基于ARIMA模型在社会消费品零售总额预测中的应用

战毅 李亚杰

[摘要]为了研究ARIMA模型对经济数据的预测，本文利用统计软件EViews7.2，通过分析我国社会消费品零售总额从2003年1月到2010年12月的月度数据，建立了八种不同参数的乘法季节ARIMA模型。根据模型的预测精度、检验结果，本文确定了最优预测模型ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12，并运用该模型来预测我国2011年1月至12月的社会消费品零售总额，并与2011年实际数值进行比较，拟合效果良好。对于2012年的展望，笔者认为，其值仍将呈速度较快的上升趋势。

[关键词]乘法季节ARIMA模型社会消费品零售总额预测差分检验

一、引言

社会消费品零售总额（social retailgoods）（文中用SR简称）是指批发和零售业、住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社会集团的社会消费品零售总额。它能反映一定时期内人民物质文化生活水平的提高情况，反映社会商品购买力的实现程度，以及零售市场的规模状况。

ARIMA 模型是用于一个国家或地区经济和商业预测中比较先进适用的时间序列模型之一。本文将以我国2003年至2010年SR历史数据为样本，通过ARIMA 模型,试图发现我国社会消费品零售总额的内在规律，进行后期预测，并通过与2011年数据比较检验来探究模型的准确性。然而，在对含有季节、趋势等成分的时间序列进行ARIMA模型预测时，就不能像对纯粹的满足可解条件的ARIMA模型那么简单了，一般的ARIMA模型有多个参数，没有季节成分可以记为ARIMA(p,d,q)，其中d代表差分的阶数。在有已知的固定周期S时，模型多了四个参数，可记为ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s。

二、模型的建立

本文以我国2003年至2010年96个月的SR历史数据为样本进行分析。来源：http://www.stats.gov.cn/was40/gjtjj_data_outline.jsp(国家统计局网站)。 数据趋势如图1所示。

1.数据分析及平稳化

在ARMA 模型中，时间序列是由一个零均值的平稳随机过程产生的。也就是说，这个过程的随机性质在时间上保持不变，在图形上表现为所有样本点都在某一水平线随机上下波动。因此，对于非平稳时间序列，需要预先对时间序列进行差分平稳化处理。

(1)平稳性检验

利用Eviews7.2绘制2007年~2010年我国社会消费品零售总额的时间序列数据{Xt}，如图1。通过图1看出，我国SR序列具有明显的非平稳性，呈现上升趋势。

(2)对变量{Xt}进行差分

对变量{Xt}进行对数处理，即{LnXt}，得到{Wt}。对其进行一阶差分，得到{Yt}，需要通过ADF识别其平稳性。利用EViews7.2，用ADF方法对差分序列进行平稳性检验，发现ADF=-3.33，而比1%置信水平上的临界值大，所以应该接受θ=0的原假设，即一阶差分所得序列有单位根。可以断定，{Yt}仍表现为非平稳序列，因此要做第二次差分。第二次差分后，得到{Zt}，如图2。用同样的ADF方法检验，得到ADF=-10.79，比1%、5%和10%置信水平上的临界值都小，因此{Zt}为平稳序列。

(3)对变量进行季节差分

继续用EViews7.2画出{Zt}的自相关图，如图3。可以看出{Zt}仍具有一定的季节性。显然这也符合实际情况。例如，过年过节期间消费品零售量会增大，而年后节后出现减少的现象。因此对其进行季节差分(步长12)，得到{Ut}自相关函数图，如图4。不难发现，经过两次差分和一次季节差分，自相关函数只在滞后1阶处呈现相关性。{Ut}是平稳序列。

（4）白噪声检验

在{Ut}平稳的情况下, 进一步做{Ut}的白噪聲检验。依据Q统计量检验法，仍根据图4，只观察滞后6，12,18，发现P值在滞后6,12,18均为0。由于平稳序列通常具有短期相关性，只要序列时期足够长，自相关系数都会收敛于0。因此，此时可以拒绝原假设，即{Ut}不是白噪声过程。也就是说，此模型可以用ARIMA模型进行分析和预测。当然，直接用EViews7.2中的“simple hypothesis test”，设置均值为0进行检验，也可以得到相同的结果。

2.时间序列模型的建立

(1）模型识别

在这里，笔者用ARMA模型进行识别，但很多系数估计值在显著性水平下不显著，即ARMA拟合效果不理想，因此，我们决定用乘法季节模型对这些数据进行建模。

根据ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s的形式，我们由上述分析可得d=2，D=1。由于平稳的时间序列的自相关函数和偏相关函数都是托尾的，因此该时间序列适合于ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s模型。从图4分析，{Ut}自相关函数1阶是显著的，并且从第2阶开始下降很大，数值也不太显著，因此我们先设定q值为1。{Zt}的偏自相关函数1-4阶都很显著，并且从第5阶下降很大，因此我们设定 p的可能值为1,2,3,4。相应的，P=Q=1,。于是对于序列{Ut}，我们初步建立了ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s模型，即ARIMA(p,2,q)×(1，1，1)12（p=1，2，3，4）（q=0，1）

