微积分中值定理“中间点”渐进性的统一

杜争光

（陇南师范高等专科学校 数学系，成县742500）

1 主要引理

在微分中值定理和积分中值定理中，“中间点”渐进性的研究，引起了广大数学工作者的广泛兴趣和积极研究，并取得了一些重要结果（见文献［1］－［8］）.

文献［1］对微分中值定理和积分中值定理进行了统一和推广，本文讨论统一后的微积分中值定理“中间点”的渐进性，并对已有的“中间点”渐进性结果进行统一和推广.

为叙述和讨论方便，现将统一后的微积分中值定理及文中需要的一些中值定理引述如下：

引理1［1］若函数f（x）和g（x）在a的某一邻域U（a）内满足条件：

（1）n阶导数连续；

（2）n＋1阶导数存在；

（3）∀x∈U（a），g（n＋1）（x）≠0.

则对∀b∈U0（a），至少存在一点ξ在a与b之间，使得

（Cauchy中值定理）若函数f（x）和g（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且∀x∈（a，b），g′（x）≠0.则至少存在一点ξ∈（a，b），使得

（积分型Cauchy中值定理）若函数f（x）和g（x）满足在闭区间［a，b］上连续，且 ∀x∈ （a，b），g（x）≠0.则至少存在一点ξ∈ （a，b），使得（Lagrange中值定理）若函数f（x）满足下列条件：

（1）在闭区间［a，b］连续；

（2）在开区间（a，b）可导.

（Taylor中值定理）若函数f（x）在a的某一邻域U（a）内存在n＋1阶导数，则∀x∈（a），在a与x之间至少存在一点ξ，使

（积分第一中值定理）若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则至少存在一点ξ∈ ［a，b］，使得

（推广的积分第一中值定理）若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，g（x）在闭区间［a，b］上可积，且不变 号，则 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ［a，b］，使 得

（积分第二中值定理）设函数g（x）在［a，b］可积，函数f（x）单调，且f（x）≥0，则 ∃η∈ ［a，b］，使得

2 主要结果

即（2）式成立，同理可证（3）式成立.

，ξ是由（1）式所确定的“中间点”，则

基于以上的定理，就有以下的推论：

证明 在（11）式中，令β＝0，m ＝1即得.

证明 在（11）中，令β＝0，m ＝1即得.

证明 在（11）中，令m ＝1即得.

证明 在（11）式中，令β＝0，m ＝1，α ＝n即得.

证明 在（11）式中，令β＝0，α＝p ，m＝n即得.

证明 在（11）中，令m＝1，β＝0即得.

证明 在（11）中，令m＝0，β＝p＋1，α＝p＋q＋1即得.

推论8［8］，［9］设函数f（t）在［a，x］可导，单调，且f（t）不是常数，g（t）在［a，x］连续且不变号，η是由积分第二中值定理（8）所确定的“中间点”，则

证明 在（11）中，令m＝1，β＝0，α＝1即得（1），令m＝n，β＝0，α＝1即得（2）.

从以上的推论可以看出，（11）式不仅将微分中值定理和积分中值定理“中间点”的渐进性进行了很好的统一，而且将微分中值定理和积分中值定理“中间点”的渐进性已有的结果进行了推广.

［1］ 杜争光.微积分中值定理的统一与推广［J］.荆楚理工学院学报，2011，26（2）：34－36.

［2］ 程希旺.微分中值定理中值点渐进性研究的新进展［J］.数学的实践与认识，2010，39（14）：229－233.

［3］ 刘文武，严中权.积分型Cauchy中值定理中间点的渐进性［J］.数学的实 践与认识，2010，40（11）：228－231..

［4］ 戴立辉.微积分中值定理的变化趋势［J］.工科数学，1994，10（4）：178－181.

［5］ 孙千高.Taylor展开式在“中值点”渐进性中的应用［J］.宝鸡文理学院学报，2005，25（3）：176－177.

［6］ 张素玲.积分第一中值定理中间点渐进性定理及等价性定理的证明［J］.焦作大学学报，2008，（3）：60－61.

［7］ 宋文青，刘绍庆.积分中值定理的“中值点”渐进性中分析［J］.山东师范大学学报，2005，20（1）：90－91.

［8］ 杜争光.积分第二中值定理“中间点”的分析性质［J］.大学数学，2010，26（3）：155－160.

［9］ 杜争光.积分第二中值定理“中点函数”的解析式［J］.湖南工程学院学报，2011，21（4）：44－45，62.