数值分析课程教学探讨

李 娜

（德州学院，山东 德州 253023）

数值分析是一门与计算机使用密切结合的、实用性很强的课程。它内容丰富，涉及数学分析、代数、方程和泛函分析等诸多学科，研究方法深刻，有自身严密的科学系统。科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为实验和理论并列的一个不可缺少的环节［1］。所以数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其他学科的联系十分紧密。那么在平时的教学中，如何取得良好的教学效果呢？本文从以下几个方面进行探讨。

一、数值分析课程的教学特点

与其它纯数学理论课程相比，数值分析除了具备数学的高度抽象性与严密科学性的特点之外，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点。具体来说，这门课程具有以下的教学特点：

1.知识面跨度大［2］

数值分析是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的必修课程，它广泛运用多门数学学科的知识，内容包括数值逼近、数值积分、线性代数方程组的直接解法和迭代方法、非线性方程组的计算方法、矩阵特征值与特征向量的计算、常微分方程数值计算等，涉及数学分析、代数学、微分方程、泛函分析等众多数学理论。

2.有可靠的理论分析［2］

能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

3.注重理论与应用的结合

与传统数学课程强调理论分析和逻辑推导不同，数值分析课程更注重运用这些理论构造适合计算机执行的数值方法，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。数值分析主要研究那些在理论上有解而用手工无法计算、必需借助计算机求解的数学问题。它的许多理论与方法本身并不是数学学科的产物，而是以“计算”为目标发展起来的。

二、教学体会

针对数值分析课程的特点，笔者认为在教学中应注重以下几个方面：

1.教学方法上注重数值思想的传授

计算方法这门课程最主要阐述的思想就是“近似计算”的思想。在实际的计算过程中，有许多问题的计算量非常庞大，简单的笔算费时费力，借助计算机可以快速解决这些问题。但由于计算机本身位数的限制，以及其它误差影响，只能进行近似计算。

（1）“误差分析”思想。由于是近似计算，那么就存在一定的误差，所以在计算过程中要分析误差、控制误差和比较误差，只有控制好误差才能找到好的近似值。误差是衡量近似计算结果好坏的一个标准，例如，在求解线性方程组直接法时，通过误差分析可以确定方程组是病态的还是良态的，只有良态的方程组才能保证解的准确性。通过分析误差可以判断算法的稳定性、收敛性及收敛速度。由此可见误差分析是非常重要的。

（2）逼近和近似思想。函数逼近是数值分析方法中的主要内容之一，许多数值方法都依赖于函数逼近的思想。如，各种插值方法、数值微分和数值积分、微分方程数值解等等。函数逼近中常常采取的各种近似，利用插值函数对数值近似处理，让学生意识到数值分析课程不是在简单地做数学练习，而是在训练通过对原问题的分析，如何利用已有的数学知识和工具去逼近和近似原来问题的解。逼近和近似思想作为一种全新的思维方式，它使学生认识到：不能解析或精确求解问题并不可怕，可怕的是不会和不敢利用已学数学知识去近似、简化原来的问题，从而获得原来问题的近似解答。

（3）“离散化”思想［6］。把求连续变量问题转化为求离散变量问题，称为“离散化”。一个连续的数学问题要实现上机计算，必须先进行离散化。在工程计算中，常常需要求解连续性问题，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很难找到解析解，所以数值求解微分方程是计算方法中的一个重要的内容。数值求解微分方程并不是依靠计算机给出微分方程的解析形式，而是依靠它近似给出微分方程在指定点的函数值。在引人离散化思想对问题离散后，可以采用各种数值方法来求解各点函数的值。通过离散化思想，原来的连续性问题变成了一个离散问题。离散化思想是数值计算的一个基本思想，现有的数值计算，几乎完全依赖于对问题的离散化解决。离散方法一直是数值分析研究中一个很重要的方面。

