导数中一类问题的规律探讨

☉江苏省南通市通州区二甲中学 代宗山

导数中一类问题的规律探讨

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导数问题现在成了高考考查的热点，导数是研究函数性质：单调性、极值与最值的重要工具.每年高考考查导数问题是以导数为载体，结合函数、不等式、方程这条高中数学主线来考查，而且在导数考查中，往往设置了参数，涉及分类讨论，对学生思维能力要求很高.所以，成也导数，败也导数.

虽然导数题目涉及三次函数、指数函数、对数函数等众多函数，但有一类问题的规律是求导后函数是一个二次函数，或者可以归结为二次函数，下面举例说明.

一、二次函数形式

例1 （2012年北京卷改编）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx，当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（－∞，－1］上的最大值.

点评：求出h′（x）=0的两个根，注意两个根与区间值-1的大小关系，由此展开讨论，这一点是此题的关键之处.

例2 （2011年全国卷改编）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3－6a）x+12a－4（a∈R）.若f（x）在x=x0处取得最小值，x0∈（1，3），求a的取值范围.

解：（法一） 从函数极值点即方程的根入手，建立基本关系.由f′（x）=0得3x2+6ax+3－6a=0，其Δ=4a2+8a－4.

二、对数函数形式

点评：以上三种解法从不同的角度揭示了参数对函数零点的影响，三种解法紧紧扣住了函数、不等式、方程三者的内在联系进行转化.

三、混合函数形式

又h（1）=0，所以当0＜x＜1时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单增；当x＞1时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单减.所以，增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）.

点评：第2问分析：（1）求导后，由于求不出极值点，由此陷入困境.怎么办呢？要对导函数进一步研究，自然想到再求导；（2）求导后h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）单减，注意我们是要判断f（x）的正负即h（x）的正负；（3）注意x趋于0时，h（x）＜0，x趋于+∞时，h（x）＞0，函数h（x）的零点在哪？ h（1）呼之欲出.

通过以上几例可以看出，如果求导后的函数是一个二次函数，或可以化成二次函数，抓住函数极值点是单调区间的分界点，实际上就是函数的零点，方程的根这一点，从此切入，并善于在函数、方程、不等式不断的转换中解决问题.在问题的不断的转化中，寻找解决问题的契机，以此寻求问题的解决.