小波包与混沌理论相结合的人民币汇率预测方法研究

殷光伟 高丽峰 付岱山 万志华

[摘 要]基于小波包变换和混沌理论提出了一种人民币汇率建模及其预测的方法。首先，应用小波包变换对人民币兑美元日汇率收益序列进行三层分解，得到从低频到高频八个频率成分的时序，并在此基础上作进一步分析，以确认它们都存在混沌特性；然后，应用混沌理论分别建立从低频到高频八个时序的预测模型，进行预测；最后，基于小波包理论对混沌模型预测的结果予以重构，实现对人民币兑美元日汇率收益序列的预测。与现有方法比较，结果表明该方法具有较高的精度, 有极大的应用范围。

[关键词]小波包变换 汇率 混沌 预测

2005年7月21日,中国人民银行宣布了改变人民币汇率形成机制的公告，我国开始实行以市场供求为基础、参考一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度。由于人民币汇率不再盯住单一美元，因此，人民币汇率的变动趋势更加复杂化，汇率波动带来的风险也大大超过以往，而汇率的频繁波动及由此带来的外汇风险对于国际金融、贸易和投资都具有关键性的影响作用，因此，正确预测人民币汇率的变化也变得越来越重要。

人民币汇率预测问题属于时间序列预测范畴, 传统的时间序列分析模型主要是基于线性自回归(Auto Regression, AR)模型和线性自回归滑动平均(Auto Regression Moving Average, ARMA)模型，如矢量自回归模型、双线性模型以及门限自回归模型等。这些模型对线性系统具有较好的预测效果，但用于预测人民币汇率这样的非线性系统时，准确性较差。神经网络预测方法虽然具有逼近非线性的能力，然而，当用它来预测人民币汇率系统时，其结果并不理想，而且还存在着算法收敛速度、网络推广能力等目前难以突破的障碍和困难。汇率系统是混沌的，由于混沌的一定的确定性，使得它具有有限的预测能力，因此，汇率系统的长期演化行为是不可预测的，而短期预测是可行的。然而用混沌模型对汇率系统进行短期预测时，效果也不尽如人意。究其原因在于汇率系统是一个复杂系统，由于各种因素交织在一起，使得汇率时序变得复杂，因此难以预测。

预测这样复杂的汇率市场要有特殊的方法。汇率市场是受多种因素相互作用影响的，而影响汇率市场的不同因素又是在不同的时间尺度上发挥作用的，因而这些不同因素所引起的汇率价格波动特征也是不同的，分散反映在相应的不同时间尺度上。这也是造成汇率市场是混沌的原因。小波变换由于其独特的多尺度分析能力而成为提取这类序列变化特征的有力工具。它的最大的优点是能将时间序列按不同尺度分解成不同的层次，这就使问题变得简单，便于分析和预测。然而，缺憾的是，小波变换只能在固定的频率空间上分解，缺乏灵活性，存在着在时间分辨率高时频率分辨率低的缺陷，这就可能丢失某些频率空间中的重要价格波动特征的信息；而小波包能够克服上述缺陷。据此，本文应用小波包变换对人民币汇率预测进行研究，以期提高人民币汇率预报的精度。

一、小波包简介

设{Vj；jZ}（Z是整数集）构成L2（R）（R是实数）上的正交多分辨分析，其尺度函数、母波函数分别为（t）和 （t），它们满足下述二尺度方程

(1)

其中，系数满足下面条件

(2)

双尺度方程式表明：小波基（t）可以由尺度函数 （t）的平移和伸缩的线性组合获得，其构造归结为滤波器（hk的频域表示）和 （ 的频域表示）的设计。

对于固定尺度情况，定义一列递归函数如下

(3)

则称由(3)式所确定的函数序列 （n =0,1,2,…, N）为由 =

确定的小波包。

小波包概念是在小波变换的基础上发展而来的。因此，有必要回顾一下小波变换。

图1为小波变换示意图。图1中，L表示经分解得到的低频部分，H表示经分解得到的高频频部分。下标表示分解的层数。

由图1可知，小波变换就是只对每一次分解得到的低频部分作进一步分解，而高频部分保留不变，其过程是 ，

，… 。分解的最终结果是 ，即将原始序列 分解为一系列反映细节的高频部分 和一个反映概貌的低频部分 。由于其分解尺度是按照二进制方式变化，所以这种分解在高频段的频率分辨率较差，而在低频段的时间分辨率较差。它实质上是对信号频带进行指数等间隔划分；而小波包变换，如图2所示，不但对每一次分解得到的低频部分作进一步分解，而且对高频部分也作同样的进一步分解。这就有效地弥补了小波变换的不足。

图2 小波包变换示意图

图2中L表示低频，H表示高频，下标表示小波包分解的层数。则分解具有如下关系：

小波包变换的最大特点是：能将信号频带进行多层次划分，对信号提供一种更加精细的分析方法，对小波变换中没有细分的高频部分进一步分解，同时能根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号谱相匹配。

从图1和图2比较可以看出，小波变换其实只是小波包变换的一个特例，小波包变换比小波变换能更加精细地刻划时序的局部特征。因此，应用小波包对人民币汇率进行预测，能得到更好的预测效果。

