数学建模思想融入高等数学教学的研究

程树林

数学建模思想融入高等数学教学的研究

程树林

高等数学是高等院校中非常重要的一门基础课程，由于学习方法的问题，很多学生认为这门课难学。针对这些问题，在高等数学的教学中融入数学建模方法，改进高数教学。

高等数学；数学建模思想；数学软件；结合实例

一、在数学概念讲解中融入数学建模思想

高等数学中的很多概念都是非常抽象的，比如极限、导数、定积分和积分等，大多院校部分专业，千篇一律讲授同样的数学理论。笔者主张分专业，结合实际讲授理论。比如在工科专业讲授极限定义时，找到与专业相关的一些模具，如圆环，讲解以多边形近似代替圆形。最早并没有出现圆形，人们就用正多边形去逼近圆形，发现边数越多，变长就越短，近似效果就越好。若用S表示圆面积，Sn表示圆内接正n边形的面积，显然，正多边形的边数n越多，正 边形的面积Sn就越接近于圆的面积S，当边数n无限增加时，正n边形的面积Sn就无限接近于圆的面积S。分析：Sn=1/2*R2*sin(2π/n)= πR2*sin(2π/n)/(2π/n)，当 n趋近于正无穷大时，Sn就无限接近于圆的面积S。上述分析中，Sn是n的函数，我们关注的焦点是当自变量n趋近于正无穷大这个“目标”时，函数Sn无限地接近于S。与之区分的是，同样的内容在经贸专业中可以用实例讲授极限定义：晚上，当你走在大街上，会发现你的影子时长时短，当你从任何方向走近路灯时，你的影子都会随着你与路灯距离的接近而越来越近，此现象反映到数学上就是极限。对于航空电子专业而言，由于该专业是与加拿大联合办学，学生毕业要去加拿大学习深造，所以在讲授极限定义时，要结合国外的讲课思路，我们首先选取几个有代表性的数列，通过研究数列极限的方法，得到函数极限的定义，同时所有内容使用中英结合的方式讲授。再如，讲述定积分概念时，在工科专业中我们大胆创新，将不定积分和定积分结合在一起将，同时给出不定积分与定积分的定义，让学生自己看出二者的不同，发现问题，所以在计算结果中自然不定积分得到的是全体原函数，而定积分得到的是一个数字。二者在计算方法上是极为相似的，我们正是从这一点出发，结合二者教学的。在经贸专业中，笔者在讲完导数和微分后，马上讲不定积分，让学生充分了解二者的互逆运算，并利用整体法模型，讲授第一换元法，而学好第一换元法是学习第二换元和分部积分的前提。

二、在定理公式证明中融入数学建模思想

高职院校高等数学课时有限，许多定理和公式都让学生直接记忆，造成学生很难理解，这样效果很不好。实际上，数学定义和定理都有它实际的自然背景或者间接的背景，经过抽象之后成为了定理.结合数学建模的思想方法，把定理的条件看作模型假设，根据预先设置的问题情景，引导学生逐步发现定理的结论，不但使学生学到知识，也让他们体验到探索、发现和创造的过程，让学生产生成就感，同时也让学生对数学产生兴趣.例如，在讲授两个重要极限时，工科专业可以从它的“0/0”，“1∞”的形式让学生自己分析极限类型，然后做出判断，再套用重要极限得出结果。但是对于经贸专业，学生我们就要对于这两个极限，先有规律的对x选取不同的值，直至x趋近于0通过计算软件得出结果，让学生观察结果的趋势，发现当x趋近于0时，sinx/x的结果是无限趋近于1的。先让学生表面上知道这个极限的趋势，然后提供给学生模型， 如 “上下一致”“内外一致”，“倒数关系”“符号一致”等口诀或窍门供学生记忆，在求极限时，可以利用口诀往模型里代，即可算出结果。同样，在航空电子专业加拿大班的教学中，我采用数学软件的方法进行极限计算，学生在学过笔算极限后，通过计算机计算，很快得到结果，这就使学生产生一种创造极限计算的思想，通过计算机，学生可以把平时困扰自己的一些特殊极限或较难极限，通过数学软件得到结果，同时学生会根据结果的类型，顺藤摸瓜，找到正确的求解方法，同样，这也构成一种数学学习模型。在求复合函数的导数中，公式提供给我们的是，先将复合函数进行分解，然后让每一部分都对中间变量进行求导，最后在一层一层的带回去，这样计算起来很麻烦.那我在教学过程中，先让学生熟记最基本最简单的求导公式，然后对于复合函数，只要求学生分清层数就行，让学生从最外层开始，一层一层求导，每求一层导数，都要把后面剩下的函数部分看成一个整体，每一层再相乘.这样不论多么复杂的复合函数，都可以在第一步中把所有要求的导数，都求出来，下一步整理好即可，这种方法我们称为整体模型替代法。就求解取边梯形面积为例，对不规则的图形进行划分，然后在局部用规则的图形近似代替不规则的图形，用规则的面积近似代替不规则的面积，这样再无穷的划分下去，结合极限就可以求出取边梯形整体的面积，从而引出定积分的定义.这种数型结合，从数学模型出发，引出数学概念的方法，不仅可以让学生先思考如何解决问题，还可以让学生更好的理解定积分的概念，从而理解不定积分与定积分的区别。

