黏性系数依赖于密度的可压缩磁流体方程组解的存在性*
2012-05-09邓慧琳阎小丽
邓慧琳，阎小丽
(1.六盘水师范学院数学系，贵州 六盘水 553004；2.河南理工大学数学与信息科学学院，河南 焦作454000)
本文主要研究RN(N≥2)上可压缩磁流体方程组
磁流体方程组是描述磁场与速度场相互耦合作用的模型。在物理和工程方面，有着十分广泛的应用。已经有很多数学家和物理学家，从不同的方面对磁流体方程组做了大量的研究。
对于可压磁流体方程组，在初值较大且不连续时，Hu等[5]得到了可压磁流体方程组的弱解的整体存在性结果。Lu等[6]在允许初始密度为零的情况下，得到了带有温度的可压磁流体方程组局部强解的爆破准则：
假设T*是三维可压磁流体方程组(ρ,u,b,θ)的最大存在空间，且T*<∞，那么
▽u‖L1(0,T;L∞)+‖θ‖L∞(0，T;L∞))=∞
为了更好的说明临界空间的概念，引入如下伸缩变换：对∀l∈R，定义
ρl(t,x)=ρ(l2t,lx),ul(t,x)=lu(l2t,lx),
bl(t,x)=lb(l2t,lx),Pl(t,x)=l2P(l2t,lx)
1 Littlewood-Paley理论及Besov空间
接下来，为证明本文的结论，我们回顾权函数及加权的Besov空间[1]。首先定义权函数。 设{ek(t)}k∈N是定义在[0,+∞)上的一个连续函数序列,满足ek(t)∈[0,1]且
(3)
(i)wk(t)≤2,ek(t)≤wk(t);(ii)k≥k′,wk(t)≤2k-k′wk′(t)；
(iii)k≤k′,wk(t)≤3wk′(t);(iv)k～k′,wk(t)～wk′(t)
(4)
定义1[12]令s∈R,1≤p,r≤+∞,T∈(0,∞)。定义加权Besov空间为
∈S′(Rn);<+∞}
定义2[12]令s∈R,1≤p,r≤+∞,T∈(0,∞)。定义加权的时空空间为
为了证明本文的结论，给出以下引理：
引理1[12,14-15](Bernstein不等式) 设1≤p≤q≤∞，0
⊆{ξ:|ξ|≤λr}⟹
≤
≤
≤
引理8[12]设
≤
≤
注 应用Bony仿积分解[16]与Bernstein不等式,易得引理3-7的证明，证明参阅文[8,17]。
2 关于线性输运方程的先验估计
首先回顾如下线性输运方程在Besov空间中的标准估计:
(5)
接下来考虑如下输运方程
(6)
并给出其先验估计。
≤
(7)
(8)
为证明命题2，我们先给出如下引理:
·▽,Δj]f‖Lp≤
应用Bony仿积分解与引理2,易得引理12的证明。其证明过程类似于文[12]中引理4.3的证明。命题2的证明:(7)式的证明请参看文[11]。这里我们只给出(8)式的证明。
假设p<+∞，对输运方程(6)的两边同时应用算子Δj，得到
∂tΔja+u·▽Δja=[u·▽,Δj]a-Δj((1+a)divu)
≤
‖[u·▽,Δj]a‖p+‖Δj((1+a)divu)‖p)dτ
(9)
≤
(10)
由权函数的性质(6)的(i)与加权Besov空间的定义，可知
≤
(11)
(12)
将(11)式、(12)式合并到(10)式,有
≤
下面给出如下磁场方程的的先验估计
(13)
≤
证明由命题2知
≤eCU(t)·
对右边第二项应用引理1,有
≤eCU(t)·
最后，由Gronwall引理，可得
≤
3 线性动量方程的先验估计
考虑动量方程
(14)
≤
≤
≤
4 解的存在性
本节我们给出磁流体方程组(2)解的存在性证明。具体思路为:
(i) 光滑化初值,在[0,Tn]上得到具有光滑初值的解序列(an,un,bn)n∈N；
(ii)对任意t∈(0,Tn),给出并证明有关解序列(an,un,bn)n∈N的一致估计；
第一步: 光滑初值、构造逼近解序列。
第二步: 一致估计。
≤≤
(15)
(16)
(17)
(18)
根据(A3)式,可以选择足够小的η使得
eCUn(t)≤2
(19)
把(19) 式代入(15)、(17)、(18)式中,有
(20)
(21)
(22)
结合(20)、(16)、(A3) 式,有
≤η
(23)
利用权函数的连续性质及wk(0)=0，对于足够小的T，能够做到
≤η
(24)
令A1=3C(1+A0)，结合(23)、(24)式,则有
≤η (25) 其次，考虑磁流体方程组(2)的动量方程,由命题3,可得 (26) (27) (28) (29) (30) (31) 由(27)-(31)式,可知 (32) 把(32)式代入(26)式， 可得 ≤ η<; (33) 由此可得 ≤ (34) 由命题3及引理1 可得 ≤ (35) 利用(A2)式,选取足够小的T，η,使得 η; (36) 结合(35)、(36)式,可得 ≤ (37) 设T*为所有使得(36)、(33)、(24)式成立的T的上确界。假设Tn 进而可知解(an,un,bn)可延拓到T*外。所以Tn≥T*。 第三步: 解的存在性。 考虑运输方程∂tan+un·▽an=-(1+an)divun，利用引理1,可知 (38) (39) 接下来,我们考虑磁场方程∂tbn+un·▽bn=bn·▽un-divun·bn。 利用引理4,可得如下估计 下面讨论{un}n∈N的收敛性。考虑磁流体方程组(2) 的动量方程，利用引理4，可得 (40) (41) (42) (43) (44) 利用命题1与命题4,可知解(a,u,b)关于时间t也是连续的。