基于借力飞行技术的星际多目标交会转移轨道设计

胡青龙

西昌学院工程技术学院，四川西昌 615000

目前，世界主要军事大国均把星际探测任务作为本国航天发展的重点。在星际探测任务中，任务的实现通常需要大量的能量，利用常规推进装置采用直接转移轨道的方法难以完成探测任务。因此，既要节省能量又要便于技术实现的星际多目标转移轨道方法成为各国深空探测研究的热点[1-3]。当前倍受关注的深空探测轨道转移技术有借力飞行技术[4]、小推力转移技术[5]和太阳帆转移技术[6]。小推力转移技术虽然已在美国的DS-1任务、日本的MUSES-C任务以及欧空局的SMART-I任务中得到了试验和应用，但是对长达数年乃至数十年的远景星际探测任务而言，高效、超长寿命的小推力发动机的研发仍是困扰任务设计人员的一大难题。而具有光明前景的太阳帆转移技术，目前在技术实施上还相对困难。与小推力转移技术和太阳帆转移技术相比，借力飞行技术不但可以有效降低探测任务所需的发射能量和总的速度增量，而且具有很好的工程实施性，已成为深空星际探测任务的基本手段。

本文针对星际探测任务中多目标交会转移轨道设计问题，利用借力飞行技术，结合Tisserand原理[7]、Pork-Chop图法[8]，提出一种多目标交会的混合设计方法。采用P-rp曲线[9]确定借力目标的序列，利用Pork-Chop图确定设计参数的可行域和时序，避免了传统方法对借力交会目标序列和初始轨道段设计不收敛的问题，通过“软匹配”策略寻找最优设计参数。最后，以国际上经典的小天体探测任务(ROSETTA任务)为例，对其转移轨道的初始方案进行设计和分析，验证该方法的正确性和有效性。

1 多目标交会转移轨道问题描述

1.1 转移轨道设计的目标函数

对于一个多目标交会的星际探测任务而言，转移轨道设计的实质是搜索一条既能满足各种约束条件，又能使得任务所需的燃料消耗量总和最小的转移轨道。在转移轨道计算中，燃料消耗通常用速度增量表示。假设探测器从出发星体发射，飞越n个目标星后，与到达星体交会；在飞越第i个目标星时，若能量不能完全匹配，则增加深空机动补偿，那么多天体交会发射机会搜索的目标函数应为飞行器所消耗的能量最小，即飞行器在整个星际飞行中的总的速度增量最小。

飞行器在整个星际飞行中的总的速度增量ΔV包括探测器离开停泊轨道进行星际航行需要的速度增量ΔVL、探测器与到达星体交会时所需的制动速度增量ΔVα、探测器飞越第i颗目标星时需要增加的深空机动补偿ΔVmi等3个部分，则飞行器在整个星际飞行中的总的速度增量ΔV可以表示为：

(1)

多天体交会发射机会搜索的目标函数则为：

(2)

这里，X=[VL,Vα,VA,Vl∞,Vlp,Va∞,Vap,Vm1+,Vm1-,…,Vmi+,Vmi-,…]T∈(R2k+8)，其中探测器离开停泊轨道进行星际航行需要的速度增量ΔVL的表达式如下：

(3)

上式中，VL为探测器日心引力场的出发速度，VEL为发射天体绕太阳的公转速度，Ve∞为逃逸发射天体引力场所需要的速度，VLp为探测器在停泊轨道上运行的速度。

探测器与到达星体交会时所需的制动速度增量ΔVα的表达式为：

(4)

上式中，Vα为探测器日心引力场的到达速度，VA为到达星体绕太阳公转的速度，Va∞为逃逸到达星体引力场所需的速度，Vap为探测器在绕飞轨道上运行的速度。

探测器飞越第i颗目标星时需要增加的深空机动补偿ΔVmi为：

(5)

