一道解析几何试题的探究

☉浙江省宁波市鄞江中学 徐春波

☉浙江省宁波教研室 冯 斌

一道解析几何试题的探究

☉浙江省宁波市鄞江中学 徐春波

☉浙江省宁波教研室 冯 斌

这节课笔者先参加了2011年宁波市教坛新秀评比活动，而后又在2012届宁波市高三数学复习研讨会上展示．两次授课的背景不同，前一次授课是笔者于比赛前一天17：00接到通知，得知上课内容是“围绕2010年浙江省高中数学会考第42题面向宁波市奉化高级中学高二文科班学生上一堂课”，并于第二天7：45到比赛地点集中，中途不准试讲．后一次授课是到浙江省慈溪中学上课面向高三文科班学生，其间到不同的学校讲了4次．两节课面对的学生学情有很大差异，前一节课面对的是普通中学的高二文科班学生，而且时间紧准备不充分，后一节课面对的是重点中学的高三文科班学生，时间宽裕准备较充分．笔者将两次上课的经历和感受作了对比，就不同的学生不同的要求进行不同的设计，力求在课堂上能抓住学生的心，让学生体会我们到底应该怎样解题，怎样能真正理解课堂例题的价值，体验高效课堂的的魅力所在．

先看试题：（2010浙江省高中数学会考42题）设点P（m，n）在圆x2+y2=2上，l是过点P的圆的切线，切线l与函数y=x2+x+k（k∈R）的图像交于A，B两点，点O是坐标原点．

（1）若k=－2，点P恰好是线段AB的中点，求点P的坐标．

（2）是否存在实数k，使得以AB为底边的等腰△OAB恰有三个？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

图1

一、市展示课的实录

教学目标：

（1）通过对2010浙江省高中数学会考第42题的探究，理解过圆上一点的切线方程的求法，理解直线与圆锥曲线（抛物线）的位置关系、弦中点问题的处理方法；理解解析几何问题解决的通性通法．

（2）通过对会考试题的探究，体会分类讨论、数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想在解题中的应用．

（3）培养学生在解题训练过程中的兴趣及读题、答题、思题的习惯，培养学生克服困难，刻苦钻研的精神品质．

教学重点：

直线和圆、直线与圆锥曲线位置关系的处理．

教学难点：

弦中点问题的等价转化；等腰三角形与弦中点的等价转化．

师：今天很高兴能来到慈溪中学上课，这节课我们通过一道会考解析几何试题的探究来谈谈怎样解题．请一位同学来谈谈平时是怎样解解析几何试题.

生1：我一般是先看题目，然后整理一下题设条件，将这些条件串联起来，大体上是根据题意，设定变量，列式子，求解．（肯定、表扬、赞同）

师：很好，请坐．我们来看看著名美籍匈牙利数学家乔治·波利亚对于怎样解题的论述．

投影：

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya，1887-1985）.

《怎样解题》———弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾．

师：对于同学们来说怎样解题，大致可概括为三个阶段：

（1）读题：分析题意、寻找目标、搭建桥梁；

（2）答题：通性通法、一题多解、等价转化；

（3）思题：知识落实、思想方法、类比推广、一般化．

考题欣赏：（2010浙江省高中数学会考第42题）

设点P（m，n）在圆x2+y2=2上，l是过点P的圆的切线，切线l与函数y=x2+x+k（k∈R）的图像交于A，B两点，点O是坐标原点．

（1）若k=－2，点P恰好是线段AB的中点，求点P的坐标.

（一）读题阶段

师：请同学分析题设主要条件．

生2：（1）点P在圆上；（2）l是过点P的圆的切线；（3）l与函数图像有两个交点；（4）点P是弦AB中点.

师：再请一个同学逐个解释这些条件，如何搭建桥梁呢？

生3：第一个条件“点P在圆上”，可以得到m2+n2=2；

第二个条件“l是过点P的圆的切线”，利用点到直线的距离等于半径解决；

第三个条件“l与函数图像有两个交点”，联立方程，利用判别式大于零解决；

设计意图：

通过学生自主读题，寻找目标，从而搭建桥梁，为答题服务.