所以有 由此可得 参考文献： [1]GERBEAU J F,LEBRIS C.Existence of solution for a density-dependent magnetohydrodynamic equation [J].Adv Differential Equations,1998,2(3): 427-452. [2]DESJARDINS B,LEBRIS C.Remarks on a nonhomogeneous model of magnetohydrodynamics [J].Differential and Integral Equations,1998,11(3): 377-394. [3]ABIDI H,HMIDI T.Résultats d’existence dans des espaces critiques pour le système de la MHD inhomogène [J].Ann Math Blaise Pascal,2007,14: 103-148. [4]ABIDI H,PAICU M.Global existence for the MHD system in critical spaces [J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2008,138: 447-476. [5]HU X P,WANG D H.Global existence and large-time behavior of solutions to the three-dimensional equations of compressible magnetohydrodynamic flows[J].Arch Ration Mech Anal,2010,197:203-238. [6]LU M,DU Y,YAO Z A.Blow-up criterion for compressible MHD equations[J].J Math Anal Appl,2011,379: 425-438. [7]BIAN D F,YUAN B Q.Well-posedness in super critical Besov spaces for the compressible MHD equations [J].International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations,2011,3: 383-399. [8]DANCHIN R.Local theory in critical spaces for compressible viscous and heat-conductive Gases [J].Comm Partial Differential Equations,2001,26: 1183-1233. [9]DANCHIN R.Global existence in critical spaces for compressible Navier-Stokes equations [J].Invent Math,2000,141: 579-614. [10]DANCHIN R.On the uniqueness in critical spaces for compressible Navier-Stokes equations [J].Nonlinear Differential Equations Appl,2005,12: 111-128. [11]HASPOT B.Well-posedness in critical spaces for the system of Navier-Stokes compressible [J].ARXIV : 0904.1354,2009. [12]CHEN Q L,MIAO C X,ZHANG Z F.Well-posedness in critical spaces for compressible Navier-Stokes equations with density dependent viscosities [J].Rev Mat Iberoamericana,2010,26(3): 915-946. [13]FUJITA H,KATO T.On the Navier-Stokes initial value problem I [J].Arch Rational Mech Anal,1964,16: 269-315. [14]CHEMIN J Y.Perfect incompressible fluids [M].New York: Oxford University Press,1998. [15]原保全.Boussinesq方程组在Besov空间中局部解的存在性和延拓准则[J].数学学报,2010,53(3): 455-468. [16]BONY J M.Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équation aux dérivées partielles non linéaires [J].Ann Sci École Norm Sup,1981,14(2): 209-246. [17]CHEMIN J Y.Théorèmes d’unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel [J].J d'Analyse Math,1997,77: 27-50. [18]DANCHIN R.Well-posedness in critical spaces for barotropic viscous fluids with truly not constant density [J].Comm Partial Differential Equations,2007,32: 1373-1397.
