关于2×2块矩阵在除环上群逆的注记

刘 新, 杨晓英

(四川信息职业技术学院基础教育部,四川广元628017)

0 引言

分块矩阵的广义逆在自动化,统计学,数学规划,数值分析,博弈论,经济学,控制论中等有着重要的应用。近年,关于广义逆的研究,受到许多学者的关注与研究[1-12]。参考文献[1]中的定理3.1给出了2×2块矩阵在除环上群逆表示的一个结果,但是定理的证明存在错误。同时,在文献[1]的引理2.6中也存在错误。给出一个反例来说明这一问题。同时,给出2×2块矩阵在除环上群逆的一个新的结果。

首先给出参考文献[1]中的定理3.1,引理2.6和引理2.3。

(2)如果 M#存在,则

文献[1]中引理2.6 设 A,B∈Kn×n,如果 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB),那么下列结论成立：

文献[1]中引理2.3 设 A∈Km×n,B∈Kn×m,rank(A)=rank(BA),rank(B)=rank(AB),那么(AB)#和(BA)#存在。

文献[1]在定理3.1和引理2.6的证明中,通过用引理2.3证明了(AB)#和(BA)#的存在性。事实上,定理3.1和引理2.6中条件 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB)不能推出引理2.3的条件 rank(A)=rank(BA),rank(B)=rank(AB),因此,用引理2.3证明(AB)#和(BA)#存在。

下面给出一个反例说明。

1 反例

首先,指出条件A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB)不能推出 rank(A)=rank(BA),和 rank(B)=rank(AB)。借助一个反例说明这个问题。

显然

但

因此,不能利用文献[1]中引理2.3证明(AB)#和(BA)#的存在性。

2 证明的改正

引理1[1]设 A∈Kn×n.如果 A2=A,rank(A)=r,那么存在一个可逆矩阵P∈Kn×n,使得

其中 Ir是r×r单位矩阵,Ir∈Kr×r.

引理2[1]设 A,B∈Kn×n.如果 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB),那么存在一个可逆矩阵P∈Kn×n,使得

且 B#1存在,这里 B1∈Kr×r,X ∈Kr×(n-r),Y ∈K(n-r)×r.

引理 3[2]设那么 M#存在的充要条件是 A#存在,且若 M#存在,那么

引理 4[2]设那么 M#存在的充要条件是 A#存在,且如果 M#存在,那么

下面给出一个新的引理证明参考文献[1]中定理3.1和引理2.6.

引理5 设 A,B∈Kn×n.如果 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB),那么(AB)#与(BA)#存在.

证明：由 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB),引理 1和引理 2,存在一个可逆矩阵P∈Kn×n,使得

那么由引理3知,(BA)#存在,由引理4知,(AB)#存在.

注：文献[1]中定理3.1和引理2.6中条件A2=A,rank(A)=r rank(B)=rank(BAB)不能推出引理2.3的条件rank(A)=rank(BA),rank(B)=rank(AB),所以,不能用引理2.3证明(AB)#与(BA)#的存在性.因此利用引理5可以直接证明(AB)#和(BA)#的存在性.

3 关于2×2块矩阵在除环上群逆表示的一个新的结果

(1)M#存在的充要条件是rank(B)=rank(BAB);

(2)如果 M#存在,那么

(1)M#存在的充要条件是rank(B)=rank(BAB);

(2)如果 M#存在,那么

证明：由引理6知,结论(1)容易证明.

由结论(1)和 rank(A)=rank(B)=r,有

由引理2,

由引理1,引理3,引理4和引理5,得

由引理6,那么

证毕.

[1]Bu C J,Zhao J M,Zheng J S.Group inverse for a class 2×2 block matricesover skew fields[J].Appl.Math.Comput,2008,204：45-49.

[2]Bu C J.On group inverse of block matrices over skew fields[J].J.Math,2002,35(4)：49-52.

[3]Bu C J,Li M,Zhang K Z,et al.Group inverse for the block matrices with an invertible subblock[J].Appl.Math.Comput,2009,205：67-78.

[4]杨忠鹏,冯晓霞.关于除环上分块矩阵的Marsaglia-Styan秩公式的注记[J].莆田学院学报,2010,17(2)：18-22.

[5]Castro-González N,Vélez-Cerrada J Y.On the perturbation of the group generalized inverse for a class of bounded operators in Banach spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2008,341：1213-1223.

[6]Bu C J,Li M,Zhang K Z,et al.Group inverse for the block matrices with an invertible subblock[J].Applied Mathematics and Computation,2009,215：132-139.

[7]Sheng X P,ChenG L.An oblique projection iterative method to compute Drazin inverse and group inverse[J].Applied Mathematics and Computation,2009,211：417-421.

[8]Deng C Y,Wei Y M.Representations for the Drazin inverse of 2×2 block-operator matrix with singular Schur complement[J].Linear Algebra and its Applications,2011,435：2766-2783.

[9]Yu Y M.The reverse order law for the generalized inverse A(2)T,Sover a skew field[J].Applied Mathematics and Computation,2011,217：10158-10165.

[10]Zhang K Z,Bu C J.Group inverses of matricesover right Ore domains[J].Applied Mathematics and Computation,2012,218：6942-6953.

[11]Patrício P,Hartwig R E.The(2,2,0)group inverse problem[J].Applied Mathematics and Computation,2010,217：516-520.

[12]Deng C Y.Characterizations and representations of the group inverse involving idempotents[J].Linear Algebra and its Applications,2011,434：1067-1079.