利用若干容器演示统计学中若干规律及类比与归纳

沈兆益

摘要：在《统计学》教学中，有些需要掌握的经济现象，具有相通的原理。而在教学过程中，这些知识点分布于不同章节，各章节侧重于国民经济统计不同方面的知识，未将其中原理相通的知识点串接起来。这些知识点本身存在一定抽象性，且应用于统计学的不同方面，对学生理解造成一定的困难。因此，在教学阶段性复习中，教师可以特别开设一节课，将这些知识的原理与联系通过形象的演示展现出来并进行归纳，这有助于学生理解相关规律，更好地巩固相关知识，并提高学生类比、归纳的能力。

关键词：统计学；规律；能力

在我国职业学校财经专业课程设置中，都开设有“国民统计”或“统计学概论”这一要求较高，较难学习的课程。如在“国民经济统计概论”这一自学考试课程中，因为各个章节的学习各有方向侧重，未能将一些有着共同规律的公式归纳整理起来。如在介绍人口数时，出现了“年末人口数=年初人口数+（出生人口数-死亡人口数）+（迁入人口数-迁出人口数）”。在介绍固定资产的平衡关系时，出现了“年初固定资产+本年增加固定资产-本年减少固定资产=年末固定资产”。在介绍社会商品购买力时，出现了“本期全部商品购买力=本期形成商品购买力+期初结余商品购买力=本期实现的商品购买力+期末结余的商品购买力”，以及“本期全部商品供应量=本期形成的商品供应量+期初结余的商品供应量=本期已实现的商品供应量+期末结余的商品供应量”。类似的具有共同原理的知识分布于“国民经济统计概论”不同章节，针对的是国民统计中不同方面问题，此类公式本身较长，单纯记忆花费时间较多，应该更注重总结规律，提高教学效果。

在教学过程中，或者在复习过程中，利用一节专门的课时进行规律的总结，对于知识的理解和归纳会有很大的帮助。学生通过观察教师的演示并思考，从接触基础知识“流量”与“存量”，总结相关规律，更好地进行理解，贯以教师引导，对一些相关的统计学中有联系的知识进行归纳，形成连接紧密的知识体系，能令学生更好地领会并掌握这一系列的知识。

这一节课，将下列知识概括为一个知识体系：①“流量”与“存量”的理解与区分；②“期初量+新增量-减少量=期末量”类型公式的理解与归纳；③“平均库存”的理解；④“流量周转次数”计算的原理与应用。

以“流量”与“存量”基础知识理解与区分为开始，通过演化得到其他的规律，而后将各个学习章节的相关内容归纳出来，更好地将原本分散的内容联系起来，形成整体，提高学生学习效率。

《统计》课程开设于职业学校中职或高职的二三年级，是财经类自学考试较晚开设的考试科目。十七八岁的职校学生对于抽象规律的总结已经有一定的能力和经验，对于由直观印象转化为知识较有兴趣且喜欢新事物，能够较快建立知识之间的联系并得出规律。但不愿处理较为复杂的记忆工作，并且对知识规律的总结主动性与能力仍较为欠缺，而对于教师已得出的结论乐于接受，并能主动融入自己的知识结构。

这样一节归纳课设计中，应该以展示“流量”与“存量”的内容为开头，注意循序渐进。将最基本的内容介绍分析清楚，而后再将相关公式的规律通过“流量”与“存量”形象化地展现出来，通过类比，得到规律，进而对同类知识进行归纳，进一步发展。在“平均库存”的理解上，应使学生注意求解方式间接与可操作性的原因。在“流量周转”问题中，应使学生注意到“流入”与“流出”的区别。

如何区分“流量”与“存量”是基本的任务，但又是较为困难的任务；对于“流量”与“存量”不断变化的把握，求解平均“流量”与“存量”也是在讲解过程中必须掌握的方面。介绍规律过程中，这些困难是不可回避的。

