周期弱耗散的带旋度Camassa-Holm系统强解的整体存在性*

胡巧怡，金 济，林利云，邱 华

(1.华南农业大学数学系，广东 广州 510642；2.华南农业大学工程学院，广东 广州 510642)

最近Ivanov导出了一个带旋度的Camassa-Holm系统[1]

(1)

其中y=u-uxx。该系统用于描述带常数旋度的浅水波模型。例如物理现实中的在月球和太阳引潮力作用下产生的周期性海水水平流动现象，就是一种带旋度的水流模型[2-4]。其中u(t,x)表示流体的水平速度，ρ(t,x)是与平衡状态下水面的水平偏移有关的量，它们都是无量纲化的量。参数A>0表示水底的线性剪切流,因此系统(1)也是波流交互作用的模型[3]。

当ρ=A=0时，系统(1)变成经典的Camassa-Holm方程，它可以用来描述水平底面浅水波的单向传播模型[3,5]。 当A=0,ρ≠0时,系统(1)描述了不带旋度的浅水波方程[6]。 此时的双分量Camassa-Holm系统可以与AKNS 类的第一非负流等价[7]，并且还跟带时间参数的Schrödinger谱问题有关[7-8]。

然而在许多实际情况下,人们不能忽视能量的耗散。 Ott等[10]曾经研究了能量耗散对KdV 方程解的影响(包括对行波解的影响大小)。Ghidaglia[11]把弱耗散KdV 方程作为有限维动力系统模型,研究了该方程解的长时间性态。吴书印和殷朝阳研究了周期和非周期的弱耗散Camassa-Holm方程强解的爆破、爆破率、整体存在性及其衰减性[12-13]。胡巧怡和殷朝阳研究了周期的弱耗散杆方程解的爆破性质[14]。

受此启发,我们考虑下面周期的弱耗散的带旋度Camassa-Holm系统

其中λ是非负弱耗散系数。 本文主要研究系统(2)强解的整体存在性。为此先给出几个引理。

1 预备引理

(3)

运用输送方程理论和Besov空间理论，类似文[15]定理1.1中的方法，可得系统(3)的局部适定性。

z=z(·,z0)∈C([0,T);Hs×Hs-1)∩C1([0,T);Hs-1×Hs-2)，并且解连续依赖于初值,即映射z0→z=z(·,z0):Hs×Hs-1→C([0,T);Hs×Hs-1)∩C1([0,T);Hs-1×Hs-2)是连续的,最大存在时间T不依赖于s。

运用输送方程的Littlewood-Paley分析和Moser-型估计[16]，类似文[9]中定理4.1的方法,可得到如下的爆破机制。

注1 如果ρ=A=0,那么定理2覆盖了文[17-18]中关于Camassa-Holm方程的相应的结果。 如果A=0,ρ≠0,那么定理2改进了文[19-20]中的结果(其中考虑的空间是Hs×Hs-1,s≥2)。

z=z(·,z0)∈C([0,T);Hs×Hs-1)∩

C1([0,T);Hs-1×Hs-2)

考虑下面的初值问题

(4)

其中u是系统(3)的解z的第一个分量。由Sobolev定理可知u(t,·)∈C1([0,T)×R,R),因此由经典的常微分方程理论,可知方程(4)存在唯一解q。q的性质对研究系统(3)强解的爆破起到非常重要的作用,下面先给出两个关键性引理。

(t,x)∈[0,T)×R

ρ(t,q(t,x))qx(t,x)=

e-λtρ0(x),(t,x)∈[0,T)×R

(5)

进一步,如果存在x0∈S，使得ρ0(x0)=0,那么对所有的t∈[0,T),都有ρ(t,q(t,x0))=0。

证明在方程(5)的左边关于t求导,结合方程(4)和(1)的第二个方程,可得

ρ(t,q(t,x))qx(t,x))=0

这就证明了(5)。

证明在系统(3)的第一个方程关于x求导,得

(6)

在系统(3)的第一个方程两边同乘u,在(6)两边同乘ux,在系统(3)的第二个方程两边同乘ρ,将三者相加,然后再分部积分,可得

ρ2)dx=-2λρ2)dx

解上述方程即可。

引理4[22]

由引理3和引理4,得如下推论:

≤≤

3 解的整体存在性

本节研究周期的弱耗散带旋度Camassa-Holm系统强解的整体存在性。由函数q的性质和引理1-4,我们可以得到系统(3)强解的整体存在性。

由引理1和引理2,我们知道ρ0(x)和ρ(t,q(t,x))符号相同。由于对任意的x∈S,都有ρ0(x)=0,因此对任意的x∈S,同样有ρ(t,q(t,x))=0。

下面我们考虑如下的辅助函数[9]

w(t,x)=ρ(0,x)ρ(t,q(t,x))+

由Sobolev嵌入定理,有

由m(t,x)的定义和系统(3)的第一个方程,有

(t,x)=(utx+uuxx)(t,q(t,x))

(7)

将点(t,q(t,x))代入式(7)，得

(8)

对w(t,x)关于t求导,

(t,x)·

由Gronwall不等式,就有

w(t,x)≤w(0,x)eKt≤(‖z0‖Hs×Hs-1+1)eKT

另一方面,我们有

因此，推出

定理证毕。

参考文献：

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