三、结合实际案例，培养学生建模能力

学生每学完一个知识点，做过一些相应的习题后，都应该结合实际问题，通过各种方法才解决贴近生活的各种问题，让学生体会到数学的乐趣和实用。例如，学完导数计算后，我在工科专业中讲解利用导数解决物理问题，如：设有每米重2kg的均匀杆，其一端用铰链固定于O点，而在离O点1m处，挂着100kg重的物体，问这杆应多长，才可以用最小的力把这重物举起来？这里设杆长为x(m)，所用的力F=F().对 O点取力矩，得 F()=100*1+2x*x/2，即 F=F()=100/x+x (1〈x〈+∞).由于杆本身具有一定的质量，因此，太长或太短，所用的力都不会最小，这里我们对F()求导，的到其导数为-100/(x2)+1，令导为零，得驻点x=10，,x=-10（舍去），又因为将 x=10 带入 F（x）二阶导数时，使其大于零，即F=F()在点x=10处取得极小值,即为最小值.因此，当杆长为10m时，所用的力为最小.

而我在经贸专业中讲解一些导数的经济应用问题，如：已知某产品的成本函数和价格函数分别为C(x)=50+2x，P(x)=10-x/5，问生产量为多少时，利润达到最大？这里，由所给成本函数和价格函数我们首先能够得到总收入函数R(x)=xP(x)=10x-x2/5，然后得到利润函数L(x)=R(x)-C(x)=8x-x2/5-50，对其求导数得L(x)的导数为8-2x/5，令导数为零，得x=20，进而计算L(x)的二阶导数，将x=20代人L(x)的二阶导数，得到其值小于零，所以得到当生产量为20单位时，利润达到最大。

四、构建兴趣小组，塑造良好学风

大学数学教学课堂教学时间十分有限，但数学建模所需要的知识又非常丰富，如果想让学生透彻了解并掌握知识点，就需要引导学生进行有效的课后练习，锻炼学生的数学建模能力。根据不同专业，组织数学建模兴趣小组，如在工科专业中，将实际问题转化为数学问题，让学生分组讨论，得到不同的思考方式和结果。通过鉴别方法优势比较。同时在计算时，笔者让学生利用数学软件求解数学问题，锻炼学生建立数学模型进行求解的能力。而对经贸专业学生，根据相关企业生产数据，让学生分为讨论成本小组，讨论收入小组和讨论利润小组。通过计算机模拟，分组建立相应数学模型，得到各自的结论。再将三个小组合并在一起，成为一个整体，从而解决了实际问题，教师在其中起到牵线搭桥，贯穿始末的作用。

五、高等数学融入数学建模的常见问题

在高等数学具体教学中，需要注意几个问题：（1）对任课教师的要求。教师与其他专业领域接触的机会很少，更不了解其他专业的学习和发展情况，这就在结合实例教学时产生很大的困难，有的题目与本专业的联系不够，有的题目选取的又不得当，所以我们经常到相关专业去请教，去学习，把最适合学生的题目，最能促进学习进步的学习方法传授给学生。（2）将数学建模问题融入到高等数学的教学中要求任课教师具备解决实际问题的能力，教师应具备应用数学决绝实际问题的能力，这就要求我们教师的知识面要广泛。此外，还应掌握Mathematica、Matlab等数学软件，能够将其运用于高等数学的教学中。（3）在授课过程中，教师要把握好进度和时机，根据课程的教学进展情况和学生的掌握程度，适时的选取建模案例，让学生从建模问题中了解高等数学的具体应用，彻底的学以致用，掌握相关知识点。

[1]贾晓峰.微积分与数学模型[M].高等教育出版社，2008.

[2]施宁清.将数学建模的思想和方法融入高等数学的实验与研究[J].教育与职业，2010(9).

[3]杨徐昕，莫晓云.数学建模与素质教育[J].当代教育论坛：学科教育研究，2007（3）.

G642.0

A

1673-1999（2012）06-0180-02

程树林（1984-），男,天津人,天津开发区职业技术学院（天津300457）基础部助教。

2012-01-11