建设基于Mathmatica的高等数学课程意义探析

姜学杰

（定西师范高等专科学校，甘肃 定西 743000）

信息社会不仅依赖信息技术，而且更多地依赖由数学产生的信息技术。社会各个领域需要更多的受过数学教育的专业技术人员，用数学的知识、思想和方法，科学、理性、精确地去处理各种信息，解决工作中的问题或操作信息技术设备。同时，高等数学的内容、思想、方法也是人类文化史上极其灿烂的一颗明珠，对推动科学发展和人类文明作出了巨大贡献，对培养学生良好的思维品质、探索精神和科学精神有非常积极的作用，因而也是大学生文化素养中相当重要的一个组成部分。因此，高等数学教育不仅承担着培养高技术人才的重担，还承载着传播数学文化、培养科学精神、理性精神的责任。但传统的高等数学课程目标、内容和教学模式已显得十分落后，与当前社会的发展不相适应，主要表现在以下几个方面：课程目标定位狭隘；生源质量不断下滑，学生基础薄弱，学力不足；高等数学课时数明显不足。

如何进行高职高专高等数学课程改革，激发学生的学习兴趣，提高教学质量和学习效率，是每个数学教育工作者都应思考、探索的课题。笔者根据几年来的教学实践和探索，认为把Mathematica与高等数学有效地整合起来，在“必需、够用”原则的指导下建立基于Mathematica的高等数学课程是一条重要途径。

Mathematica是美国Wolfram公司开发的集数值计算、符号运算、图形处理于一体的大型科学计算软件，其强大、灵活的人机动态交互功能和图形可视化功能为高等数学提供了一个经济、高效的交互式教学平台，尤其是其最新版本Mathematica8.0中文版更为学生提供了一个良好的实验、探究的开放式学习平台。同时，大量的CDF格式网络课件和CDF格式高等数学电子教程等网络资源为教师教研和学生自主学习提供了极大的便利。目前，许多高校只是把Mathematica用于做数学实验和数学建模，并没有把它与数学课程进行有效的整合，对这一软件的认识、应用仍带有很大的局限性，使得这一强大技术的教育功能、应用价值没有得到很好的体现，对提高教学效率和教学质量没有实质性的影响。突破这一局限，把Mathematica与高等数学进行有效的整合，建立基于Mathematica的高等数学课程，具有以下几方面的意义：

一、改善教学环境，提高教学质量

传统教材加粉笔的高等数学教学面向全体学生使用统一的讲授式教学模式，呈现的是静态的数学内容，缺乏直观性与师生间的互动、交流，难以因材施教，要提高教学质量，还需要教师有良好的授课艺术，精心地设计、艺术地引导、耐心地讲解和指导，也需要全体学生有较强的抽象思维能力和空间想象能力。教师即便使用PPT课件，也只是改变了教学内容的呈现方式，加大了授课密度，其弊端是直接呈现教学内容，缺乏教师的示范和引导作用，对提高学生的学习积极性和认知水平并无实质性帮助。

运用Mathematica则可以动态地演示数学概念的产生、形成过程，全方位地展现数学关系和数学原理，活化数学知识。其直观性、可反复性和动态变化等特点不仅能吸引学生的注意力，营造轻松、互动的教学环境，也能在很大程度上降低学生的理解难度，为加速学生的认知过程、提升认知水平、提高教学质量提供有力保障。这种技术在微积分、向量代数与空间解析几何、概率与统计等相关重要概念的教学中显得特别重要。尤其在空间图形、多元函数相关概念的教学中，可以通过参数的连续变化、拖动图形旋转等手段展示图形全貌、对象的几何特征和变化规律，教学效果更为显著。

二、革新教学模式，增强主体意识

信息技术介入数学教育的一个突出优点就是人机交互、共同协商和主动参与。交互、协商意味着建立主体间合作伙伴关系，给学生提供更多的人机、师生、生生之间交流、对话的机会，以发现问题和澄清问题；建立教师主导、学生主动探究的互动型教学模式，变被动接受为主动建构，给学生提供更多的学习自主权和学习空间，以增强学生的主体意识和参与意识，培养学生的探索精神。

