函数极值法求解三频GNSS最优载波相位组合观测量

李金龙，杨元喜，何海波，徐君毅，郭海荣

1.信息工程大学 地理空间信息学院，河南 郑州 450052；2.西安测绘研究所，陕西 西安 710054；3.北京环球信息应用开发中心，北京 100094

1 引 言

利用全球卫星导航系统（GNSS）多频载波相位观测量间误差的相关性，构造多频载波相位观测量的线性组合，形成具有长波长、弱电离层延迟影响以及小噪声等优良特性的载波相位组合观测量，可以提高整周模糊度解算的成功率和周跳探测与修复的可靠性［1－2］。不同的线性组合系数，对应不同的载波相位组合观测量波长、电离层延迟影响以及噪声特性，进而对应不同的整周模糊度解算和周跳修复成功率。文献［3］系统地研究了双频组合观测量的定义及误差特性，并利用GPS双频相位组合观测量来提高模糊度函数法的计算效率和可靠性。文献［4］研究了GALILEO四频整系数相位组合观测量的一般定义，并对有关的误差影响进行分析，然后根据一定的组合标准给出了一些具有特定性能的相位组合观测量并分析其可能的应用。文献［5］系统地研究了GPS和GALILEO三频相位组合观测量在模糊度解算和提高定位精度方面可能带来的优势。此外还有一些学者研究了三频相位组合观测量在模糊度解算［2，6－8］、周跳探测与修复和粗差检测等方面的 应用［9－11］。 然 而 目 前 文 献 中 主 要 采 用 搜 索法［2－5，8－12］，基于一 定 的 准 则 来 筛 选 最 优 线 性 组 合系数。这样做虽然简单可行，却难以系统分析组合观测量误差影响特性随线性组合系数的变化规律。文献［13］系统研究了现代化后GPS三频整系数组合观测量的选取问题，发现线性组合系数之和与GPS三频载波相位组合观测量误差特性密切相关，并通过解整数线性方程来求解最优相位组合观测量，然而其最优载波相位组合求解方法无法扩展到北斗系统。本文通过构建三频载波相位组合观测量线性组合系数与波长、电离层延迟影响系数以及线性组合系数之和之间的函数关系，提出基于函数极值法求解特定波长和电离层延迟影响条件下的噪声最优线性组合系数，并利用本文方法求解GPS和北斗三频最优载波相位组合观测量，验证了方法的有效性。

2 GNSS三频载波相位组合观测量

假设GNSS 3个载波频率可分别表示为f1＝n1f0、f2＝n2f0和f3＝n3f0，f0为基准频率，n1、n2和n3为互质正整数（如GPS：f0＝10.23MHz，n1＝154，n2＝120，n3＝115；北斗［14］：f0＝2.046MHz，n1＝763，n2＝620，n3＝590），则以周为单位的三频载波相位组合观测量可表示如下［12－13］

式中，ρ为卫星至接收机的几何距离（包含卫星钟差、接收机钟差和对流层延迟误差等与频率无关的误差）；K1／f21为频率f1上的一阶电离层延迟误差；λijk、κijk、Nijk和εijk分别为φijk的等效波长、以米为单位的电离层延迟影响系数、组合模糊度和以周为单位的组合观测噪声，且λijk＝c／fijk，κijk＝μijkλijk，φijk＝iφ1＋jφ2＋kφ3，Nijk＝iN1＋jN2＋kN3，εijk＝iε1＋jε2＋kε3。其中，c为真空中的光速；φm、Nm和εm分别为fm（m＝1，2，3）上以周为单位的载波相位观测量、非差模糊度和以周为单位的测量噪声；fijk和μijk分别为φijk的频率和以周为单位的电离层延迟影响系数，且fijk和μijk的表达式为［12－13］

式中，λ1＝c／f1为频率f1对应的波长。假设3个原始载波相位观测量统计不相关，且以周为单位的测量噪声标准差均为σε，则φijk的以周为单位的噪声标准差为［12－13］