（4）“迭代”思想［5］。迭代是计算机中重要的概念，也是数值分析方法中的重要的概念。在数学建模过程中，对结果可能性的猜测可以在很大程度上帮助我们在建模方向上进行选择，使我们少走许多弯路。由于迭代方法大都只有有限的收敛区间，所以如何利用已有的信息对解进行猜测是很重要的一点，这依赖于学生在实践中能够综合运用数学分析理论和各种方法的经验。许多连续问题在转化为离散问题后，利用迭代法可以求解离散问题。

2.多媒体课件与板书相结合的教学手段［3］

使用多媒体教学方法，能增大教学容量，提高教学效率，有利于解决重点和难点问题。多媒体教学可以在一定程度上突破时间和空间的限制，充实直观内容，能够较彻底地分解知识技能信息的复杂度，减少信息在大脑中从形象到抽象，再由抽象到形象的加工转换过程，充分传达教学意图，并可以通过计算机的丰富表现手段突出教学重点。如，龙格现象可以用屏幕动态的显示在哪个区间收敛，使用多媒体教学可以帮助教师在课堂上根据学生的信息反馈，进行现场分析和答疑，以人机对话方式灵活方便地进行启发式教学。同时，精彩的多媒体课件也能激发学生的兴趣，提高学生的主动性。

3.加强数值实验，培养学生解决实际问题的能力

上机实验课是数值分析区别于其他数学课的明显之处。上机课的目的主要在于培养学生的实践和编程能力，将课堂上学到的数值分析方法理论应用到具体的实例中，这是一个消化课堂上学习的知识点的过程。学生针对同一个问题可以尝试不同方法去解决，并且加以比较，以此来验证各种方法的优缺点。数值分析中的问题仅靠课堂教学、理论推导是很难讲明白的。可以安排一定的实验课，使学生在实际的计算过程中，通过画图或列表等比较的方式对课堂的知识加深理解。许多工程技术学科中的问题都需要利用数值分析课程的知识，如果能够让学生参与到解决实际问题的实践中，必将对数值分析课程的教学起到积极的推动作用。

4.在教学中融入数学建模的思想

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。在数学建模过程中，必然要有数学模型的求解，其中很多数学模型的求解要用到数值分析课程中所涉及的算法。比如，2009年全国大学生数学建模竞赛A题，其中有一步就要用到曲线拟合，如果上课时学生没有明白什么是曲线拟合，也不知道拟合可以用哪种方程，那么得到的模型不一定合理，导致事倍功半。所以在教学中融入数学建模的思想是十分必要的。实践证明，通过对《数值分析》的学习，大大加深了学生对课程内容的理解，也激发了学生学习的积极性和主动性，鼓励了部分优秀学生组成团队积极地参加建模竞赛［7］，确实提高了学生的开拓、创新能力。

三、结 语

爱因斯坦有句名言：“兴趣是最好的老师。”充分激发学生的学习兴趣是优化课堂教学的最根本、最有效的途径之一。所以，激发学生的学习兴趣，营造宽松的课堂气氛，是提高课堂效率的最佳方法。最后应制定合理的考核办法，督促学生学习，提高学生学习的积极性。同时，还可以督促学生去看一些参考书。由于数值分析涉及到的知识面很广，这也使得它的内容灵活多变。多看参考书是学好这门课程的重要一环。

［1］关治，陆金甫.数值分析基础［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［2］李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第4版）［M］.武汉：华中科技大学出版社，2006.

［3］宋松和，等.高等数值分析课程教学改革探讨［J］.高等教育研究学报，2008，31（4）：66-67.

［4］赵景军，吴勃英.关于《数值分析》教学的几点探讨［J］.大学数学，2005，21（3）：28-30.

［5］王晓锋，李静.计算方法课程教学探讨［J］.高师理科学刊，2007，27（6）：36.

［6］孙亮.数值分析方法课程的特点与思想［J］.工科数学，2002，18（1）：84-86.

［7］董立华.关于《数值分析》课程的教改实践［J］.德州学院学报，2007，23（6）：99-102.