利用Mathematica的交互式笔记本界面，通过即时输入与输出、改变参数、调整程序等方式，可以多角度、多形式、反复地观察、分析、探究数学概念或数学关系，建构数学模型。在这个过程中，教师有目的地引导学生参与数学知识的探究、实践活动，改善学生的学习策略。同时，运用Mathematica进行数学实验、探究，不仅是学生学习的需要，也是教师积累经验、提升教学水平的需要，师生双方共同参与，教学相长，因而师生双方自觉地形成一个双主体的数学学习共同体，特别是学生通过实践性自主探究活动，能够积极主动地投入数学学习当中，充分发挥其主观能动作用，提高学习效率。

三、建构数学知识，提升认知水平

通过观察动态演示、聆听老师讲解、相互交流和有目的的交互式自主探究活动，学生能够不断地积累经验，逐步提高认识、加深理解，使得数学概念的图式由模糊逐渐变为清晰，由抽象变为具体，从对数学对象的感觉、经验上升到对概念本质的把握，形成自己的知识建构。

如微分是一个比较抽象的概念，学生理解它的含义有较大困难，弄不清楚它究竟是一个什么样的量，与导数有什么样的区别和联系，具体有哪些用途。运用Mathematica的Manipulate命令对参数进行动态操控（图1），便会在这种动态变化的过程中直观地呈现出函数增量△y、导数f′(x)及自变量增量△x(dx)的几何关系，以及△y、dy与参数△x之间的变化关系，从而理解为何导数f′(x)是dy与dx之商，为何微分dy是与dx等价的无穷小量，为何微分是函数增量的线性主部，为何△y与dy之差是一个较高阶的无穷小。这样，学生对微分的认识便从最初的经验——实例中的“线性主部”逐步上升到一般函数中的“与△x等价的无穷小”，再到函数增量的线性表示，进而把握微分这一概念的实质。同时，继极限概念之后进一步领会“以直代曲”这一微积分核心思想的意义和价值。

图 1

图2 正弦积分函数的11阶麦克劳林展开式

再如初等函数展开成幂级数，传统教学中学生只能掌握函数展开成幂级数的方法，至于为什么要这么做、幂级数的潜在意义何在却不得而知。运用Mathematica的Manipulate和Plot命令，同时做出函数f(x)及用Normal命令去掉余项后所得的多项式Pn(x)（n次近似多项式）的图像（图2是正弦积分函数的11阶麦克劳林展开式），对参数n动态操控并对两者进行比较，就会发现n越大，近似多项式与原函数的图像贴合程度就越高，从而了解幂级数的作用和“近似”的含义，明确了微分只不过是函数增量的最低级的近似，同时领会到用简单的多项式函数近似其他复杂函数这一“以简代繁”的思想是微积分又一重要的思想方法。

通过这种交互式操作过程中的观察、比较、分析与探究，不仅容易形成知识建构，也容易使学生明确学习的意义和价值，使学习目标从理解概念、掌握方法上升到领会高等数学中的思想方法的高度，自觉地提升了学生的认知水平。

四、激发学习兴趣，发展学生能力

运用Mathematica的可视化与动态交互功能，可以快捷地输出计算结果，直观地展示完整的图形或真实图形的局部结构；可以随心所欲地构造图形，表达自己的思想；能够操控输出结果，在无限变化中享受数学之美，提示数学规律，窥探数学奥秘。Mathematica为学生自主实验、探究创造了条件，拓展了学习空间，提供了展示个人才能、实现自我价值的机会，同时，学生在体验自主探索的过程中能够感受成功的喜悦和自豪感。丰富的兴趣因素和成功体验是学生学习不竭的动力，是激发学习兴趣、增强学习信心、活跃思维、增长智慧的源泉。运用Mathematica对知识的探究和建构过程，实质上也是一个不断发现、创新的过程。一方面，在这个过程当中，学生试图通过操控、实验、建立模型等手段，用不同的方法，从不同的角度有目的地去观察、发现各种对象间的数量关系，明确其几何意义，把握概念的本质，而这种对数学概念的再认识与重构过程本身就蕴含着分析、推理、批判与创新等各种思维能力的训练与培养。另一方面，由于兴趣的驱动，学生能够充分发挥其想象力，尝试探索超越教材范围的兴趣领域，使创造性能力和运用信息技术解决问题的能力得到培养。

Mathematica运用于高等数学无疑是高等数学课程的一项重大革新，它有效地改善了教学环境，使数学课堂充满生机，也深刻地改变着学生的学习方式和教师的授课方式，突显学生学习的自主性，提高了学生的学习效率，发展了学生的能力，课程目标的实现有了有效保障。将信息技术运用于数学教学亦将成为数学课程改革的必然趋势。

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