空间三关节机器人自适应双模糊滑模控制

胡盛斌，陆敏恂

（1.同济大学 机械工程学院，上海201804；2.上海工程技术大学 航空运输学院，上海201620）

机器人系统是一个复杂的多输入多输出非线性系统，具有时变、强耦合和非线性动力学特性，其控制非常复杂.滑模控制本质上是一类特殊的非线性控制，因具有强鲁棒性而成为一种有效的控制方法［1］.模糊控制不需要被控对象的数学模型，能充分应用控制专家的知识，并具有较好的鲁棒性，在相关控制领域表现出较多的优势.模糊滑模控制结合了模糊控制和滑模控制的优点，是目前滑模控制方面的研究热点，并广泛应用于机器人、飞行器、伺服系统等领域中［2－8］.文献［6］提出了一种模糊滑模控制方法，该方法结合了传统滑模控制和模糊控制的优点，提高了系统的性能.文献［7］针对多输入多输出非线性系统，提出了一种自适应模糊终端滑模控制方法，模糊控制用于有效减弱抖振和提高控制性能.文献［8］针对空间三关节机器人轨迹跟踪控制，提出了一种双模糊滑模控制方法，采用2个模糊控制器根据跟踪误差分别调整切换增益和滑模面的斜率，从而提高了控制性能.

本文在此研究的基础上，提出了一种带双模糊自适应控制的滑模控制新方法.该方法将滑模控制器分为等效控制和切换控制两部分.采用一个模糊自适应控制器，根据滑模到达条件对切换增益进行有效估计.采用另一个模糊自适应控制器，根据滑模面来调整切换控制项.与文献［8］所设计的双模糊滑模控制方法相比，本文所设计的方法缩短了调整时间，提高了控制精度和鲁棒性.

1 空间三关节机器人动力学模型

空间三关节机器人如图1所示，利用拉各朗日方法，可求出其动力学模型如下［9］：

图1 空间三关节机器人Fig.1 Three－links spatial robot

其中，

式中：H（q）为机器人的惯性矩阵；C（q，）为机器人的离心力和哥氏力构成的矩阵；G（q）为重力项构成的矩阵；F）表示摩擦力项构成的矩阵；τ为控制力矩构成的矩阵；τd为建模误差和外加扰动等不确定项组成的矩阵；qi为第i杆的角位移；mi，li分别为第i杆的质量和杆长；（0，－r1，0），（－r2，0，0），（－r3，0，0）分别为杆l1，l2，l3在各自坐标系中的质心坐标；I1y，I2z，I3z为杆l1，l2，l3关于坐标轴Y1，Z2，Z3的转动惯量；τ1，τ2和τ3分别为施加在杆l1，l2，l3上的控制力矩.

2 自适应双模糊滑模控制

2.1 滑模控制

机器人轨迹跟踪的控制目标就是要求关节角位移向量q尽可能好地跟踪指令关节角位移向量qd.定义跟踪误差为

设计滑模面为

式中：qd＝［qd1qd2qd3］T；Λ＝diag（λ1，λ2，λ3）为正的对角矩阵，λi＞0，i＝1，2，3.

通过取＝0，同时令式（1）中τd＝0，可得

可推出等效控制部分为

为补偿建模误差和外界干扰作用等不确定项，同时满足滑模到达条件≤－ki｜si｜，需要设计切换控制部分为

式中，K＝diag（k1，k2，k3），ki为切换控制部分的增益，ki＞0，i＝1，2，3.

由等效控制部分和切换控制部分可组成滑模控制器

2.2 切换增益的模糊控制

在滑模控制器（7）中，切换增益ki值是造成抖振的主要原因.ki用于补偿建模误差和外界干扰作用等不确定项，以保证滑模存在性条件得到满足.如果ki随着建模误差和外界干扰作用等不确定项的变化而变化，则可以降低抖振和减小系统稳态误差.

本文采用模糊推理来建立ki值的调整方法，具体模糊规则如下［10］：如果＞0，则ki值应增大；如果＜0，则ki值应减小.

定义如下模糊集：

式中：NB为负大，NM负中，NS负小，ZO为零，PS为正小，PM正中，PB正大.模糊系统输入量的隶属度函数如图2a所示，输出量的隶属度函数如图2b所示.