师：太厉害了.我们解题的时候，经常会遇到困难，当我们遇到困难的时候，通常可以把大题化小，小题化了，同时不断鼓励自己，我能成功，我一定能成功.下面我们来化解一下这道题目中的一个小小困难.

投影：

抛砖引玉：过圆x2+y2=2上一点P（m，n）作圆的切线，则该切线方程是______.

师：默默等待…

（学生展示解法）

师：非常完整，体现了分类讨论的思想

生5：（方法2）如果设定直线的一般方程Ax+By+C=0就可避免讨论，可是运算还是繁了点.

师：我看到确有同学这样做了，很好.

师：相当精彩，数形结合，恰到好处.

生7：我们可以把这一结论推广一下：过圆x2+y2=r2上一点P（m，n）的切线方程是mx+ny=r2，还可以推广到一般位置的圆.

师：太美了，还有增值产品.总之我们得出结论：过圆x2+y2=2上一点P（m，n）的切线方程是mx+ny=2.这里我们就不进一步发散了，回到题目.

设计意图：

放手让学生去做，去表达自己的观点，教师在一旁赞扬、欣赏、点评，和谐课堂.

（二）答题阶段

师：点P是弦AB中点，而A、B是切线l与函数图像的交点，只需怎么办？（函数与方程思想）

生：（齐）联立方程.

师：还有其他办法吗？（中点弦问题——点差法）

生：（齐）点差法.

师：请同学们先解一下第一小题.（投影学生解答过程）

师：这里给出解法1（方程思想），解法2（点差法）就不进行展开了.

（板书）

师：怎样解上面的方程组？请同学们合作交流一下，前后四个同学为一组合作解决，随后展示答案.

组1：（方法1）①+②得（m+n）2+（m+n）－2=0，解得m+n=－2或m+n=1.

组2：（方法2） ②式配方（m+n）2－2mn=2，m+n=－2mn代入可得：2（mn）2－mn－1=0，答案同上.

师：以上两组同学的解法都很好，都关注到了运算求解中的整体性.刚才说了直线l与函数图像相交两个交点要有Δ判别式来保证.我们只需逐个代入到判别式检验，怎样检验比较方便？

师：（提出反思）从方程的角度我们检验了点P的坐标，这是“数”的体现.能不能从几何的角度，即从“形”的角度来验证一下呢？

投影图片：

问题：此时给出三点坐标位置，请分析图像情况.

生8：图中有两个切点P的位置在抛物线张口内部符合，另一点P在张口外部不符合.

图2

投影：

问题：当抛物线y=x2+x+k（k∈R）方程中的k发生变化时，抛物线图像怎样变换？能不能使三个点P都符合题设条件？只需抛物线的图像怎样变换？能不能只有一个？0个？

（学生参与热情高涨）

生9：方程中k的值决定了抛物线的上下位置，如果将抛物线的位置整体往上移动，可能就只有一个或者0个，如果向下平移则可能有3个.

师：（展示动画）

设计意图：

围绕三个阶段中的第二阶段，设计一组问题，以问题驱动解决问题，渗透思想方法.

师：相当精彩，请坐.解决了第一小题，我们来欣赏一下数学大师华罗庚先生的名言.

投影：

华罗庚：面对悬崖峭壁，一百年也看不出一条缝来，但用斧凿，得进一寸进一寸，进一尺进一尺，不断积累，飞跃必来，突破随之.

设计意图：

一系列的问题解决之后，欣赏一段数学大师华罗庚先生的名言，体现数学的文化，让学生体会数学大师们身上的优秀数学素养.

师：在给出第二小题之前，再提两个问题.

投影：

问题（1）连接OA，OB，当P恰为线段AB中点时，△OAB是什么三角形？怎样判断？

生10：是等腰三角形，可以利用AB⊥OP.

投影：

问题（2）反之，当△OAB是等腰三角形时，点P是线段AB中点吗？

生：（齐）是的.

师：很好，有了大家的共识，接下去给出第二小题.

设计意图：

以大化小，自然过度，逐个击破，渗透等价转化思想.期待学生回答出答案，自然转入第二小题.

