运用直尺巧妙解决数学问题

☉江苏省盐城市初级中学 王太广

操作直尺（无刻度）解决数学问题，考查学生动手解决问题的能力，在充满探索的过程中理解数学，从中感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识，创新意识.本文就运用直尺巧妙解决数学问题，举例说明.

一、平分平行四边形的面积

例1 如图1，已知平行四边形ABCD，只用直尺你能把这个平行四边形分成面积相等的两个图形吗？

分析：考虑到平行四边形的性质，平行四边形是中心对称图形，对称中心是四边形的对角线的交点.

作法：利用直尺连接AC，BD交于点O.过点O任意作一条直线，则直线EF两旁的图形面积相等.

根据平行四边形是中心对称图形易于证明直线两旁的图形面积相等.

二、找线段的中点

例2 在一次数学活动课上，小明提出：谁能帮我用没有刻度的直尺找出线段AB的中点？小聪说：我能做到.你知道小聪是如何做的吗？

这个问题有些困难，考查了学生的基本功和解决问题的能力.

作法：如图2，用直尺任作一条直线

MN∥AB，在MN，AB的同一侧任取一点P，连接AP，BP分别交直线MN于点C，D，再连接AD，BC，相交于点E，画射线PE交线段AB于点O，点O就是线段AB的中点.

图2

三、作角的平分线

例3 只用直尺，小明画了∠BAC的平分线AD，你能知道小明如何画的吗？并证明其作法的正确性.

作法：如图3，将直尺一边与AB重合，在∠BAC的内部沿另一边画直线EF；再将直尺一边与AC重合，在∠BAC内部沿另一边画直线MN，交EF于点G，过AG作射线AD，则射线AD就是∠BAC的平分线.

证明：作GP⊥AB，GQ⊥AC，垂足分别为P，Q，垂线段GP，GQ为直尺的宽度，所以GP=GQ，所以AD是∠BAC的平分线.

四、作圆的直径

例4 只用没有刻度的直尺，小明能作出已知圆的直径，你知道小明是怎么做的吗？并说明理由.

图4

作法：如图4，将直尺放在圆上，与圆交于点A，B，C，D四点，连接AD，BC交于点P，移动直尺，使直尺一边与AB重合，另一边与圆交于E，F点，（EF和CD分别在AB两侧）连接AF，BE交于点M，作直线PM交圆于G，H，则GH就是圆的直径.

证明：由作法可知，CD∥AB∥EF，AB平分∠DAF和∠CBE，从而∠DAF=∠CDE，所以四边形PAMB为菱形，PM垂直平分AB，根据垂径定理易得GH是圆的直径.

当然我们利用这种方法还可以找已知圆的圆心.

五、作垂线

例5 AB是已知圆的直径，点P是圆所在平面内的任意一点，但P点不在直线AB上，也不在圆周上，你能否仅用直尺过点P作AB的垂线？

图5

分析：要作直线，还一个点，此题没有给出有关的图，也没有明确指明点P的位置，所以先要画有关的图，并就点P的位置进行分类讨论.

（1）点P在圆的内部，如图5，连接AP，BP并延长与已知圆分别交于D，E，连接

AE，BD分别延交于点C，作直线CP，则直线CP即为所求的垂线.

（2） 点P在圆的外部，有图6，图7两种情形，作直线AP，BP与已知圆分别交于点D，E，作直线AE，BD交于点C，作直线CP，则直线CP即为所求的垂线.

图6图7

证明：（1）点P在圆的内部，如图5，因为AB为⊙O的直径，所以AD⊥BC，BE⊥AC，所以点P是△ABC的垂心.所以CP⊥AB.

（2）点P在圆的外部的两种情况也可仿此法证明：一种情况如图6，因为AB为⊙O的直径，所以AE⊥PB，BD⊥PA.所以点C是△PAB的垂心.所以CP⊥AB.

另一种情况如图7，点B是△PAC的垂心，所以CP⊥AB.