输入输出反馈精确线性化他励直流电动机转速控制

鲁 芳，史晓阳，卢斌文

（海军航空工程学院 山东 烟台 264001）

直流电动机由于具有良好的控制性能，主要应用于高性能调速系统。随着科学技术的发展，人们对电动机的控制精度的要求越来越高。目前电动机调速系统仍在广泛应用的传统PID控制方法，具有控制器结构简单、稳定性好、稳态精度高，可以在一定程度上改善系统的闭环的动态特性等优点。但是电机本身是一个复杂的非线性系统，这就使进一步提高以传统线性化方法设计的转速控制器动态性能变得十分困难。

随着非线性控制理论的发展，使得在系统建模和系统控制中采用非线性方法成为可能。特别是以微分几何为工具发展起来的反馈线性化方法受到了普遍的重视。它的核心思想是把一个非线性系统代数的转化为一个 （全部或者部分）线性系统，以便可以应用线性系统的技巧[1-2]。精确线性化方法具有许多优点，如简化模型的复杂度，在线性化过程中不忽略任何高阶非线性项等。这种方法已经广泛的应用到了开关变换器控制[3]，电动机控制[4-5]，水利系统[6]等领域。反馈线性化在控制领域的研究，大多采用状态反馈线性化的方法实现非线性系统的完全线性化。但是状态反馈线性化需要满足严格的能控性条件和对合条件，而且存在控制器结构复杂，不利于工程实现等缺点。从实用角度来看，实现非线性系统完全精确线性化并不比部分精确线性化更为理想[6]。所以，研究基于输入输出线性化方法具有很高的理论价值和实用价值。

1 他励直流电动机非线性模型及平衡点分析

电动机控制的目标是控制电动机转速按照期望的指标运行。对于他励直流电动机非线性系统，选取x=（ωiair）T作为状态变量，选励磁电压ur为控制量，即u=ur，系统状态方程[7]可写为

设他励直流电动机稳态转速x1m=wm时，解方程组

由计算结果可知，对于给定的稳态转速wm，有两组稳态励磁电压、电枢电流、励磁电流。可以看出b，组数据对应的稳态平衡点是物理上无法实现的，a组数据对应的平衡点是我们期望的电动机运行平衡点。所以当系统控制达到稳态转速wm时，期望的稳态电枢电流x2ma，稳态励磁电流x3ma。

2 非线性转速控制器一

2.1 控制器设计

选择输出函数为 λ（x）=x1+Z1，此时系统的相对阶 r=2，其中 Z2=wm（wm为电机期望运行角速度）为常数。 设 z1=λ（x），并对其进行求导，直到出现输入量u，得

显然，线性化后的系统是能控的线性系统，应用线性系统极点配置法设计闭环，即

则加入闭环控制的控制规律为

由于相对阶r=2≠n，系统不能通过状态反馈实现完全线性化，而只能实现输入输出线性化，即非线性系统的部分线性化。由非线性理论 可知，存在向量函数使得

则对应于输出函数λ（x）=x1+Z1，非线性系统的内动态为Ψ˙=w（z，Ψ），式中 z=[z1，z2]。 求解偏微分方程（5），即

可得到该方程的一个解为Ψ=x2。

由（4）整理得：

上式（7）即为系统的内动态。

通过选择系统的输入使系统的输出恒为零时，系统的内动态就是零动态。通过研究零动态的稳定性，可以得到内动态稳定性的相关结论。当z1=z2=0时，由（7）式可得系统的零动态为

对零动态方程求导数，并将零动态方程平衡点带入Ψ¨，判断其正负，容易判断零动态在平衡点附近渐进稳定，所以内动态在平衡点附近稳定。

2.2 仿真分析

据（5）式控制规律设计的控制器结构如图1所示。根据不同的反馈控制方法设计的控制器的结构相似，只是反馈环节的设计不同。

图1 电动机转速闭环控制结构框图Fig.1 Block diagram of Motor’s speed closed-loop control

其中的detect TL环节一方面是为了消除力矩变化引起的静差，另一方面可以提高系统的抗力矩干扰能力。

文中选择的电动机模型的负载额定转矩为29.2 N·m，电枢电感为0.012 H，励磁回路电阻为240 Ω，励磁回路电感为0.12 H，电枢与励磁回路互感为1.8 H，转动惯量为1.0 kg·m2，电势常数取经验值k=15，电枢电压为240 V，电枢电阻为0.6 Ω，额定转速为100 rad/s。选择极点配置参数k1=164，k2=23。图2为电动机额定条件启动状态响应曲线。

图2 额定条件启动状态响应曲线Fig.2 State response curve of start under rated conditions

从响应曲线中可以看出，当控制器将电机转速稳定到期望转速时（左侧坐标），电机稳态电枢电流过大（左侧坐标刻度），励磁电流过小（右侧坐标刻度），电机稳态是物理无法实现的电机模型平衡点，控制器设计无效。

3 非线性转速控制器二

3.1 控制器设计

从控制规律（10）可知，基于状态反馈线性化设计的控制律不是全局范围成立的。当x∈U1={x∈R3|Lax2-Jx1=0}时，控制规律没有定义好，即控制规律使状态运行到这些奇点时，控制器不能使系统达到平衡点。所以控制器的反馈系数k1，k2不但要满足线性系统稳定性判据的要求，而且必须能够使得控制过程中的状态轨迹与U1没有交点，否则在交点位置控制器失效。

依据2.1中求零动态的步骤，可得对应于输出函数λ（x）=x1+x2-Z2的Ψ可取为Ψ=x1，经计算系统的零动态方程为

对零动态方程求导数，带入零动态平衡点，可知零动态在平衡点附近渐进稳定，所以内动态在平衡点附近稳定，控制器设计有效。

3.2 仿真分析

电机模型参数不变，奇点配置参数选为k1=542，k2=56。下图3为控制器二控制的电动机额定条件下启动状态响应曲线。

图3 额定条件启动状态响应曲线Fig.3 State response curve of start under rated conditions

从响应曲线中可以看出，电机启动速度快，无超调，静差小，且最终稳定在我们期望的电机模型平衡点，控制器设计有效。

为了考察系统的调速性能，在5秒的时调节控制控制规律，使电动机转速从100 rad/s稳定到127 rad/s。图4为电机调速状态响应曲线。

图4 调速状态响应曲线Fig.4 State response curve of speed regulation

从图中可以看出电机调速迅速，超调小，动态性能优良。

为了考察系统的抗干扰能力，首先控制电动机转速达到额定稳态转速100 rad/s，5秒时在电动机转矩控制端加入大小为15 N.m的恒干扰力矩，电动机的转速响应曲线如图5所示。

图5 力矩干扰转速响应曲线Fig.5 State response curve under disturbance torque

从图中可以看出，控制器具有很强的抗力矩干扰能力，在持续的大力矩干扰下能很好的稳定电动机转速，并迅速恢复到额定转速状态。

4 结 论

文中以他励直流电动机的数学模型为研究对象，应用输入输出反馈线性化理论设计了两种电动机非线性转速控制器，并从理论上证明了控制器内动态的稳定性。仿真过程中发现当非线性模型具有两个平衡点，且两个平衡点都稳定的情况下，通过选择不同的输出函数设计的输入输出反馈线性化控制器，可以使系统在零初始条件下稳定到不同的平衡点。仿真结果表明，本文设计的控制器具有很好的控制精度、动态性能和抗干扰能力。

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