基于二维简化模型的谐波传动启动力矩分析

马德军，李若亭，王家梁，李晓飞

（装甲兵工程学院 机械工程系，北京 100072）

0 引言

谐波传动是美国学者C.W.Musser于上世纪50年代末提出的一种新型齿轮传动机构[1]，它具有传动比大、体积小、重量轻、噪声小等优点。20世纪70年代，以S.A.Shuwalov为代表的前苏联学者对谐波传动柔轮弯曲疲劳破坏及柔轮齿面的磨损失效进行了较为深入的分析研究[2]，提出了众多强度校核公式, 被广泛应用于谐波齿轮传动装置的实验和研制过程中。20世纪80及90年代，为了提高谐波传动柔轮刚度，国外学者从啮合齿形设计及柔轮结构参数优化的思路出发，进行了一系列的探索。其中日本学者S．Ishikawa提出的“S齿形”[3]，其齿廓在负载情况下比普通渐开线齿形具有更大的啮合面积，从而可以提高谐波传动径向刚度，减小因弹性变形而产生的弹性扭转角。目前，谐波传动正向着短长径比、高传动精度及高可靠性的方向发展，被许多发达国家广泛应用于空间科学、航天技术、仪器仪表、汽车、机器人、精密光学设备等领域，具有广阔的发展前景。

启动力矩是指谐波齿轮传动空载启动时，波发生器输入轴所需施加的力矩。影响启动力矩的主要因素是各运动副间的摩擦系数，用数值模拟方法分析各主要运动副摩擦系数对启动力矩影响的程度对谐波齿轮传动设计及性能分析研究具有重要的指导意义。

1 建模及有限元分析

谐波传动二维简化模型能够反映各运动副摩擦系数对启动力矩的影响规律，它与三维模型相比，能够提高计算效率、节约计算资源。本文在建立谐波传动二维简化模型的基础上，通过商业有限元软件ABAQUS[4]对启动力矩进行有限元数值仿真。

1.1 谐波传动二维简化模型

以XB1-120-100型双波谐波齿轮为研究对象进行分析，其减速比i=100，模数m=0.6mm，压力角α=20°；柔轮齿数ZR=200，变位系数xR=3.86，齿顶高系数h*

R=0.5，顶隙系数c*R=0.5，齿宽BR=24mm；刚轮齿数ZG=202，变位系数xG=3.992，齿顶高系数

h*

G=0.5，顶隙系数c*G=0.5，齿宽BG=24mm。柔轮材料为30CrMnSiA，弹性模量E=210Gpa，泊松比v=0.3；刚轮材料为45钢，弹性模量E=206Gpa，泊松比v =0.3。

考虑到谐波齿轮传动中带有柔性轴承的凸轮式波发生器所涉及的接触问题极为复杂，应用现有的有限元数值方法难以直接分析计算。因此，可对波发生器柔性轴承结构作简化处理，将滚动体与轴承外圈固联，而内圈与滚动体仍保持弹性接触，据此获得的二维简化模型如图1所示。

图1 未装配时谐波齿轮传动二维简化模型

由文献[5]，柔性轴承外圈壁厚δWj=2.4mm，内圈壁厚δNj=1.8mm，滚动体直径dg=12mm，滚动体个数N=22，凸轮长半轴直径L1=90.1224mm，短半轴直径L2=87.4776mm。轴承材料GCr15，弹性模量E=208Gpa，泊松比v=0.3；凸轮材料为40CrNiMoA，弹性模量E=210Gpa，泊松比v=0.3。

谐波传动过程中，各运动副润滑状态受工作温度等因素的影响可发生变化，导致摩擦系数改变。对此可通过改变某一运动副的摩擦系数确定其对启动力矩的影响，在此过程中其他运动副摩擦系数可设定为常用值，其中，凸轮与轴承内圈、轴承外圈与柔轮之间均为无润滑紧密接触，其常用摩擦系数取值为ftn=fwr=0.1；滚动体与轴承内圈的常用滚动摩擦系数取值为fwn=0.002，刚轮与柔轮摩擦系数取常用值fgr=0.05[6]。

1.2 有限元分析

为计算启动力矩，首先对谐波传动各组件进行装配，定义凸轮与刚轮在平面内的三个自由度U1=U2=UR3=0。装配完成后，对谐波传动输入轴施加位移边界条件，使波发生器带动柔轮在空载情况下旋转一定角度，定义刚轮U1=U2=U3=0，凸轮 U1=U2=0、UR3=0.523（rad）。