投影：

第二小题：（2）是否存在实数k，使得以AB为底边的等腰△OAB恰有三个？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.

师：请同学来说一说这一小题怎样解？

生11：“等价转化”△OAB为等腰三角形⇔点P是线段AB中点；△OAB为等腰三角形恰有三个⇔点P恰有三个：

师：很好，请同学们操作一下.

投影：

学生作答：

师：观察上述方程组，字母k运算有无特点？

生：（齐）解方程组中没有参与运算.

师：依第一小题可得三组解.

（三）思题阶段

师：这里略去解答不等式组的过程，直接给出答案.其实我们可以借助图像来揭示题目的本源：0个，1个，2个，3个，4个都有可能，这是什么原因呢？请同学们结合两元两次方程组的解来体会一下.

生12：从图像看可以移动抛物线的位置，也可以改变圆的位置，结合方程组的解至多有四组，因此这样的等腰三角形的个数是可以变化的.

师：很好图形不但可以平移变换，当然还可以伸缩变换.我们从方程的角度确实可以解释这个几何图形，可见数形确实不能分家啊！（适时动画演示，揭示本质.）

投影动画：

师：下面我们以发散性思维思考这道题目.我们从以下四个方面来反思题目：（1）思考题目落实的知识点；（2）思考题目的解法；（3）思考问题的本源；（4）思考题目的变式.

师：首先题目落实的知识点有哪些呢？

生13：过圆上一点圆的切线，弦中点问题，等腰三角形等问题.

师：题目主要涉及哪些解法？

生13：韦达定理的应用，点差法的应用，等价转化.

师：问题的本源可以怎样揭示？

生13：从方程的角度和曲线的位置角度两个方面来理解，这里等腰三角形的个数其实质是对应方程解的个数.（再次适时动画演示，揭示本质.）

设计意图：

动态演示，数形结合，直观感知，加深理解，理解实质.

师：很好.其实我们解题的较高境界是触类旁通，加强变式训练必不可少.那么这道题

图3

目有没有变式呢？可以怎么变呢？

生14：将圆改为椭圆，其余条件和结论不变.

师：很好，改变其中一个曲线的形状，显然可以.

投影：

生15：将抛物线的对称轴移动一下，其余条件不变.

师：很好，改变抛物线的位置而圆不动，显然可以.同学的想象力是值得称赞的.

投影：

师：老师思维也来发散一下.能不能将圆的切线改为圆的割线，分别交抛物线于A、B，且线段AB恰好被圆三等分？

投影：

是否存在直线l交抛物线与A、B，线段AB恰好被圆三等分，若存在，求出该直线方程；若不存在，说明理由.

师：这个问题就留给同学们课后研究了，下面我们小结一下这节课.

投影：

（1）这堂课体现了哪些数学思想？

（2）我们学到了哪些数学方法？

（3）培养了我们怎样的学习精神？

生16：体现了数形结合、分类讨论、等价转化、方程思想等；学到了解方程中整体处理、观察、猜想、类比等方法；培养了我们克服困难迎难而上、钻研精神等优秀的学习品质.

师：（作业）请同学们课后继续深入探究这道题目.

图4

图5

二、课堂环节处理上的对比

对比1：引入环节上的不同

比赛课时引用数学家乔治·波利亚的名言是想引导学生对于解题一般过程的回顾，比较单薄.

展示课中增加了教师对读题、答题、思题的三个环节说明，一条主线贯穿整节课，就是让学生知道这节课的主题是“我们应该怎样解一道题”，一节课下来让高三学生对自己平时的解题习惯来一次反思，引起共鸣.

对比2：“圆上一点的切线方程的求解”课堂教学手法上的不同

比赛课时为了考虑降低学生对此题的入口难度设计了过圆上一点求切线方程，从而为解答此题服务.其实普通中学的高二学生对于“过圆x2+y2=2上一点P（m，n），求圆的切线方程”短时间内独立完成是比较困难的，笔者通过追问学生①怎样设定直线方程？②设定方程时要注意什么细节问题？③相切的几何关系怎样处理？④直线方程的形式可以怎样化简？可以说是问答式的老模式教学.