对于整周模糊度解算和周跳探测与修复等问题，一般要求载波相位组合观测量满足如下4个条件［15］：① 组合模糊度具有整周特性，即i、j、k均在整数域取值；② 具有较长波长，即fijk较小；③ 以周为单位的电离层延迟影响系数较小，即μijk较小；④ 以周为单位的组合观测噪声较小，即Tijk较小。根据式（2）和式（3），上述4个条件等价于如下表达式

式中，Z为整数集；α、β和γ为特定阈值。根据实际应用需求具体设定式（4）中α、β和γ值，则由条件④可得i、j、k取值范围为［－γ，γ］［9］。在此范围内根据条件（2）和（3）进行搜索即可得到满足条件的线性组合系数i、j、k。这种方法虽然简单可行，但不能揭示组合观测量误差特性随线性组合系数变化的规律性，不利于对线性组合系数进行系统分类。

3 构建线性组合系数集

三频载波相位观测量可组成无穷多的线性组合，为了搜索噪声放大系数最小的最优线性组合系数，首先需要构建具有特定波长和电离层延迟影响系数的线性组合系数集。由于i、j、k在整数域取值，根据式（4）中条件（b）和（c），由整系数线性方程解存在理论可知［16］

式中，gcd（·）为最大公约数算子；Lijk和Iijk为由线性组合系数决定的特定整数，随着线性组合系数取值在整数域变化，Lijk和Iijk可取到任意整数值。由式（5）可知，Lijk和Iijk均为线性组合系数i、j、k的整数线性变换值，可定义Lijk和Iijk分别为φijk的巷数和电离层数［13，17］。由于n1、n2和n3为互质 正 整 数，即 有gcd（n1，n2，n3）＝1，从 而 由式（2）和式（5）可得

式中，λ0＝c／f0为基准频率f0对应的波长；Qijk为以周为单位的电离层延迟放大系数。从式（6）可知，Lijk和Iijk表征了φijk波长和电离层延迟影响系数的大小，当Lijk＝1时，可得GNSS三频整系数载波相位组合观测量的最大有效波长为基准频率f0对应的波长λ0，如GPS为29.3m，北斗为146.5m；而Iijk＝0则表示无电离层延迟载波相位组合观测量。

不过对于特定的Lijk和Iijk，线性组合系数i、j、k有无穷多组，即仅以Lijk和Iijk不足以唯一确定线性组合系数。考虑到线性组合系数之和Sijk与载波相位组合观测量的误差特性密切相关［13，17］，于是定义线性组合系数i、j、k的第3个整数线性变换为

从而由式（5）和式（7）可得

式中，Z为整数变换矩阵；c＝［ijk］T。若矩阵Z的行列式detZ≠0，由式（8）可得

式中，Z＊为矩阵Z的伴随矩阵，列向量l、i、s分别表示矩阵Z＊的第1、第2、第3列。从式（9）可知，若detZ＝±1，由于Z＊为整数矩阵，则c与cz存在一一对应关系，即任意给定Sijk值，由式（9）均可直接解得具有特定Lijk和Iijk的线性组合系数；若detZ≠±1，则对于特定Lijk和Iijk，Sijk取值应确保根据式（9）解得的线性组合系数为整数。由此，随着线性组合系数之和Sijk取值在整数域变化，由式（9）可获得具有特定Lijk和Iijk的线性组合系数集。

4 基于函数极值法求解最优线性组合系数

基于具有特定波长（Lijk）和电离层延迟影响系数（Iijk）的线性组合系数集，可通过函数极值法求解噪声放大系数Tijk最优的线性组合系数。令h＝lLijk＋iIijk，由式（9）可得

将上式对Sijk求导，并令导数值等于零可得

设定round（）为就近取整算子，则round）即为在特定Lijk和Iijk下使噪声放大系数Tijk最小的Sijk。如果detZ≠±1，则round）应为满足由式（9）解得的线性组合系数为整数且与最接近的整数值Sijk。将所得Sijk代入式（9）即可获得特定波长和电离层延迟影响系数下的噪声最优线性组合系数。由式（11），根据GPS和北斗相应的载波频率值有

