基于新课程背景下的数学习题教学研究——以“二次函数的最值问题”教学为例

☉江苏省南通市小海中学 秦洪银

基于新课程背景下的数学习题教学研究
——以“二次函数的最值问题”教学为例

☉江苏省南通市小海中学 秦洪银

一、问题的提出

数学课堂教学离不开习题课教学，在当前新的课程改革大背景下，习题课教学也应坚持学科教学的新课程理念，将学生的主体性地位凸显出来，引导学生在原有的认知基础上准确把握数学思维方法，深化对核心数学概念的理解，通过同化和顺应，使学生的认知结构得以转化和发展，在习题解决过程中提高学生的解决问题能力，并发展学生的数学素养，实现“知、情、意、行”的和谐统一.笔者就这一课题一直在进行着思考，本文结合笔者的具体教学实践，和大家就习题课教学相关问题作一探讨．

二、教学案例呈现

“二次函数的最值问题”是一个最为常见的习题课素材，现在就这一课题的教学和大家分享笔者的做法．

1．从学生的最近发展区出发导入教学

设置问题：同学们根据前面的学习，请在草稿纸上试着画一组二次函数的图像，并分析你画出的这些二次函数的图像具有怎样的特点.

这一做法摒弃了传统的习题课一上来就是做题目的弊端，借助于复习巩固二次函数的图像和性质，很自然地导出习题课的主题，学生在作图的过程中，笔者走到学生之间，通过巡视，发现问题并予以及时的指导．

2．小切口热身训练

在课题导入完成以后，笔者采用难度较低的问题引导学生进行热身训练．

例1 尝试完成如下两个小问题：

①函数f（x）=x2+2x+3的最小值为多少？（定义域为R）

②函数f（x）=x2+2x+3在［0，10］上的最小值和最大值分别为多少？（定义域为［0，10］）

学生通过这两个小问题的解决，达到热身并融入课堂的效果．

3．精选范例深化研究

在学生热身完成后，应当提供可挖掘性例题引导学生层层思考，提高能力和数学素养．

例2求函数f（x）=x2－2x－3在区间［2，3］上的最小值．

该题学生也容易下手，笔者在学生解决的过程中，引导学生重点关注审题、看区间和借助于函数图像进行求解的数学思想．在学生完成问题解答后，及时进行变式，引导学生进一步思考．

变式1：求f（x）=x2－ax－3在区间［2，3］上的最小值．

在学生完成问题解答后，笔者并没有立刻结束，而是引导学生进一步反思．

反思：例2和变式1有什么差异，对这类变式我们应当如何处理？

通过反思性提问，让学生再次回到习题之中，通过学生自主的总结与归纳，实现数学知识与方法的主动建构，从新课程的理念来看，这一过程是学生的自主行为，是教师的讲授与灌输所无法替代的，只有通过学生主体参与，知识和方法才会固化为学生的能力与素养．每个同学通过自己的反思都能够得到一些新的东西，此时，应当乘热打铁，让学生自主编题，实现知识与技能的升华．

4．学生自主编题，固化所学

引导：例题中的对称轴和区间是确定的，而变式中的区间定、对称轴动，你们能否自己改编一道题目呢？

在学生的交流汇报中，笔者发现学生利用课堂所学的能力在短时间内效果是明显的，及时地强化，有利于学生有效地掌握知识和方法，对于上面的例题，笔者收集到的学生变式主要有如下几个：

学生自主变式1：让对称轴定、区间动，如：求f（x）=x2－2x－3在区间［m，m+l］上的最小值.

学生自主变式2：求f（x）=4x－a·2x+1－3在区间［1，log23］上的最小值.

学生自主变式3：求f（x）=4x－a·2x+1－3在区间［m，m+l］上的最小值.

学生自主变式4：求f（x）=log22x－a·log2x－3在区间［4，8］上的最小值.

学生自主编题的过程是应用知识和思考方法的过程，同时这些题目的真实性和价值性高出了教师所给的习题，是学生主动参与学习的重要特征.另外，实践表明学生思考自己的命题会更为认真细致．

三、几点反思

1．习题课的设计思想应遵循新课程理念

习题课是学生应用课堂所学知识进行问题解决的课型，当问题无法解决时，学生会有紧张的感觉，特别是在高考模式下，升学的压力不容忽视，因此我们的选题，必须考虑到学生的具体实际，问题的设置要有利于调节学生的学习情感，同时又要客观地暴露出学生解题过程和方法上的问题或闪光点，教学过程中要增加师生互动，通过课堂巡视、相互交流等形式，有效地巩固数学知识和数学思想方法，促进三维教学目标的达成．

2．确保学生的主体地位和教师的主导作用

尽管教师必须讲解，但其目的主要是给学生作示范，带动学生思考，所以教师要做好导演，把学生的积极性充分调动起来，使学生进入角色，保证学生的主体地位，教师切忌喧宾夺主．同时，教师要面向全体学生组织教学，特别要更多地关心学习困难学生的学习，及时给予帮助和指导．

3．注重例题资源的充分挖掘

习题课更要讲究课堂教学效率，同时兼顾学生的可接受性．要注意变式处理，同时留足学生思维的时间和空间，通过变式训练引导学生在互动中树立生成性意识.此外，对于一道习题存在多种解决问题的方法的情况，注重解法的挖掘有利于学生思维能力的提升．

例如，笔者在另一节习题课“三角函数求值”中选择了一道例题：

对于本题，学生基本上都可以完成解答，不过学生不一定能将多种解法想全面，笔者在教学中引导学生从以下角度进行总结，通过思路的引导，让学生解决问题具有方向性．

思路1：以求α的函数值为主线．

思路2：以求2α的函数值为主线．

有了具体的思路，在方法手段上则让学生各显神通，通常借助于因式分解的变换、弦化切的变换、降次变换等手段，将已知式化为单个的三角函数值后，再结合倍角公式与和角公式，得到所求的三角函数值．

总之，我们的习题教学，要让学生感受到数学的严谨、抽象，切身体验到高中数学的趣与美，借此提升学习数学的热情和增强学好数学的信心．

1．刘银耀．新课改条件下如何上好数学习题课［J］．考试周刊，2010（30）.

2.马传虎.浅谈新课标下高中数学习题课教学［J］.中学教学参考，2010（26）．