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一类解析函数的Fekete-Szegö不等式

2012-08-16李宗涛杨家稳

关键词:单叶滁州解析

郭 栋,李宗涛,杨家稳

(1.滁州职业技术学院基础部,安徽滁州239000;2.广州民航职业技术学院基础部,广东广州510403)

1 引言与结果

FEKETE和SZEGÖ[1]于1933年证明了如下结果.

且对每个μ等号均能成立.

其中的幂函数取主值.当 θ=0时,Bθ(λ,α,ρ)=B(λ,α,ρ).文献[2]、[3]讨论了 B(λ,α,ρ)的单叶条件、单叶半径、包含关系、偏差定理、函数的不等式性质和覆盖定理.文献[4]讨论了 B(λ,α,ρ)的Fekete-Szegö不等式.本文研究了 Bθ(λ,α,ρ)的Fekete-Szegö不等式,得到了它的精确结果,文献[4]中的定理1是本文定理1的一个推论,但使用的方法不同.

设f(z)=z+a2z2+a3z3+…,φ(z)=

由于

通过计算有

比较系数得

由于 e-2iθ+1=e-iθ(eiθ+e-iθ)=2e-iθcosθ,令u=eiθ/(2cosθ),于是有

为了导出本文的主要结果,先给出如下引理:

引理1[5]设 φ(z)=c1z+c2z2+c3z3+…在 U内解析且满足,极值函数φ(z)=z2;

在定理1中令θ=0,得

注释1 推论1就是文献[4]的定理1.

特别地当θ=0时,有

其中,μ1=

2 定理的证明

定理1的证明 利用引理中的估计(ii),对于

当(α+λ)(α+2λ)≠0时,有

于是

则式(4)可以写成

综上所述,本定理得证.

推论2的证明 当μ是实数时,由于

于是

当λ > -α/2,-∞ <μ≤(1-α)/2,或λ < -α/2,+∞>μ≥(1-α)/2时,

综合式(5)、(6),得

结论得证.

[1]FEKETE M,SZEGÖ G.Eine Bermrkung uberungerade schlichte funktionen[J].JLondon Math Soc,1933,8:85-89.

[2]LIU Mingsheng.On certain subclass of P-valent functions[J].Soochow Jof Math,2000,26(2):163-171.

[3]LIU Mingsheng.Properties for some subclasses of analytic functions[J].Bulletin of the Institute of Math Acdaemia Sinica,2002,30(1):9-26.

[4]郭栋,刘名生.关于解析函数类的Fekete-Szegö问题[J].华南师范大学学报:自然科学版,2007(2):33-38.

[5]NEHARIZ.Conformalmapping[M].New York:McGraw-Hill,1952:108.

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