紧支撑正交的二维小波

何永滔

(中山大学数学与计算科学学院,广东 广州 510275)

紧支撑正交的二维小波

何永滔

(中山大学数学与计算科学学院,广东 广州 510275)

基于Householder矩阵扩充,构造了紧支撑正交的二维小波,所构造小波函数的支撑不超过尺度函数的支撑,并且给出了容易实施的显式构造算法.另外,还通过构造反例说明Riesz定理不适用于二元三角多项式.最后,构造了算例.

多分辨分析;仿酉矩阵扩充;二维正交小波;多相位分解;Riesz定理

1 引言

众所周知,小波因具有良好的时频局部性而广泛地应用于信号分析,图象处理,边缘检测,数值计算等领域.构造小波是小波分析的核心内容,多分辨分析是构造小波的重要工具.在实际应用中,小波的紧支撑性能使快速小波变换是有限和,小波的对称性能使信号避免失真,小波的正交性能够保持信号的能量,因此构造具有紧支撑,对称性,正交性等良好性质的小波就成为小波分析工作者关注的热点之一.目前已有相当多的文献研究小波的构造,其中一维小波的研究成果比较成熟.1988年文献[1]给出了一维2带紧支撑正交小波的构造.但除Haar小波外,一维2带紧支撑正交小波不可能具有对称性,这就限制了它在现实生活中的应用.人们开始关注其他尺度因子的情形,1995年文献[2]构造了一维3带紧支撑正交对称与反对称的小波,研究了其精细结构.1998年文献 [3]构造了一维4带对称正交的尺度函数与小波.1999年文献[4]构造了一维M带的紧支撑小波,研究了所构造小波的性质.高维小波是处理高维信号的重要工具,但是有关高维小波构造的文献比较少.虽然文献[5]利用Householder矩阵扩充构造了高维正交小波,构造过程简单清晰且易于实施,但扩充所得的矩阵元素中含有Laurent多项式分母.这就使得当所给的尺度函数具有紧支撑性时,所构造的高维小波可能没有紧支撑性.本文通过Householder矩阵扩充构造了紧支撑正交的二维小波,扩充所得的矩阵元素分母中不含Laurent多项式,所构造的紧支撑正交二维小波的支撑不超过尺度函数的支撑.另外,本文通过构造反例说明Riesz定理不适用于二元三角多项式.最后,给出了构造算例.

2 预备知识

为了叙述的方便,引入记号:

3 矩阵扩充与二维正交小波

4 紧支撑正交二维小波的消失矩性质

5 Riesz定理不适用于二元三角多项式

6 紧支撑正交二维小波的构造算法

7 构造算例

致谢感谢程东升博士在编程方面有益的帮助.

[1]Daubechies I.Orthonormal bases of compactly supported wavelets[J].Comm.Pure Appl.Math.,1988, 41(7):909-996.

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[3]Han B.Symmetric orthonormal scaling functions and wavelets with dilation factor 4[J].Adv.Comput. Math.,1998,8(3):221-247.

[4]Bi N,Dai X R,Sun Q Y.Construction of compactly supported M-band wavelets[J].Appl.Comput.Harmon. Anal.,1999,6(2):113-131.

[5]龙瑞麟.高维小波分析[M].北京:世界图书出版公司,1995.

[6]Petukhov A.Construction of symmetric orthogonal bases of wavelets and tight wavelet frames with integer dilation factor[J].Appl.Comput.Harmon.Anal.,2004,17(2):198-210.

[7]Lawton W,Lee S L,Shen Z W.An algorithm for matrix extension and wavelets construction[J].Math. Comp.,1996,65(214):723-737.

[8]Chui C K,He W J.Compactly supported tight frames associated with re fi nable functions[J].Appl.Comput. Harmon.Anal.,2000,8(3):293-319.

[9]Han B,Jia R Q.Optimal interpolatory subdivision schemes in multidimensional spaces[J].SIAM J.Numer. Anal.,1999,36(1):105-124.

Compactly supported orthogonal bivariate wavelets

He Yongtao
(School of Mathematics and Computational Science,Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275,China)

Based on the Householder matrix extension method,we construct compactly supported orthogonal bivariate wavelets.The supports of the constructed wavelets are not larger than that of scaling function,an explicit algorithm that can be easily applied is also presented.Furthermore,we prove that Riesz theorem can not be applied to bivariate trigonometrical polynomial.Finally,an example is given.

multiresolution analysis,paraunitary matrix extension,bivariate orthogonal wavelets, polyphase decomposition,riesz theorem

O174

A

1008-5513(2012)01-0008-09

2011-07-15.

国家自然科学基金(11071261,10911120394).

何永滔(1979-),博士生,研究方向：时频分析与图像处理.

2010 MSC:42C40,65T60