基于虚强度参数的塑性硬化模式

白 冰，李小春，石 露，袁 维，汪海滨

(中国科学院岩土力学与工程国家重点试验室，武汉 430071)

1 研究背景

许多介质在加载过程中呈现塑性硬化特性，即介质在初始屈服和破坏之间经历一段硬化过程，强度仍不断提高。经典弹塑性本构框架采用初始屈服、后继屈服(即硬化)和破坏的概念来描述这些进入塑性后的状态［1－2］。表现在数学上就是初始屈服、塑性硬化和破坏函数，在三维坐标系下，它们是空间曲面，故相应地称为初始屈服面、硬化面(加载面)和破坏面。尽管这3类状态在物理上不全相同，甚至差异很大，但在实用上，通常认为破坏面和硬化面是由初始屈服面变化而来的，或者说认为初始屈服面和硬化面都和破坏面具有类似的形式。

塑性硬化函数反映屈服面在应力空间中随着硬化过程不断变化的规律，它决定了塑性应变增量的大小，因此，研究塑性硬化的演化规律对塑性应变增量的计算具有重要意义。随着塑性变形的增加，硬化面的位置、大小都可能发生改变，其变化规律是十分复杂的。目前关于硬化规律尚没有一般性的理论［3］，在经典塑性力学中最常用的有3类硬化模式，即等向硬化、随动硬化和混合硬化模型［4］。这3类模式实质都是对后继屈服面在空间变化规律做的额外假定。以等向硬化为例，它假定后继屈服面的形状、中心和方位均与初始屈服面相同，只围绕其中心作相似的扩大。这样，相应的硬化函数只需在初始屈服函数的基础上叠加1个反映塑性变形历史的硬化项即可。随动硬化和混合硬化也需在硬化函数中增加屈服面平移或扩大项。岩土塑性力学继承了经典塑性力学的本构框架，这3类模式在许多岩土文献中被广泛介绍或引用。但特别是在土的塑性力学中，也有一些方法不采用上述3类模式。1981年黄文熙先生等提出通过拟合硬化参量等值面(线)的方法来得到不同硬化状态的硬化函数，这样就无需采用上述3类硬化假设。Roscoe，魏汝龙等人的Cambridge系列模型以及相关的修正模型采用屈服函数的材料系数(如固结压力)作为硬化参数，也没有直接采用上述硬化假设。关于通过调整屈服函数中材料参数的方法作为硬化函数目前存在不同认识。Flac3D中包含了应变硬化/软化本构模型，该模型通过不断调整强度参数来实现对峰后的模拟，但是未见到将这种只调整强度参数的方法应用于峰前硬化的使用说明。而史永胜等［5］认为，对于岩土介质双强度参数的等向硬化/软化模型中，应该在初始屈服函数以及硬化项中均应动态演化内聚力和内摩擦角参数。因此，如果单纯从破坏后区来看，这显然与Flac3D的方法似乎是有矛盾的。

岩土介质异常复杂，硬化和破坏在物理机制上也是不同的。尽管在工程计算中破坏判断(包括峰值点和峰后软化区)和塑性变形计算都很重要，但本研究范围仅限于峰前塑性硬化。

本文试图以分析上述矛盾作为出发点，在峰前硬化阶段引入虚强度参数概念，提出一个基于既有屈服/破坏函数的塑性硬化模式。将最常用的屈服/破坏函数直接推广应用于描述峰前塑性硬化。

2 峰前硬化阶段的强度参数

严格而言，固体的强度与破坏在理论上还没有普适的、被广泛接受的确切定义，但对于工程岩土力学，在应力－应变曲线的峰值点及峰值后区认为介质处于破坏状态是被广泛采用的。Coulumn-Mohr准则的黏聚力c和内摩擦角φ就是岩土屈服或破坏时所展示出来的真实强度参数。但是，在峰值以前的塑性硬化阶段，介质在不断加载过程中承载能力不断提高，并没有达到破坏，因此，在塑性硬化阶段一般不提强度参数c和φ等。然而，根据破坏时的c和φ的求取方法，在硬化阶段总是可以得到(比如拟合出)c和φ的数值，因此，不妨称硬化阶段得到的c和φ值为虚强度参数。

下面对峰前硬化阶段的虚强度参数的获得进行具体说明。为此先来看峰值点处破坏函数的拟合方法，我们以Coulomb准则为例进行说明。以截面剪应力、压应力表示的Coulomb准则［6］如式(1)所示，在岩土介质中该准则通常既被用作屈服准则，也被用作破坏准则，相应地，c，φ分别取屈服和破坏时的参数值。