具体的模糊规则为：

规则1，若为NB，则Δki为NB；

规则2，若为NM，则Δki为NM；

规则3，若为NS，则Δki为NS；

规则4，若为ZO，则Δki为ZO；

规则5，若为PS，则Δki为PS；

规则6，若为PM，则Δki为PM；

规则7，若为PB，则Δki为PB.

利用积分的方法对Δki的上界进行估计

其中，wi为调整系数，wi＞0，i＝1，2，3，则

其中，η＝diag（η1，η2，η3）为正的调整系数对角阵，ηi＞0，i＝1，2，3.

则切换控制器设计为

则模糊滑模控制器为

2.3 切换项的模糊控制

为了进一步减弱抖振，优化系统性能，根据滑模控制的原理，针对控制律（11），对切换项进行模糊调整，规则如下［10］：

若si为ZO，则τi为τeqi；

若si为 NZ，则τi为τeqi＋.

定义如下模糊集：

其中，μNZ＝diag（μNZ1μNZ2μNZ3），模糊集N，ZO和P分别表示为负、零和正.模糊系统输入量的隶属度函数如图2c所示，输出量的隶属度函数如图2d所示.

则具体的模糊规则为：

规则1，若si为N，则μNZi为P；

规则2，若si为ZO，则μNZi为ZO；

规则3，若si为P，则μNZi为P.

采用反模糊化方法，针对控制律（11），则模糊控制器设计为

当μNZi（si）＝1时，则τi＝τeqi＋，此时控制律采用前面的模糊滑模控制律（11）.

当μNZi（si）≠1时，通过隶属函数μNZi（si）的变化来实现消弱抖振，则τi＝τeqi＋（μNZi＋εi），即采用如下双模糊滑模控制律：

其中，ε＝diag（ε1，ε2，ε3）为正的调整系数对角阵，εi＞0，i＝1，2，3.

整个控制系统的结构如图3所示.

图3 双模糊滑模控制系统结构图Fig.3 The structure block diagram of double fuzzy sliding mode control system

2.4 稳定性分析

先作如下定义：对于一般实值函数V（x），如果V（0）＝0，且对x≠0有V（x）＞0，则称V（x）是正定的；如果V（0）＝0，且对x≠0有V（x）≥0，则称V（x）是半正定的；如果V（0）＝0，且对x≠0有V（x）＜0，则称V（x）是负定的；如果V（0）＝0，且对x≠0有V（x）≤0，则称V（x）是半负定的.

李亚普诺夫稳定性判别定理［11］：如果有一连续可微正定函数V（x），其导数（x）是半负定的，则原点是稳定的，其导数（x）是负定的，则原点是渐近稳定的.

自适应双模糊滑模控制稳定性证明，取李雅普诺夫函数为

显然V（0）＝0，且对s≠0有V（s）＞0，则

将式（14）代入式（16）得

根据上面的双模糊滑模控制设计可知，μNZi｜｜为不确定项（H－1τd）i的逼近，其中，记（H－1τd）i表示向量H－1τd中第i个元素，下同.由模糊系统万能逼近定理可知［12］，存在βi＞0，有

记为对角矩阵的第i个对角元素，下同，则，＝＋ηi，得

由模糊设计规则可保证μNZi≥0，且由已知条件有≥0，εi｜｜≥0，当取εiηi＞βi，则可保证

由式（17）和式（19）可得V·（s）≤0.

由李亚普诺夫稳定性判别定理可得系统是稳定的.

3 仿真实验

空间三关节机器人的物理参数如下：l2＝0.3 m，l3＝0.3m，r2＝0.15m，r3＝0.15m，m2＝9.032 kg，m3＝9.032kg，I1y＝0.059kg·m2，I2z＝0.104 kg·m2，I3z＝0.104kg·m2，g＝9.8m·s－2.

期望的跟踪轨迹为：qd1＝sin 2t，qd2＝cos 2t，qd3＝sin 2t.

初始条件为：q＝［1，0，1］T，＝［0，0，0］T.

假设建模误差和外界干扰作用等不确定项可以表示为如下高斯扰动函数：

其中，扰动的大小由参数ai确定，ai越大，扰动越大.参数ci表征扰动的中心，参数bi表征扰动作用的时间范围大小.

