等价鞅测度模型在欧式认股权证定价中的应用

张凯凡

（湖北工业大学 理学院，武汉 430068）

认股权证是国际证券市场上流行的一种初级的股票衍生产品.认股权证是授予持有人一项权利，在到期日前（也可能有其它附加条款）以行使价购买公司发行的新股（或者是库藏的股票）.认股权证往往被视为现货市场产品，因为其买卖方式类似股票，而非期权和期货等衍生产品.不过认股权证同时具备衍生产品的许多特点，可以作为一种非常好的杠杆投资工具等.但是有关认股权证的研究较少，并且多集中在认股权证的市场价格的统计分析描述.本文从Black－Scholes［1]模型出发利用等价鞅测度定理得到了欧式认股权证定价的一般公式.

1 模型与定义

1.1 理想模型

1）金融市场为有效的稳定市场，分为无风险资产和风险资产两种，前者一般称为债券，后者称为股票，它们分别满足下式

其中，St表示股票在t时刻的价格，Bt表示债券，μ表示股票的期望收益率，r为无风险利率，σ表示波动率，μ、σ、r均为常数，dWPt表示布朗运动在概率测度P下的t时刻的瞬间增量.

2）股票在期权持有期内无红利支付.

3）股票交易连续进行，不存在交易费用及交易税.

1.2 定义

设（Ω，F，P）是一概率空间，Fn是F 的完备子σ－代数的一个增加族，满足F＝∨nFn，其中F0＝｛φ，Ω｝，P是风险概率测度，（WPt，0≤t≤T）是概率空间上的一维标准布朗运动，Ft是由WPt生成的σ－代数.

定义如果测度Q满足

定理1 在测度Q下，股票价格的动态过程为

证明 股票的价格过程满足（1）式，应用ltô定理，有

进而求得在测度P下，股票价格的动态过程为

其中E（·）为在测度P下的数学期望，PQ（·）为在测度Q下的概率，IA为A的示性函数，将式（5）代入式（3），得到

所以在测度Q下，有

2 主要结果

考虑一般性的定价问题：设某上市公司拥有x股已发行的流通股票，有y份流通的认股权证，且认股权证的持有者在时刻T可以以每股X的执行价格从该公司购买z股的股票，用W 表示每份认股权证现在时刻（T＝0）的价值，用V表示该公司现在时刻的权益价值.

定理3 在上述条件下，认股权证现在（T＝0时刻）的价格为

证明 设T时刻认股权证被执行，此时执行价格为yzX，因此公司权益价值为VT＋yzX.股票总股数变为x＋yz，那么T时刻的瞬间股票价格为

这时，认股权证持有者就会获得收入为

其中，σ表示公司权益价值的波动率.

且有

用P表示风险中性概率测度，则有

于是

显然

在测度P下，标的资产G的随机动态过程为

通过类似的方法，可以得到

其中

因此，定价公式（8）化为

从而认股权证的定价公式为

3 结 语

对股权证价格W 的定价公式（7）中的波动率的计算，可以通过计算变化的波动率，这里X是认股权证的市场价格.基于股票价格和认股权证价格的历史数据，可以采用时间序列模型中的历史波动率的计算方法.在以上基本公式中，对其基本假设进行修正，可以得到一些应用于特殊情况的权证定价公式，如附保底条款的鞅定价模型、公司发放红利的定价模型以及随机利率下认股权证的定价模型等.和股票期权（Zhu Yonggang.Applications of Martingale Methods in Stock Index Option.Recent Advance in Statistic Application and Related Areas，2010－07.）一样，认股权证是一种以小博大的金融工具，对投资者很有吸引力，按照资本市场的理论，收益越大，风险也越大.如何控制认股权证的价格风险，还有待于继续研究.

［1]Black F，Scholes M.The Pricing of Options Corporate Liabilities［J].Journal of Political Economy，1973，81（3）：637－659.

［2]孔繁亮.B值渐近鞅的强弱大数定律［J].数学学报，1998，41（3）：667－672.

［3]Martin B.Finacial Calculus［M].England：Cambridge University Press，1997.