调整步长牛顿法

刘停战，刘伟，何颖

(中国传媒大学 理学院，北京 100024)

调整步长牛顿法

刘停战，刘伟，何颖

(中国传媒大学 理学院，北京 100024)

本文研究了求解非线性方程组的迭代解法，提出了一种调整步长牛顿法。证明了该算法在不同条件下的二阶收敛性和大范围收敛性。

非线性方程组;牛顿法;调整步长牛顿法

1 引言

设F是实的或复的高维Banach空间上的某个凸子集Ω到同型空间S上的非线性算子，考虑求方程组

的解，其中F(x)=(f1(x)，…，fn(x))。我们知道在迭代法中，牛顿法和牛顿下山法最具代表性，牛顿法有二阶收敛性，牛顿下山法有大范围收敛性。牛顿法和牛顿下山法的迭代格式分别为:

2 调整步长牛顿法

我们构造方程组(1)的等价方程组

对(2)式使用牛顿法，得到牛顿迭代格式:

注 该算法是牛顿下山法的推广。当0＜λ1=λ2=…=λn≤1时，调整步长牛顿法就简化为牛顿下山法。当λ1=λ2=…=λn=1时，调整步长牛顿法即为牛顿法。

3 调整步长牛顿法的收敛性

关于调整步长牛顿法的收敛性及收敛阶，我们有:

由以上可知，满足Kantorovich定理的条件，所以结论成立。

定理1 给出了调整步长牛顿法的半局部收敛性，下面讨论调整步长牛顿法的大范围收敛性。

于是利用上式立即导出x(k)有极限x*∈Ω0存在，并注意‖［F'(x(k))］-1‖≤β以及λk的有界性。对(7)式令k→∞导出F(x*)=0。这样就证明了调整步长牛顿法的大范围收敛性。

4 数值实验

本节将考虑使用上述调整步长牛顿法与牛顿法来计算一个例子，迭代终止条件为‖xk-x(k-1)‖＜10-6。

例1

表1

通过表l的计算结果可以看出当初始迭代点x(0)距离解较远时，牛顿法发散，调整步长牛顿法却收敛，这就说明了迭代格式(7)具有大范围收敛性。

［1］刘兴龙.解非线性方程组的一种带参数的Newton方法［J］.哈尔滨工业大学学报，1979(2):97-104.

［2］冯果忱.非线性方程组迭代解法［M］.上海:上海科学技术出版社，1989.

［3］卢兴江.关于解非线性方程组的Newton型迭代法的若干研究［J］.浙江丝绸工学院学报，1998，15(2):141-144.

［4］Ortega JM，RheinboldtW C.多元非线性方程组迭代解法［M］.北京:科学出版社，1983.

Step-adjusting New ton M ethod

LIU Ting-zhan，LIUWei，HE Ying
(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，we studied iterative method for solving nonlinear equations and obtained stepadjusting Newton method.Second-order convergence and global convergence are also proved in different conditions.

nonlinear equations;Newton method;step-adjusting Newton method

O241.7

A

1673-4793(2012)01-0008-03

2011-07-12

刘停战(1954-)，男(汉族)，吉林长春人，中国传媒大学理学院教授.E-mail:tzliu@cuc.edu.cn.

(责任编辑

:宋金宝)