为了拟合该准则，需要进行不同应力条件下的一系列试验，例如不同围压下的常规三轴试验，如图1。然后，利用所有峰值点处的应力状态进行拟合。为了清晰，我们将图1中峰值点用L5线连接，这表示这些应力点处于同一个破坏面上。

图1 不同围压下典型应力－应变曲线Fig.1 Typical stress-strain curves under different confining pressures

在峰值前的硬化阶段，我们选择一个标识塑性硬化状态的硬化参量(常用的有塑性偏应变、塑性体应变、塑性功以及新近发展的一些应力路径无关硬化参量等)，然后将各条曲线上具有相同硬化参量值的应力点连接起来，认为这些点具有相同的硬化状态因而处于相同的硬化面上，对其采用与破坏面相同的方式进行拟合，也会得到相应的c，φ值，这就是硬化段的虚强度参数。图1中L1至L4分别代表4个硬化状态，各条线上的应力点拟合即可分别得到一组该硬化状态对应的虚c，φ值。

有些模型中包含的直接参数不是c，φ值，但都可以采取上面类似的方法从试验数据计算得到。

3 基于虚强度参数的塑性硬化模型

等向硬化函数可写成如下形式:

kα是与塑性历史有关的硬化参量。该式表示后继屈服的任一状态，其硬化函数都是由初始屈服函数f(σ)通过记录塑性历史的硬化系数H(kα)变来的。初始屈服函数是其特例，表示为

文献［5］将其归结为单强度参数型的等向硬化函数，认为岩土类介质屈服面至少含有2个强度参数，其后继屈服面形式和单强度型的屈服面不同，认为在岩土介质中，仍然采用式(2)作为后继屈服函数是错误的，正确的形式应为

式中c为内聚力，φ为内摩擦角，并且被认为是塑性历史参数κ的非负函数，即

可见，在岩土介质中具体如何采用硬化函数还是有争议的。笔者认为，对于包含c，φ的硬化函数，将其f和H中的c，φ同时更新，从理论上来说是值得商榷的。如果同时更新c，φ，那么式(4)的含义就是表示通过不断更新了的f(σ，c，φ)面(而不是通过初始屈服面f(σ))的等向扩大来得到加载面，但这时H就不应是整个塑性历史的函数，而应是临近2个加载步的塑性增量的函数。因此，我们认为式(2)这种利用初始屈服面来映射到任一加载状态的硬化面更加可行。即如果将材料参数显式表示出来，式(4)应改写成下式:

式中c0，φ0为初始屈服时的强度参数。

现在虽然澄清了硬化函数中材料参数(如c，φ，也可能是其它材料参数)的使用问题，但式(2)或式(6)需要假设塑性硬化系数H。

通过上述分析我们认为，下式(7)形式的方程也可以用作塑性硬化函数。其中，ai为破坏面f中与塑性演化相关的材料参数，可以有多个。

式(6)取消了等向硬化假定引入的硬化系数H(kα)，在不改变屈服(破坏)面函数形式的前提下，通过修改其包含的与塑性演化相关的材料参数来实现塑性硬化的表征。

当介质处于破坏状态时，式(7)中的材料参数ai恰为材料的强度参数，在塑性硬化阶段，这些强度参数实际上是不存在的，现在又强制将其进行动态演化，因此，在硬化阶段它们实际上是虚的强度参数。故把式(7)形式的塑性硬化函数称为“基于虚强度参数的塑性硬化函数”。

4 基于试验数据的虚强度参数演化

在介绍基于虚强度参数的具体硬化函数之前，利用作者完成的一组煤岩三轴试验数据，研究虚强度参数随塑性硬化参量的变化规律。图2为15～50 MPa围压下煤岩三轴加卸载试验应力－应变曲线［9］。

图2 不同围压下煤岩加卸载应力－应变曲线Fig.2 Stress-strain curves of coal rock samples under different confining pressures

图3至图4分别为虚内聚力和虚内摩擦角随硬化参量的变化规律，其中，硬化参量的计算方法见文献［7］和［8］。其拟合函数将在后文基于Coulomb-Mohr准则及其强度参数的塑性硬化函数研究中应用。图5至图6分别为虚α和虚κ随硬化参量的变化规律，α和κ为Drucker-Prager准则中的强度参数。拟合函数将在后文研究基于Drucker-Prager准则及其强度参数的硬化函数时采用。这些虚强度参数与所选塑性偏剪应变之间呈现良好的线性关系。图3至图6相应拟合的线性函数如下(应力单位:MPa):

图3 虚内聚力与硬化参量的关系Fig.3 Relation between virtual cohesion force and hardening parameter

图4 虚内摩擦角与硬化参量的关系Fig.4 Relation between virtual internal friction angle and hardening parameter

图5 虚强度参数α的演化Fig.5 Relation between virtual strength parameter α and hardening parameter