在仿真过程中，考虑到3个关节的不确定项不一样，对三关节机器人按照物理参数进行估算，确定一般扰动参数为：ci＝4，bi＝0.01，a1＝2.4，a2＝6，a3＝1.8.

为便于控制方法对比分析，需要加大扰动.大扰动的参数设置为：ci＝4，bi＝0.01，a1＝40，a2＝120，a3＝20.

滑模控制SMC（sliding mode control）的参数设置为：Λ＝diag（4，4，4），K＝diag（30，30，30）.

模糊滑模控制FSMC（fuzzy sliding mode control）的参数设置为：Λ＝diag（4，4，4），w1＝w2＝w3＝120，η＝diag（0.001，0.001，0.001）.

双模糊滑模控制DFSMC（double fuzzy sliding mode control）的参数设置为：Λ＝diag（4，4，4），w1＝w2＝w3＝120，η＝diag（0.001，0.001，0.001），ε＝diag（0.000 2，0.000 2，0.000 2）.

为方便说明本文所设计的控制方法的有效性，采用传统反馈线性化控制方法和文献［8］中所设计的相关双模糊滑模控制方法作对比分析.

传统反馈线性化控制方法的控制器设计为

其中参数：p1＝30，p2＝11.反馈线性化控制方法的详细情况可参考文献［11］.

另一用于对照分析的相关双模糊滑模控制方法的详细设计情况可参考文献［8］.

在MATLAB R2009a中编写程序进行仿真实验.仿真结果如图4—7所示.图4为一般滑模控制的仿真结果.图5为模糊滑模控制的仿真结果.图6为双模糊滑模控制的仿真结果.图7为大扰动情况下，本文所设计的双模糊滑模控制，一般传统反馈线性化控制和文献［8］所设计的双模糊滑模控制3种方法的仿真结果对比图.

比较图4、图5和图6可知，一般滑模控制、模糊滑模控制、双模糊滑模控制3种控制方法都实现了空间三关节机器人的轨迹跟踪，控制输入也均在合理范围.通过查看计算数据可知，3种控制方法的稳态误差均在10－4rad的数量级以内，调整时间（按误差允许范围2%计算）也均在1.5s左右，因而3种方法在稳态误差和调整时间上差距不大.但是，3种控制方法所产生的抖振差距很大，分别对应比较图4、图5和图6的b，d，f图，很容易看出模糊滑模控制较明显减弱了抖振，双模糊滑模控制则进一步消除了抖振，说明所设计的双模糊滑模控制方法较好地实现了消除抖振.

比较图6和图7中本文所设计的双模糊滑模控制方法，可以看出，当加大扰动时，本文双模糊滑模控制方法的稳态误差变化不大，表现出较强的鲁棒性.从图7可以看出，在调整时间方面，文献［8］控制方法的调整时间较长，反馈线性化控制方法和本文控制方法的调整时间较短；在控制误差方面，在大扰动情况下，反馈线性化控制方法的控制误差较大，几乎不能满足控制精度要求，文献［8］控制方法的控制误差较小，本文控制方法的控制误差更小，表现出更好的鲁棒性；在控制力矩方面，反馈线性化控制方法和本文控制方法比文献［8］控制方法更合理一些.通过比较分析可知本文所提出的控制方法具有更好的控制性能.

4 结论

本文对带有建模误差、外界干扰等不确定项的空间三关节机器人的轨迹跟踪控制，提出了一种自适应双模糊滑模控制新方法.通过仿真实验和对比分析可知，该方法具有良好的控制性能.

（1）本文所设计的控制方法较好地消除了传统滑模控制的抖振.

（2）与传统的反馈线性化控制方法比较，本文所设计的方法具有较强的鲁棒性.

（3）与文献［8］所设计的同类双模糊滑模控制方法相比，本文所设计的控制方法调整时间短，稳态误差小，控制力矩合理，鲁棒性好，表现出更好的控制性能.

本文所设计的控制方法对已知运动路径的机器人系统，如焊接机器人、装配机器人等具有快速、实时和高精度的特点.该方法同样适用于其他类似的多输入、多输出的非线性控制系统.

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