差分:开启等差数列宝藏的金钥匙

杨彬

我们知道，导数是刻画连续性函数性质的有力工具，反映的是瞬时变化率；而数列是一个离散的函数模型，反映的是平均变化率。差分思想是探究数列性质的有力工具，在探索数列的性质比如单调性时起着举足轻重的作用。应用差分思想解题的常见案例之一，就是已知数列{an}的前n项和Sn的关系式，以n-1代换n得关于Sn-1的关系式，两式相减，可得数列的通项公式 an= S1,n=1,Sn-Sn-1,n＞1，再根据通项公式进一步研究数列{an}的性质。在高三数学有关数列性质的教学中，有必要重视差分思想。本文结合一道高考题，体会差分思想在成功解决数列问题中的意义。

高考结束，笔者正试做2011年的江苏高考数学试卷，恰好任教班级的几位学生相约而来，向我畅谈考试的感受。“试卷Ⅰ第20题之前的试题比较常规，高考前的模考中有类似题型，要说有难度的就是解答题部分的那道数列题。”这是他们对于试卷Ⅰ的评价。于是，我们共同探讨第20题。

例1：设M为部分整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意的整数k∈M，当整数n＞k时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立。（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3,4}，求数列{an}的通项公式。探讨活动的细节笔录如下。

考生1说，这道数列题的第一小问并不难，为第二小问的探究活动起着铺垫作用。由题知，当n＞k=1时，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），根据an= S1,n=1,Sn-Sn-1,n＞1，通过数列的通项公式展开移项，得Sn+1-Sn=

Sn-Sn-1+2，即an+1-an=2（n＞1），所以在数列{an}中，a2,a3,a4…是一个首项与公差都等于2的等差数列，可得an=2+（n-2）×2=2n-2（n＞1），所以a5=8。（考生1喜悦之情溢于言表）。“这是典型的运用差分思想解决数列问题案例，属于常规思路。”我为他们高兴。

“试题的真正难度在第2小问。”考生2插嘴道，“当k∈M={3,4}且n＞k时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk），根据差分思想解答数列问题的思路，可得Sn+1+k+Sn+1-k=2（Sn+1+Sk），两式相减得an+1+k+an+1-k=2an+1，它是等差数列的必要条件。”考生2继续说：“移项得an+1+k-an+1=an+1-an+1-k，即an+4-an+1=an+1-an-2（k=3,n＞3）①，an+5-an+1=an+1-an-3（k=4,n＞4）②，继续深入处理这两个关系式中所涵盖的信息，论证数列的性质成为解题的关键，我也没能继续做下去。”

那么，①、②两式形式不同，能得什么结论呢？一时陷入沉思之中：数列{an}已经呈现等差数列的特征，如果属于等差数列，必须论证2an=an+1+an-1（n＞），即确保数列{an}（n＞1）任意连续三项之间满足等差中项关系，然后结合a1=1求出公差的大小。

继续审视①、②两式，寻找两式的共同点。在笔者引领下，他们仔细观察，发现两个式子中n的取值范围有差异。考生3注意到在①式中，至少有a2，a5，a8，a11，a14，…成等差数列，还有a3，a，a9，…a4，a7，a10，…分别也成等差数列，下标均是以3为公差的等差数列中的数。（考生4补充道：这几个等差数列中没有a1的影子。）这些都是等差数列的必要条件，不足以得出数列{an}是等差数列结论。

有规律可循吗？可否整合为一体？通过抽象概括，逐步抽象出該数列如下性质：an，an+3，an+6，an+9，…（n≥2），即an-6，an，an+3，an+6，…（n≥8）为等差数列；类似的，在②式中，至少有a2，a6，a10，a14， …成等差数列，下标是以4为公差的等差数列，类似的，抽象出an，an+4，an+8，an+12，…（n≥2），即an-6，an-2，an+2，an+6， …（n≥8）成等差数列。

综上所述，当（n≥8）时，进一步分别可得2an=an+3+an-3=an+6+an-6③，且an+6+an-6=an+2+an-2④。故当(n≥8)时，2an=an+2+an-2⑤，这与要推导的2an=an+1+an-1（n＞1）还有一些距离。

“好！”由于受能力与时间限制，虽然他们在考场上没有给出更多的思考过程，但我也为考生3的“马后炮”大声叫好。我们继续依照差分思想探究下去。在⑤式中，以n-1代换n，可得当n≥9时，an-3，an-1，an+1，an+3成等差数列；联立③、④、⑤式，我们得到了2an=an+1+an-1（n≥9）。“注意到n≥9，这表明数列{an}中的项a8，a9，a10，…构成等差数列，设公差等于d。可别高兴过早，毕竟n≥9。”考生5及时提醒道。那么，数列{an}的前7项之间关系如何呢？我们又陷入了思索中。不过，我们凭直觉猜想到数列{an}应该至少从项a2开始构成一个等差数列。

回过头，再看先后得到的几个有意义的结论。根据③式，可知当n≥8时，2an=an-6+an+6⑥，其中an，an+6定是等差数列a8，a9，a10，…中的项。当n≥14时，连同an-6也是等差数列a8，a9，a10，…中的项。

没有比差分更有效的工具了。在③式中，再以n+1代换n，当n≥7时，2an+1=an-5+an+7⑦。⑥、⑦两式相减，当8≤n≤14（只要8≤n≤14就足够了）时，得2（an+1-an）=an-5-an-6+（an+7-an+6），移项得an-5-an-6=2d-d=d，具体地说就是a3-a2=a4-a3=…=a8-a7=d，所以在数列{an}中，a2，a3，a4，…是一个公差为d的等差数列。看，我们又成功地迈出了一大步。那么如何求公差d呢？计算可得d=2，数列{an}的通项公式为an=2n-1.（过程略）

反思与评价：其一，差分思想在判断数列是否为等差或等比数列的过程中起着关键作用；其二，运用差分思想时，注意n的取值范围的变化；其三，解答有关数列问题的过程中，注意运用差分的思想方法，提高推理论证能力；其四，差分思想在解决等差数列问题中比较重要，要切实抓住等差数列的本质。不过，由于难度太大，时间紧，多数考生望而却步。从高考选拔的角度看，其区分度不明显。

（邳州市炮车中学）