图6 虚强度参数k的演化Fig.6 Relation between virtual strength parameter k and hardening parameter

5 基于虚强度参数的硬化函数实例

5.1 基于Coulomb-Mohr准则及其强度参数的塑性硬化函数

首先来看 Coulomb-Mohr准则的塑性硬化函数［10］，如式(1)所示，其中 c，φ 被写为硬化参量的线性拟合函数，此处算例采用式(8)、式(9)的线性函数得到，如下式:

图7给出了后继屈服轨迹随¯γp的演化规律，图8则是硬化函数斜率随硬化参数的变化特征。可以看到:随着塑性硬化参量¯γp的增长，上述硬化函数的轨迹在σ1轴上的截距及斜率同时增大，使得硬化轨迹向外逐渐扩大，从而体现出后继屈服面的扩大。可见，不通过引入关于强化规律的假定，仍然可以表现塑性硬化规律。尤其对于具有斜率非等值硬化特征的材料用本方法更合理。

图7 基于Coulomb-Mohr准则的主应力空间中塑性硬化轨迹的演化Fig.7 Evolution of hardening locus based on Coulomb-Mohr criterion

图8 基于Coulomb-Mohr准则的屈服轨迹斜率随硬化参量的变化Fig.8 Evolution of the slope of hardening locus based on Coulomb-Mohr criterion

5.2 基于Drucker-Prager准则及其强度参数的塑性硬化函数

再来看Drucker-Prager准则的塑性硬化函数［10］，如式(13)所示，其中强度参数 α，κ 被写成 ¯γp的线性拟合函数，下面算例中此2参数采用式(10)和式(11)。

图9 基于Drucker-Prager准则的主应力空间中塑性硬化轨迹的演化Fig.9 Evolution of hardening locus based on Drucker-Prager criterion

图10 基于Drucker-Prager准则的屈服轨迹斜率随硬化参量的变化Fig.10 Evolution of the slope of hardening locus based on Drucker-Prager criterion

图9给出了后继屈服轨迹随¯γp的演化规律，图10则是硬化函数斜率随硬化参数的变化特征。可以看到，同上述Coulomb－Mohr准则的塑性硬化函数的变化类似，随着塑性硬化参量¯γp的增长，硬化函数的轨迹在q轴上的截距及斜率同时增大，使得硬化轨迹向外逐渐扩大。因此，本模型同样能够反映等向扩大的同时，斜率非等值硬化的特征。

为了进一步考察上述Drucker-Prage硬化模型的有限元模拟特性，将其嵌入笔者开发的CoalSeep程序，模拟了21 MPa围压下的应力－应变关系。图11为21 MPa围压下轴向应力－应变关系模拟值与试验值对比。从图11可以看出:拐点A是弹性和塑性的分界值，之前的弹性阶段与试验值拟合的非常一致，拐点过后为本模型的塑性硬化阶段，在拐点A与交点C之间的硬化阶段，应力的计算值比试验值稍小，峰值点的计算强度比试验值稍偏大。在硬化阶段，计算曲线较接近直线，这表明模型的硬化参数对切线刚度矩阵影响很小。关于本文提出的硬化模型同传统硬化模型的比较需要进一步细致的工作。

图11 21MPa围压下轴向应力－应变关系模拟值与试验值对比Fig.11 Comparison between the simulation results of stress-strain curve using plastic hardening function based on pseudo-strength parameters and the test data under confining pressure of 21MPa

6 结语

介质的塑性硬化规律尚没有一般性的理论，常采用等向硬化、随动硬化和混合硬化的假定。笔者认为这些关于硬化模式的假定不是必须的。破坏函数的材料参数本身就蕴涵了介质硬化信息，直接修改破坏函数的材料参数并用作硬化函数即可体现介质的硬化过程。本文提出了一个基于虚强度参数的塑性硬化规律，即认为只需将破坏函数的材料参数替换为塑性硬化参量的函数，便可以实现既避免硬化规律的先验假设，又可体现介质的硬化过程。

采用一组煤岩的三轴加卸载试验数据，研究了基于Coulomb-Mohr准则和基于Drucker-Prager准则及其强度参数的塑性硬化函数。结果表明:这2个函数的塑性硬化轨迹在应力空间中以平移和旋转2种方式体现介质的塑性硬化过程，这也是本文硬化模式的一个特色，显然和传统的等向硬化、随动硬化和混合硬化是不同的。

在本文中，选择广义塑性剪应变作为塑性硬化参数，带有一定的主观性。严格而言，应选择应力路径无关塑性硬化参数，但严格与应力路径无关又与试验资料符合良好的硬化参量仍在研究中。本文作者所建议的硬化研究的思想不局限于本文列举的几个硬化模型，而是可应用于一般的硬化函数。

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