上式中，Vmi+和Vmi-分别为深空机动前后的日心速度。

1.2 转移轨道设计的约束条件

在星际探测多目标交会转移轨道设计中，除了固有的星历约束外，主要考虑飞越目标星体时的能量匹配约束和最小飞越高度约束。

(1)能量匹配约束

由于探测器在行星重力场内飞行的时间比在日心参考系内飞行的时间小很多，所以假设探测器飞入和飞出行星重力场是在同一时刻，行星的位置和速度在飞越过程中不改变。探测器在飞越行星时距离行星质心的距离远远小于行星到太阳的距离，可以认为探测器在飞越时刻日心参考系的位置矢量Rs与行星在飞越时刻的位置矢量Rps相等。所以，探测器飞入和飞出行星重力场的双曲线逃逸速度V∞1和V∞2可表示为：

V∞1=Vs--Vps

(6)

V∞2=Vs+-Vps

(7)

其中，Vs-和Vs+分别为飞越前后探测器相对于日心的速度。

∈R)

(8)

(2)最小飞越高度约束

为了避免探测器在飞越过程中飞入行星大气(气动-借力除外)或与行星相撞，所以对飞越的高度也提出要求。设曲线逃逸速度矢量转过的角度为δ，根据双曲线轨道的基本关系可以计算得到飞越时双曲线轨道的偏心率e：

e=1/sin(δ/2)

(9)

则此时双曲线轨道的近心点半径rp为：

(10)

用Hmin表示最小的飞越高度，则应满足的最小飞越高度约束为：

χ(x)=rp-Hmin≥0 (χ∈R)

(11)

2 多目标交会转移轨道的设计方法

2.1 交会目标序列选择

采用基于Tisserand原理的能量P-rp图法选择借力飞行的路径和可能交会目标的序列。P-rp图法是采用与能量等高线图有关的Tisserand原理描述借力飞行轨道的方法。Tisserand原理中的常数T定义为：

T=rP/a+2[a(1-e2)/rP]1/2cosi

(12)

其中，rP为行星的平均轨道半径。由Tisserand原理、圆锥曲线拼接方法[10]和借力飞行的机理可以得到P-rp图。采用P-rp曲线图方法可以确定借力飞行的序列和基本的能量要求。

2.2 设计参数的确定与选择区域

星际探测多目标交会转移轨道设计参数的选择区域，可通过Pork-chop图法或等高线图获得，这里不再赘述。根据Lambert定理，如果始末端的位置矢量R1和R2、飞行时间和飞行方向已知，则飞行轨道就可以确定[11]。若已知发射和飞越时间，通过行星星历的计算可以得到发射和飞越时刻行星的位置，求解Lambert问题就可以得到初始和末端的速度矢量V1，V2，从而确定该段轨道，由此可见时间是确定轨道的关键参数。对于整个多天体交会转移轨道而言，若已知发射时间、飞越时间和到达时间，通过行星星历的计算和Lambert问题的求解就可以确定各轨道段。因此，这里选择时间作为设计寻优的变量。

2.3 转移轨道的设计与优化算法

多目标交会转移轨道设计问题可归结为一种非线性多约束多变量搜索寻优问题。对于该问题的初始参数可以通过群体搜索策略和种群中个体之间的信息交换确定，而精确的设计与搜索可通过梯度下降法得到。对于一个非线性多维参数优化问题，如何求解性能指标对自由变量的偏导数是一个困难。本文基于变分和主矢量原理，对性能指标相对于自由变量偏导数的解析形式进行推导，从而使转移轨道优化问题得到简化。

假设X(t)是相对于飞行器某段轨道的状态轨线，定义M=X(t0)和N=X(t1)，假设状态轨线有微小的改变δX(t)，那么泛函数M,N也会随之改变。δX0，δX1分别为M,N的变分。状态转移矩阵可以描述初始状态微小变化和终止状态微小变化之间的关系，即M,N的变分之间的关系。对于多天体交会的飞行轨道而言，整个轨道可以分为若干个轨道段，每一段轨道的状态确定后，该段轨道的状态转移矩阵就可以确定。为了便于讨论，这里定义4个3×3的矩阵Φrr，Φrv，Φvr和Φvv，即

(13)

在轨道弧段末端点的位置状态变量δX2、速度状态变量δV2与初始点的位置状态变量δX1、速度状态变量δV1之间的关系为：

(14)

将(13)式整理，可以推导出δV1，δV2与δX1，δX2之间的关系，即

(15)

(16)

如果端点是深空机动点或端点受到行星星历的约束，则上面的方程(16)必须求解带有端点位置固定的约束，即：

dX(t)=δX(t)+V(t)δt

(17)