由于上式中Lijk的系数较小，当Lijk取值较小（波长较大）时有

根据式（14）可知，对于波长较长且以周为单位噪声放大系数较小的载波相位组合观测量，其以周为单位的电离层延迟放大系数随线性组合系数之和的增大而增大，约为线性组合系数之和的2.3倍。此外，式（11）可变换为如下形式

式（15）即为线性组合系数之和Sijk取特定值时，噪声放大系数Tijk最小的线性组合系数其相应巷数Lijk与电离层数Iijk之间应满足的关系式。根据式（15）可以在Lijk、Iijk（Qijk）平面内绘出对应于不同Sijk值的最小噪声轴。对于GPS和北斗，Lijk、Iijk（Qijk）平面内Sijk＝0、±1、2时的最小噪声轴见图1和图2（由于GPS和北斗基准频率为5倍关系，故图1和图2中横坐标取值范围不同，并综合考虑波长和电离层延迟放大系数大小确定横纵坐标取值范围）。

图1 GPS最小噪声轴分布图Fig.1 Location of GPS minimal noise axes

图2 北斗最小噪声轴分布图Fig.2 Location of BeiDou minimal noise axes

从图1和图2同样可以看出：GPS和北斗三频载波相位组合观测量中，具有长波长（Lijk取值较小）且噪声较小的超宽巷组合（GPS：1≤Lijk≤10，北斗：1≤Lijk≤50），其以周为单位的电离层延迟放大系数随线性组合系数之和的增大而增大；而具有弱电离层影响（Qijk取值较小）且噪声较小的载波相位组合观测量，其波长随线性组合系数之和的增大而减小。因此，噪声较小和以周为单位的电离层延迟放大系数较小的最优（波长尽量大）窄巷组合（GPS：Lijk＞154，北斗：Lijk＞763），其线性组合系数之和宜为1。

5 计算与分析

为验证本文方法的正确性，利用GPS和北斗3个载波频率值，基于本文方法搜索相应的载波相位组合。由于篇幅限制，此处只给出北斗最优载波相位组合的搜索结果：以1≤Lijk≤50，｜Qijk｜＜5，Tijk≤15为条件，根据式（11）和式（9）搜索得到的北斗超宽巷（λ≥2.93m）见表1；以1200≤Lijk≤1500，｜Qijk｜＜0.3，Tijk≤10为条件，根据式（11）和式（9）搜索得到北斗窄巷组合（λ＜0.19m）见表2（为方便对比，将f1上的原始载波相位观测量也列于表2中）。

分析比较以上计算结果可知：

（1）表1中列出的超宽巷组合以周为单位的电离层延迟放大系数均为线性组合系数之和的2.3倍左右，验证了前文分析结论。对于线性组合系数之和等于0的超宽巷组合，其以周为单位的电离层延迟影响系数和噪声放大系数均较小，适合于解算中长基线模糊度和探测与修复低采样率数据的周跳，如北斗组合（－1，6，－5）、（1，－5，4）、（0，1，－1）和（－1，7，－6），分米级的电离层延迟误差对其模糊度解算的影响均小于0.1周。而对于线性组合系数之和不等于0的超宽巷组合，厘米级的电离层延迟误差对其模糊度解算的影响就大于0.1周，因此只适合于解算短基线模糊度和探测与修复高采样率数据的周跳。

表1 北斗的超宽巷组合Tab.1 The extra－wide－lane combinations for BeiDou

续表1

表2 北斗Sijk＝1时的窄巷组合Tab.2 The narrow－lane combinations for BeiDou（Compass）when Sijk＝1

（2）表2中北斗窄巷组合（4，2，－5）和（5，－3，－1）的电离层延迟影响系数非常小，米级的电离层延迟误差对其模糊度解算的影响小于0.1周，对其定位解算影响也小于1cm，且波长大于10cm，故适用于中长基线几何模式模糊度解算和精密定位。