图2 装配后谐波传动模型啮合区有限元网格

本文采用四节点平面应变单元CPE4R对谐波传动各组件进行结构化网格划分，并对装配和传动过程中参与啮合计算的轮齿齿侧及齿根处的网格适当加密。装配后网格划分情况如图2所示。

2 计算结果分析

2.1 滚动体与轴承内圈摩擦系数对启动力矩的影响

当滚动体与轴承内圈摩擦系数取不同值，而其余运动副摩擦系数取常用值（fgr=0.05，ftn=fwr=0.1）时，计算所得谐波传动启动力矩TQ如表1所示。

表1 当fgr=0.05，ftn=fwr=0.1时，fwn与TQ的关系

图3 当fgr=0.05，ftn=fwr=0.1时，fwn与TQ的关系曲线

由图3可以看出，谐波传动启动力矩随滚动体与轴承内圈间摩擦系数的增大而线性增大。当各运动副之间的摩擦系数取常用值（fgr=0.05，fwn=0.002，ftn=fwr=0.1）时，谐波传动启动力矩值为0.1128N·m，与XB-120-100系列谐波传动标称启动力矩值（0.18N·m）相当。可见，滚动体与轴承内圈摩擦系数对谐波传动启动力矩构成显著影响。

2.2 其余运动副摩擦系数对启动力矩的影响

当刚轮与柔轮、凸轮与轴承内圈及轴承外圈与柔轮摩擦系数分别单独改变，而其余运动副摩擦系数取常用值时，计算所得谐波传动启动力矩如表2～表4所示。

表2 当fwn=0.002，ftn=fwr=0.1时，fgr与TQ的关系

表4 当fgr=0.05，fwn=0.002，ftn=0.1时，fwr与TQ的关系

图4 其余运动副摩擦系数与启动力矩关系曲线

空载时，谐波传动刚轮与柔轮啮合齿面之间存在相对运动，但轮齿接触面间法向力较小，因而摩擦力较小，其摩擦系数变化对谐波传动启动力矩基本无影响，如图4(a)所示。凸轮与轴承内圈、轴承外圈与柔轮之间为紧密贴合，近乎无相对运动，启动力矩基本不受摩擦系数变化的影响，如图4(b)、(c)所示。因此可以确定谐波传动中刚轮与柔轮、凸轮与柔轮及柔轮与外圈间摩擦系数的变化对启动力矩几乎无影响。

3 结论

本文利用有限元数值方法，分析了XB1-120-100型谐波传动二维简化模型各主要运动副摩擦系数对启动力矩的影响。结果表明：当各运动副摩擦系数取常用值时，通过有限元数值计算得到的谐波传动启动力矩值为0.1128N·m，与XB1-120-100系列谐波传动标称启动力矩值（0.18N·m）相当。谐波传动启动力矩值随滚动体与轴承内圈间摩擦系数的增大而线性增大。实际应用中，为了减小谐波传动启动力矩，必须尽可能保持柔性轴承各部件之间良好的润滑。空载时，谐波传动刚轮与柔轮啮合齿面间法向力较小，摩擦系数变化对启动力矩几乎无影响；凸轮与轴承内圈、轴承外圈与柔轮之间为紧密贴合，近乎无相对运动，

启动力矩基本不受摩擦系数的影响。上述结果对谐波齿轮传动设计及性能分析研究有一定的指导意义。

[1] C.M.Musser. The harmonic drive breakthrough in mechanical drive design[J]. Machine Design, 1960, 4(16):35-38.

[2] S.A.Shuvalov. Calculation of Forces Acting on Members of a Harmonic Gear Drive[J], Russian Engineering Journal,1979, 59(10): 5-9.

[3] Y.Kiyosawa, S.Ishikawa, Performance of Strain Wave Gearing Using a New Tooth Profile[C]. 1989 International Power Transmission and Gearing Conference: New Technologies for Power Transmissions of the 90's, ASME,New York, 1989: 607-612.

[4] Abaqus6.10/CAE User’s Manual, Dassault Systèmes Simulia Corp., Providence, RI, USA., 2010.

[5] 范又功, 曹炳和. 谐波齿轮传动技术手册[M]. 北京: 国防工业出版社, 1995.

[6] 徐灏. 机械设计手册(第二版)[M]. 北京: 机械工业出版社, 2004.