(2) 模型估计

以ARIMA(4,2,1)×(1，1，1)12为例，借助EViews7.2进行估计。其中，常数项prob值0.8390，AR（2）为0.5174，AR（3）为0.5084和AR（4）为0.8427，其余在5%的显著性水平下都是不显著的。

三、模型的诊断和检验

同理，我们再来估计ARIMA(1,2,0)×(1，1，1)12和ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12 。我们发现第一个模型的SAR（12）项系数估计值仍不够理想，为0.1466，而第二个模型除常数项的显著水平为0.6320外，其它解释变量的系数估计值在5%水平下均满足。

我们再来看是否存在一个更好的模型。我们采用AIC准则进行定阶，并从中选择最优模型。但同时，我们也要兼顾各系数在检验水平10%下是否显著。表5是我们试验的几个p, q值的AIC信息值。

虽然很多模型的AIC值更小，但其系数均存在不同程度的不显著。因此，我们还是选择ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12作为最终的模型。

下面我们再进行异方差检验。因为若线性回归模型存在异方差性，则用传统的最小二乘法估计模型，得到的参数估计量不是有效估计量，甚至也不是渐近有效的估计量；此时也无法对模型参数的进行有关显著性检验。运用EViews7.2的white检验，显然，不满足异方差性，模型参数可以使用。

四、模型的预测

将2003年~2011年社会消费品零售总额的数据添加到数据表中，用EView7.2进行预测2011年SR值并进行比较。

1.首先选择“dynamic”预测，即除了第一个预测值是用解释变量的实际值预测外，其后各期预测值都是采用递推预测的方法。在参数中，Theil inequality coefficient值为0.0445000，表明预测值比较准确。

2.我们再用“static”预测，即用解释变量的真实值来进行预测。由Theil Inequality Coefficient=0.004182得知，预测的值比较准确。由于static预测的原理，显然较dynamic预测比，static预测更加值得信赖。

3.比较真实值与预测值。这里用Eviews7.2预测2011年1月至12月的值，并与实际值比较算出相对误差：1.46%，0.20%，1.14%，0.52%，0.92%，1.18%，0.99%，0.26%，0.01%，1.24%，0.19%，0.02%。不难看出，2011年1月至12月预测的效果较好，相对误差均在2%以下，即预测值与实际观测值拟合较好。通过AIC值寻找最优模型，把握了序列在预测的变化方向和程度。

4.对2012年预测

笔者在写文章时统计局網站只公布了1月～2月的总体数据,3月份和4月份的数据，因此我们在这里对2012年1至6月进行预测,1和2月的相对误差为1.30%，3月为3.58%，4月为4.34。这里仅供参考。这里由于采用的是dynamic预测（只有1,2月的总和值，无法直接用static预测法），不难发现3月份和4月份的准确度有所下降。

当然在这里，由于有2011年12月及以前的真实数据，因此预测2012年1月和2月数据的误差会很小，因此如果一定要用static预测法，笔者个人认为也可以尝试按2012年1月和2月预测值的比例将两月总和真实值进行分配，并以此作为真实值来预测3、4月份的数据，相信其误差也不会很大。但至于科学性及对将来预测的影响，还需要进一步的考量。

因此，建立的时间序列乘法季节ARIMA模型可以较好的拟合和预测社会消费品零售总额的波动规律和趋势。分析的结果可作为相关政府部门制定政策以及一些零售业卖家制定销售策略的依据。

五、总结

对于2012年，考虑到全球经济状况，我国经济形势，人民生活水平提高，物价上涨，市场竞争激烈等因素，我国社会消费品零售总额能将保持上升态势。该模型也应该能够拟合出较准确的短期预测值。但是，从dynamic预测不难看出，对于长期预测，此模型的准确度相对不足。可以想象，对于预测若干年后的社会消费品零售总额，其准确性将受到质疑。但对于短期预测或与其他很多模型相比，乘法季节ARIMA模型的准确度还是非常可靠的。

参考文献：

[1]Jonathan D.Cryer, Kung-Sik Chan等著；潘红字等译. 时间序列分析及应用（R语言）[M].机械工业出版社，2011

[2]王燕.应用时间序列分析（第二版）[M].中国人民大学出版社，2008

[3]张晓峒.EViews使用指南与案例[M].机械工业出版社，2007

[4]孙敬水.计量经济学学习指导与EViews应用指南[M]. 清华大学出版社，2010

[5]百度百科，社会消费品零售总额[EB/OL]：http://baike.baidu.com/view/191162.htm

[6]赵凌, 张健, 陈涛.基于ARIMA的乘积季节模型在城市供水量预测中的应用[J].水资源与水工程学报, 2011,22（1）