为验证上述结论，将表1中所有的相位组合应用于伪距相位组合法探测三频非差观测数据周跳。由于伪距相位组合周跳探测对数据采样间隔的敏感程度主要取决于相应相位组合的电离层延迟影响［10］，因此通过对比不同相位组合与同一伪距观测量构造的伪距相位组合的周跳探测性能，即可验证相应相位组合是否适合于低采样率数据的周跳探测。试验数据为2010年6月28日于北京收集的一组北斗卫星的三频静态数据，采样间隔为1s，观测时段为4h。原始观测数据中不包含周跳，试验中每600s模拟一个组合周跳值仅为1周的小周跳，并通过删除数据的方法分别进行了1s、30s、60s、120s、300s及600s共6种采样间隔的周跳探测与修复试验。图3和图4分别是采样间隔为1s和600s时表1中各相位组合的周跳估值序列（图中蓝色、绿色和红色分别对应于组合系数之和的绝对值为0、1和2的相位组合），表3为根据组合系数之和进行分组的各相位组合周跳探测与修复试验的统计结果（包括周跳估值的最小值、最大值以及探测到周跳并正确修复的成功率）。

图3 周跳估值序列（1s）Fig.3 The series of cycle－slip estimate（1s）

图4 周跳估值序列（600s）Fig.4 The series of cycle－slip estimate（600s）

表3 周跳探测与修复结果Tab.3 The result of cycle－slip detection and repair

从图3可知，当采样间隔为1s时，表1中所有相位组合在未加周跳历元的周跳估值均小于0.3周，而在加周跳历元所有相位组合的周跳估值与周跳真值1周的偏差都在0.2周内，即所有相位组合均可探测并修复组合周跳值仅为1周的周跳。然而，由图4可知，当采样间隔为600s时，周跳估值序列根据组合系数之和的不同而出现明显的分群现象：组合系数之和不为0的相位组合的周跳估值序列出现了大于0.5周的波动，且组合系数之和绝对值越大，波动越大，从而导致周跳误探情况且相应周跳估值严重偏离周跳真值；而组合系数之和为0的相位组合的周跳估值均小于0.5周，且加周跳历元的周跳估值仍然接近于周跳真值1周，进而可以准确探测并正确修复所有周跳。此外，从表3的统计结果也可以看出，周跳探测并正确修复的成功率随着组合系数之和的增大而降低，而组合系数之和为0的相位组合即使数据采样间隔达到600s，仍然可以探测并正确修复组合周跳值仅为1周的小周跳，这验证了前面分析结论的正确性。

6 结 论

本文通过构建具有特定波长和电离层延迟影响系数的线性组合系数集，提出了求解三频载波相位组合观测量最优线性组合系数的函数极值法，并得出如下结论：

（1）线性组合系数取整数的GNSS三频载波相位组合观测量，其有效波长最大值为基准频率对应的波长，如GPS为29.3m，北斗为146.5m。

（2）波长较长且以周为单位噪声放大系数较小的GPS和北斗三频载波相位组合观测量，其以周为单位的电离层延迟放大系数随组合系数之和的增大而增大，约为其线性组合系数之和的2.3倍；而具有弱电离层延迟影响且以周为单位噪声放大系数较小的GPS和北斗三频载波相位组合观测量，其波长随线性组合系数之和的增大而减小。

（3）对于GPS和北斗三频载波相位组合观测量，具有长波长和弱电离层延迟影响的噪声最优超宽巷组合，其线性组合系数之和宜等于0，而具有弱电离层延迟影响的最优窄巷组合，其线性组合系数之和宜等于1。

（4）线性组合系数之和等于0的超宽巷组合适合于中长基线模糊度解算和低采样率数据的周跳探测与修复，而线性组合系数之和不等于0的超宽巷组合仅适用于解算短基线模糊度和探测与修复高采样率数据周跳。

［1］ YANG Yuanxi.Progress，Contribution and Challenges of Compass／Beidou Satellite Navigation System ［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（1）：1－6.（杨元喜.北斗卫星导航系统的进展、贡献与挑战［J］.测绘学报，2010，39（1）：1－6.）

［2］ FENG Y.GNSS Three Carrier Ambiguity Resolution Using Ionosphere－reduced Virtual Signals［J］.Journal of Geodesy，2008，82（12）：847－862.