比赛课时顾及学生的运算能力有欠缺，担心学生对两元两次方程组的解法不熟悉，没敢大胆地放手让学生去处理，而是教师较为粗略的说明方程组的结构特点进而给出答案，实际情况是学生没能真正参与运算，因而课堂漏洞较多.

展示课中吸取了前面讲课过程中学生解方程组不熟练的经验教训，设计让学生分组合作讨论解法并以小组形式给出解答方案，使学生体会合作学习的乐趣，从而化简课堂教学的中的一个难点.

对比4：“检验点P坐标是否符合题意”的不同

展示课中，在之前基础上设计追问环节，当抛物线y=x2+x+k（k∈R）的k发生变化时，图像怎样变换？能不能使三个点P都符合题设条件？只需抛物线的图像怎样变换？能不能只有一个？0个？随后以课件来展示动画，动静结合，加深学生对命题人出题意图的理解.

对比5：“第一小题与第二小题过度”上的不同

比赛课时为了速战速决直接给出第二小题，学生在等价处理上显然是有一定难度的，很多同学对于“△OAB为等腰三角形”与“点P是线段AB中点”无法正确的沟通，因而断电、冷场，这时需要教师介入，觉得比较被动.

展示课中针对这一难点在处理手法上设计两个小问题，问题（1）连接OA，OB，当P恰为线段AB中点时，△OAB是什么三角形？怎样判断？问题（2）反之，当△OAB是等腰三角形时，点P是线段AB中点吗？其实是第二小题的一种等价转化，学生很容易接受，至于第二小题的解答也就没有太大困难了.

对比6：“思题环节上”的不同

比赛课时主要是反思题源，结合动画演示，带领学生探求题目的本源，深刻体会考题的价值，可以说是形式上的展示，学生只是欣赏并没有参与其中.

展示课中思题的变式环节完全有学生掌控，一个学生提出

教法变圆为椭圆，另一学生提出抛物线的位置可左右平移，再到教师提出变圆的切线为割线，是否存在线段AB恰好被圆三等分的情况．让学生带着疑问离开教室，其实正是高效学习所要追求的．

笔者通过先后两次针对不同的对象的尝试，深刻体会到课堂上怎样让学生感到“过瘾”，什么是学生真正想要的，针对不同的学情的学生思考问题的角度和方法的差异我该如何设计、如何处理，等等这些疑问的的确确需要时间来学习和反思．

三、点评

听了徐老师同一节课两次，总体感觉是出奇出彩，高效精品．前一次课面向的是广大的农村普通学校的学生，他们的数学基础一般，要解决这么一道省会考试确实很是吃力，更何况这次教坛新秀评比的要求比较高，就是要体现选手的处理教学内容的真实能力．后一次课面向的是省重点高中的学生，徐老师作出了很大的改变，条理清晰过程流畅、严谨，预设充分因而能镇定处理课堂上学生的突发奇想．

这种复习课的模式是值得借鉴和提倡的，可谓低能耗高效率．课堂时间是等长的，学生的研讨思维活动是很紧张的，投入的智慧是巨大的，但由于教者科学性与艺术性相结合的教学方式，学生感觉到的却是一种轻松活泼，一种充满成就的愉悦，一种在不知不觉间的发展提升．与所谓“大运动量的题海训练、疲惫与厌恶并存”的教学方式相比，这不就是一种“低能耗”吗？教者经过充分准备，在课堂上通过学生放开手脚的铺陈演绎，上演了一出精彩纷呈的“大戏”．学生由衷地赞叹“收获太大了”，且有“不识庐山真面目，只缘身在此山中”之感叹，这是对高回报极有力的证明．笔者在仔细阅读“品尝”了这节课的教学过程后，不禁为此次成功的探索尝试大声叫好．高中数学教学、高三数学复习太需要如此的教学方式了！纵观此节课，有限的教学资源得到了充分的开发和利用．回头看看，在读题、答题、思题整个过程中，涉及了哪些知识、技能、思想方法、思维的深刻性、敏捷性、创造性等重要内容都在自然流畅的教学情境中得到有机的融合．可谓高效精品．