由于端点位置固定则有dX(t)=0，故方程(17)可简化为：

δX(t)=-V(t)δt

(18)

联合求解方程(16)和(18)，可以得到轨道段初始速度V1，末端速度V2与初始点时间t1和末端点时间t2之间的关系为：

(19)

如果端点是借力天体，则V1和V2为双曲线超速；如果端点是深空机动，则V1和V2为飞行器的日心速度。由方程(19)式可以推导如下：

(20)

总的速度增量ΔV相对于发射时间tL的偏导数为：

(21)

假设转移轨道可以分为n段，则总的速度增量ΔV相对于到达时间ta的偏导数为：

(22)

假设第i次深空机动前的轨道段为k，深空机动后的轨道段为k+1，则总的速度增量ΔV相对于第i次深空机动时间tmi的偏导数为：

(23)

同理，总的速度增量ΔV相对于第i次深空机动位置Rmi的偏导数为：

(24)

由于在优化过程中，借力飞行的时间不作为自由变量，而是作为满足借力飞行匹配条件的变量，假设第i次借力飞行，借力飞行前的轨道为第q段，借力飞行后的轨道为q+1段，所以这里有：

(25)

综上，可将复杂的轨道优化问题转化为一个多维无约束的参数优化问题，这里选用梯度下降法，选取目标函数的负梯度方向作为每步迭代的搜索方向，逐步逼近函数的极小值点。

利用梯度下降的迭代公式，对于第k+1次迭代，则有

X(k+1)=X(k)+h▽φ(X(k))

(26)

这里从X(k)出发，沿梯度方向，取步长参数h，下一步可到达点X(k+1)，其中φ为自由变量X的非线性函数，则φ的梯度定义为：

(27)

3 算例与分析

下面以国际上经典的小天体探测任务(ROSETTA任务)为例，结合其约束条件(参见文献[12])，对其转移轨道的初始方案进行设计和分析，以验证本文设计方法的有效性。

Churyumov-Gerasimenko彗星的近日点为1.24AU，远日点为5.68AU，轨道倾角为7°。利用本文的多目标交会转移轨道设计方法，设计出ROSETTA任务的转移轨道包括3次地球借力飞行和1次火星借力飞行，飞越了2颗小天体，进行了5次较大的深空机动，最终与Churyumov-Gerasimenko彗星实现交会。任务飞行轨迹如图1所示。

图1 本文设计出的ROSETTA任务的转移轨道

本文设计出任务发射和借力飞行时的双曲线超速参数如表1所示。从表1可以看出，本文设计的ROSETTA任务结果与欧空局公布的结果相比，发射和借力飞行时的双曲线超速偏差分别为0.003km/s，0.002km/s，0.011km/s，0.007km/s和0.004km/s。

表1 本文设计的ROSETTA任务双曲线超速参数

设计出ROSETTA任务的深空机动参数如表2所示。从表2可以看出，本文设计的ROSETTA任务结果与欧空局公布的结果相比，深空机动和交会时所需速度增量的偏差分别为0.035km/s，0.042km/s，0.005km/s，0.0066km/s，0.043km/s和0.002km/s。

表2 本文设计的ROSETTA任务深空机动参数

设计出任务借力飞越高度结果如表3所示。在表3中，借力飞行高度均为探测器距离借力天体质心的高度，实际距离借力天体表面的高度应减去借力天体的半径。本文设计的ROSETTA任务结果与欧空局公布的结果相比，借力飞行高度的偏差分别为3.66%，1.73%，6.63%和6.09%。

表3 本文设计的ROSETTA任务借力飞行飞越高度参数

4 结束语

针对深空探测中的转移轨道问题，提出一种星际多目标交会转移轨道设计方法。该方法基于Tisserand原理，采用能量曲线确定交会目标的序列，由Pork-Chop图确定设计参数的可行域和时序，避免了传统方法对交会目标序列和初始轨道段的假设，通过优化算法寻找最优的设计参数。最后，将本文的设计方法用于解决欧空局的ROSETTA任务深空转移轨道的设计，设计结果与欧空局公布的结果一致，从而验证了该设计方法的可行性和正确性。

参 考 文 献

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