二、人民币汇率预测研究

本文以人民币兑美元日汇率的收益序列为样本，进行建模和预测研究。实证分析的数据选取2005-07-21-2010-12-30的人民币兑美元日汇率数据，数据来源于http://fx. Sauder. Ubc. ca/data.html。

人民币兑美元日汇率的收益序列需经如下处理得到，即

对价格序列 取对数，然后再进行一阶差分，可得：

通过上述处理，将价格序列 转换成对数收益序列 。 序列即为人民币兑美元日汇率的收益序列。

1.小波包分解及特征分析

应用小波包变换对人民币兑美元日汇率收益序列建模和预测，首先要对其进行三层小波包分解（分解示意图如图2所示），这样就将原始时间序列分解成从低频到高频八个频率成分的时序，分解层数的选择是根据预测误差最小而定。分解后得到的各频率部分的波形图如图3所示。

若用表示原始时间序列，用 （ ）分别表示应用小波包分解后得到的从低频到高频八个频率成分的时序，则有如下关系

(4)

人民币兑美元汇率系统是一个具有混沌特性的系统，因此，人民币兑美元日汇率的收益序列经小波包分解后的各频率部分很可能仍然具有混沌特征，需要进行判断。判断一个序列是否具有混沌特征，要看这个序列的最大Lyapunov 指数是否为正。如果为正，则此序列是混沌的。本文采用小数据量方法来求取各频率部分的最大Lyapunov指数，其结果都为正，因此，可以判断各频率部分都具有混沌特性，可通过建立各自的混沌模型进行预测。

2.混沌建模

2005-07-21-2010-12-30人民币兑美元日汇率的收益序列，其样本数量1371个，将其进行三层小波包分解后，得到八个频率成分的时序。由于分解后的时间序列都具有混沌特性，因此，对它们应分别建立混沌模型，再进行预测。混沌时间序列预测的基础是相空间的重构理论，首先要通过重构相空间矢量来重构相空间。

小波包分解得到的各混沌时间序列可表示为， ，则重构的相空间矢量为

(5)

式中为时滞时间； 为嵌入维数，可由零阶近似法确定；

，且 ， 为样本值个数。由嵌入理论可知，存在一映射：使得

(6)

当时间序列的观察函数是光滑的且嵌入维数足够大时，式（6）的动力学行为与重构前原系统的动力学行为是拓扑等价的。在实际应用中，使用一标量方程来代替式（6）的矢量方程，即

(7)

式（7）就是对分解后的时间序列建立的混沌模型，根据此模型就可由 预测出 。

3.预测研究

2005-07-21-2010-12-30人民币兑美元日汇率的收益序列，其样本数量1371个，将其进行三层小波包分解后，得到八个频率成分的时序，每个频率成分的时序均有1371个数据。对各时序分别建立形如式（7）的混沌模型后，即可用于预测。具体的做法是，每个时序的前1350个数据用于确定预测模型和优化模型参数，后面21个数据用于实际预测。对各时序分别建立混沌模型，并进行预测，即可得到各时间序列的混沌预测结果。

各时间序列的混沌预测结果得到之后，再采用小波包重构方法将它们进行合成即可得到最终的预测结果，即人民币兑美元日汇率收益序列的预测结果，其预测结果如图4所示。图中实线为实际值，虚线为预测值。预测均方根误差为1.6320e-004，方向精度为1。

本文也采用式（7）所示的混沌模型以及小波变换的方法对人民币兑美元日汇率收益序列进行了预测，预测结果如下：（1）混沌模型的预测均方根误差为0.0014，方向精度为0.6；（2）小波变换的预测均方根误差为3.9197e-004，方向精度为1。

由预测指标分析可知，应用小波包变换的预测和应用小波变换的预测明显优于直接采用混沌模型预测，这表明了多尺度分解的有效性；而小波包变换，由于克服了小波变换在时间分辨率高时频率分辨率低的缺陷，使预测精度比混沌模型的预测和小波变换的预测都有了很大的提高，表明小波包变换能比小波变换更好地提取了汇率价格分散在不同尺度上的特征。

三、结论

本文应用小波包变换和混沌理论提出了一种人民币汇率建模及其预测的小波包与混沌理论相结合的方法。同单独采用混沌预测方法或小波预测方法相比，它既能更好地刻划时间序列的规律，克服小波固定分解方式提取多尺度特征的缺陷，更好把握汇率价格变化的所有特征，又能更好捕捉混沌状态的特征。通过把它用于人民币兑美元日汇率收益序列的实证预测表明，对于汇率这一类复杂的时间序列的预测问题，本文所提的方法能够达到预测均方根误差为1.6320e-004的高精度，优于目前已有的其他多数预测方法。因此，可以说，本文所提的方法具有极广的应用领域。

参考文献:

[1]Rosenstein, M. T., Collins, J. J., De Luca, C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets [ J ]. Physica D, 1993, 65: 117-134

[2]Cao L. Practical method for determining the minimum embedding dimension of a scalar time series [ J ]. Physica D, 1997, 121: 75-88

[3]Takens, F. Detecting strange attractors in fluid turbulence [ A ]. In：DA. Rand and LS. Young. Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics [ C ]. Vol. 898, Berlin: Springer-Veriag, 1981. 336-381

[4]Sauer, T., Yorke, T. A., Casdagli, M. Embedology [ J ]. Journal of Statistical Physics, 1991, 65 (3/4 ): 579-616