［3］ HAN Shaowei.Theory and Applications of the Combinations of GPS Dual Frequency Carrier Phase Observations［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1995，24（2）：8－13.（韩绍伟.GPS组合观测值理论及应用［J］.测绘学报，1995，24（2）：8－13.）

［4］ WANG Zemin，LIU Jingbin.Model of Inter－Frequency Combinations of Galileo GNSS ［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2003，28（6）：723－727.（王泽民，柳景斌.Galileo卫星定位系统相位组合观测值的模型研究［J］.武汉大学学报：信息科学版，2003，28（6）：723－727.）

［5］ URQUHART L.An Analysis of Multi－frequency Carrier Phase Linear Combinations for GNSS：Technical Report No.263［R］.Fredericton：University of New Brunswick，2009.

［6］ RICHERT T，EL－SHEIMY N.Optimal Linear Combinations of Triple Frequency Carrier Phase Data from Future Global Navigation Satellite Systems［J］.GPS Solutions，2007，11（1）：11－19.

［7］ FAN Jianjun，WANG Feixue.A Method for GNSS Three Frequency Ambiguity Resolution Based on Short Baselines［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36（1）：43－49.（范建军，王飞雪.一种短基线GNSS的三频模糊度解算（TCAR）方法［J］.测绘学报，2007，36（1）：43－49.）

［8］ LI Bofeng，SHEN Yunzhong，ZHOU Zebo.A New Method for Medium and Long Range Three Frequency GNSS Rapid Ambiguity Resolution［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38（4）：296－301.（李博峰，沈云中，周泽波.中长基线三频GNSS模糊度的快速算法［J］.测绘学报，2009，38（4）：296－301.）

［9］ CHANG Zhiqiao，LIU Li，HE Haibo.Detecting and Repairing Cycle Slip Using Triple－frequency Data Based on the Optimal Combination Observations［C］∥CSNC2010.Beijing：［s.n.］，2010：1－6.（常志巧，刘利，何海波.基于最优观测组合的三频周跳探测与修复［C］∥第一届中国卫星导航学术年会（CSNC2010）.北京：［s.n.］，2010：1－6.）

［10］ LI Jinlong，YANG Yuanxi，XU Junyi，et al.Real－time Cycle－slip Detection and Repair Based on Code－phase Combinations for GNSS Triple－frequency Un－differenced Observations［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（6）：717－722.（李金龙，杨元喜，徐君毅，等.基于伪距相位组合实时探测与修复GNSS三频非差观测数据周跳［J］.测绘学报，2011，40（6）：717－722.）

［11］ LIU Xuchun，WU Yue，HUANG Xuebin，et al.Application of GPS Multi－frequency Carrier Phase Combinations for Preprocessing of Original Carrier Phase Observations［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2007（2）：14－17.（刘旭春，伍岳，黄学斌，等.多频组合数据在原始载波观测值预处理中的应用［J］.测绘通报，2007（2）：14－17.）

［12］ HAN S W，RIZOS C.The Impact of Two Additional Civilian GPS Frequencies on Ambiguity Resolution Strategies［C］∥Proceedings of ION Annual Technical Meeting.Cambridge：ION，1999：315－321.

［13］ COCARD M，BOURGON S，KAMALI O，et al.A Systematic Investigation of Optimal Carrier－phase Combinations for Modernized Triple－frequency GPS［J］.Journal of Geodesy，2008，82（9）：555－564.

［14］ China Satellite Navigation Office.Beidou （COMPASS）Navigation Satellite System Development［R］.Munich：Munich Satellite Navigation Summit 2010，2010.

［15］ WU Yue.The Theory and Application on Multi－frequency Data Processing of GNSS 2［D］.Wuhan：Wuhan University，2005.（伍岳.第二代导航卫星系统多频数据处理理论及应用［D］.武汉：武汉大学，2005.）

［16］ NATHANSON M B.Elementary Methods in Number Theory［M］.New York：Springer－Verlag，2000.

［17］ LI Jinlong.Researches on the Algorithms of GNSS Triple Frequency Precise Positioning［D］.Zhengzhou：Information Engineering University，2011.（李金龙.GNSS三频精密定位数据处理方法研究［D］.郑州：信息工程大学，2011.）