条件:

(2)坐标卡簇S中任意两个坐标卡是相容的;

(3)若坐标卡φ:U→O与坐标卡簇S中的元素全部相容，则φ∈S.

proto A-流形是带有光滑A-结构S的拓扑空间M. proto A-流形的册是S的子集U,如果它满足条件(1)和(2),但不必满足(3).

定义3 设G、H是A-李群，映射ρ:G→H称为A-李群同态,如果ρ是光滑的且它是抽象群的同态.

定义4 如果G是A-李群，G的一个A-李子群是一对(i，H)，使得H是A-李群，且i:H→G是内射的A-李群同态.在一般情况下，仅用H表示G的A-李子群.

引理1 设M和N是两个A-流形，U和V分别是M和N的册.在M×N上定义一个册

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其中定义(φa×ψb)(x,y)=(φa(x),ψb(y)).则M×N是一个A-流形.

引理2 给定一个拓扑空间M，坐标卡簇U={Ua|a∈I}满足条件(1)和(2).则册U定义了M的惟一的一个光滑A-结构.

2 主要定理及证明

定理1 如果复李群G为仿射群K(G，H)，并在G上赋予了Poisson结构π，使其乘法满足Poisson映射.则复Poisson仿射群的充要条件是坌g1,g2∈G,h1,h2∈H

其中l(g1,h1)，r(g2,h2)分别表示仿射群K(G，H)的左、右平移(不变向量场).

证明 先证必要性：设(K(G,H),π,J)是复Poisson仿射群，则乘法

m:K(G,H)×K(G,H)→K(G,H)是Poisson映射，即坌g1,g2∈G,h1,h2∈H，有

又m为全纯映射，根据乘积Poisson流形M×N的性质有

所以

充分性的证明只需将上面的证明过程逆推即可.

推论1.1 如果(K(G,H),π,J)是复Poisson仿射群，e,θ分别是G和H的单位元，则Jπ(e,θ)=0，其中复李群G中的远算为“乘法”，H中的远算为“加法”.

定理2 设G1,G2是两个A-李群，在笛卡尔积G1×G2上定义乘法运算

则G1×G2是一个A-李群.

证明 由引理1得G1×G2是一个乘积A-流形.设e1,e2分别是G1、G2的单位元，则(a1,a2)莓(e1,e2)=(a1e1,a2e2)=(a1,a2),坌(a1, a2)∈G1×G2.所以(e1,e2)是G1×G2的单位元.又(a1,a2)-1=(a1-1,a2-1)是(a1,a2)的逆.又由乘法运算得乘法是封闭的，故G1×G2是抽象群.因为G1、G2是A-李群，所以它们的乘法运算m1:G1× G1→G1和m2:G2×G2→G2是光滑的，其中mi(ai,bi)=aibi,i=1,2.设G1、G2的册分别为u={φa:Ua→Oa|a∈I}和v={ψb:Vb→Pb|b∈J}，则φa1莓m1莓(φa2,φa3)-1和ψb1莓m2莓(ψb2,ψb3)-1是光滑的.定义m: (G1×G2)×(G1×G2)→(G1×G2)为坌ai,bi∈Gi,i=1,2,则 (φa1×ψb1)莓m[(φa2×ψb2)×(φa3×ψb3)]-1

可见

是光滑的.综上所述，G1×G2是一个A-李群.

定理3 设A-李群G，(i1,G1)和(i2,G2)分别是A-李群G的A-李子群.则G1∩G2是G的A-李子群.

证明 (1)先证G1∩G2是G的A-流形.取G的单位元e,由于G1,G2是G的A-李子群,所以e∈G1∩G2,G1∩G2≠覫.设G是构造于A-向量空间E上的A-李群,G1是构造于分级子空间Fi奂E(i=1,2)的A-李子群.记F=F1∩F2,易得F是A-向量空间E的分级子空间.取G的一个册w={φa:Ua→Oa奂E0|a∈I}.令

则S={ψa:Va→Pa奂F0|a∈I}必是G1∩G2的册.事实上，由于∪a∈IUa=G，且∪a∈IVa=G1∩G2，所以S满足条件(1).

再证S满足条件(2).任意取S中得两个坐标卡ψa:Va→Pa奂(Fa)0和ψb:Vb→Pb奂(Fb)0.由于φbφa-1:φa(Ua∩Ub)→Pb奂(Eb)0是光滑的，则φbφa-1到φa(Ua∩Ub)∩(Fa)0上的限制也是光滑的.又φa(Ua∩Ub)∩(Fa)0=ψa(Va∩Vb)，故φbφa-1ψa(Va∩Vb)奂(Fb)0，所以φbφa-1:ψa(Va∩Vb)→(Fb)0是光滑的,故ψbψa-1:ψa(Va∩Vb)→(Fb)0是光滑的.同理，ψaψb-1:ψb(Va∩Vb)→(Fa)0也是光滑的.所以S满足条件(2).

再由引理2可知S惟一地确定了G1∩G2上的一个光滑A-结构.而G是满足第二可数的、Hausdorff的拓扑空间，所以G1∩G2也是满足第二可数的、Hausdorff的拓扑空间.因此可得G1∩G2是G的A-流形.

(2)单位元e∈G也是G1∩G2的单位元.易知G1∩G2是抽象群.

(3)由于A-李群G上的乘法映射m:G×G→G是光滑的，只需将m限制到(G1∩G2)×(G1∩G2)上，即可得到G1∩G2上的乘法映射m':(G1∩G2)×(G1∩G2)→G1∩G2，所以m'是光滑的.

(4)因为i1:G1→G和i2:G2→G都是内射的A-李群同态，不妨令i=i1|G1∩G2，则i:G1∩G2→G保持i1在G1上的运算.所以i是内射的A-李群同态.

综合(1)(2)(3)(4)四部分，可知G1∩G2是G的A-李子群.

推论3.1 A-李群G的有限多个A-李子群的交依然是G的A-李子群.

例 设G=Aut(E)是有限维的A-向量空间E的自同构群.在该群上定义了通常的复合“莓”这种群结构.Aut(E)的元素是右线性的，即Aut(E)奂EndR(E).在通常的复合“莓”结构下，Aut(E)对E的作用是光滑的左作用.Aut(E)是一个具有标准结构的A-流形，且是A-向量空间EndR(E)的偶性部分的开子集.它是一个A-李群.

〔1〕Boothby W.M.An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry[M].New York:Academic Press，1975.

〔2〕Serge Lang，S.Axler，F.W.Gehring，P.R.Halmos.Differntial and Riemannnion Manifolds[M].Beijing:Springer-Verlag (世界图书出版公司北京公司)，1998.

〔3〕Gijs M.Tuynman.Supermanifolds and Supergroups(Basic Theory)[M].Kluwer Academic publishers，2004.

〔4〕Abraham R.A.，Marsden J.E..Foundations of Mechanics[M],2nd ed..Westview press，1978.

〔5〕孟道骥，白承铭.李群[M].北京：科学出版社，2005.

〔6〕陈维桓.微分流形初步(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2001.

O152.5

A

1673-260X（2012）05-0001-02

伊犁师范学院院级青年科研项目（QN2008019）