通过这节课的学习，能够对一系列有联系的知识理解更深一步，记忆知识不再停留在字面意义上，更好地运用相关规律与结论处理有关习题。本节课并不是单纯说教，而是通过使用在统计课上不曾出现过的教具，如能够控制流出量的漏斗，有刻度的烧杯，已经着色的水等实验器具，进行直观或通过多媒体进行演示，并总结规律。如果使用多媒体演示，可以事先做好视频，甚至课后共享；若条件允许，也可以现场操作，让学生动手，进行试验，进行总结。通过采用这一“演示”——“总结”，拓宽学生的思路，牢固掌握知识，并丰富学生的学习经历，加强学生理论联系实际的能力。

教学过程如下。

复习“流量”与“存量”。①流量：反映社会经济现象在一段时间内发展过程的总量。强调特点：各个指标数值相加有意义，指标值的大小与包括的时间长短有直接关系。②存量：反映社会经济现象在某一时刻的总量特点。强调特点：指标不具有可加性，指标值的大小与其时间长短没有直接联系。

演示1：通过漏斗，向一个有刻度的烧杯注水。漏斗也可改为滴定管，可保存水。演示用水事先染色，便于师生观察。开始时，漏斗或滴定管内预存一定的水，计水量①，烧杯内开始时无水。然后向漏斗中均匀倒水，同时漏斗下端出水流入烧杯。一定时间后暂停，此时漏斗中为水量②，可与倒水之前水量不同，此时烧杯内水量计为⑴，而后换一个空烧杯进行下一阶段演示，继续向漏斗中均匀倒水，同时漏斗下端出水流入烧杯。一定时间后暂停，此时漏斗中为水量③，第二个烧杯此时水量计为⑵。

提问：漏斗中流出的水量⑴、⑵，与漏斗中的水量①、②、③，按前后时间段，⑴＋⑵与①＋②＋③哪个有意义，即具有可加性？水量⑴、⑵、①、②、③多少与时间长短是否直接相关？由此推断：哪些是流量，哪些是存量。

通过学生讨论可以得到如下结论：首先，漏斗流出的水量在任何一个时间点利用接水的烧杯都能够记录，前后两个时间段内流出的水量相加⑴＋⑵，可得整个时间段内的流出水量；漏斗内的水量前后时点的数据相加①＋②＋③则没有实际的意义。其次，漏斗流出的水量⑴、⑵时间越长就越多，而漏斗内的水量①、②、③多少与时间长短没有直接的关系。因此，可得漏斗内的水量①、②、③为存量，漏斗流出的水量⑴、⑵为流量。

演示2：在漏斗内存放一些水，即水量①。用有计量刻度的烧杯倒入一定水，可用烧杯刻度计量出流入的水量②。同时漏斗流出的水量为③，最后存在于漏斗中的为水量④。请学生讨论后回答：①、②、③、④间的相等关系，总水量如何表示。通过讨论，可得①+②-③=④或①+②=③+④，总水量为①+②或③+④。教师总结规律：期初量+新增量-减少量=期末量；总量=期初量+新增量=减少量+期末量。然后，要求学生举出此类分布于各章节的知识公式。例如：年末人口数=年初人口数+（出生人口数-死亡人口数）+（迁入人口数-迁出人口数）；年初固定资产+本年增加固定资产-本年减少固定资产=年末固定资产；本期全部商品购买力=本期形成商品购买力+期初结余商品购买力=本期实现的商品购买力+期末结余的商品购买力；本期全部商品供应量=本期形成的商品供应量+期初结余的商品供应量=本期已实现的商品供应量+期末结余的商品供应量。长篇的公式可使用小黑板，多媒体事先准备，以节约时间。或告知学生书本章节或页码。而后可要求学生举例进行补充。若学生对于这些知识的了解较好，也可以填空题的面目出现。

演示3-1：漏斗内放满水后，记录水量a1，使水均匀流出，流空后记录漏斗内水量a2=0。演示3-2：在漏斗内无水，记录水量a1=0。向漏斗倒水，同时漏斗放水，最后存在于漏斗中的为水量a2。演示3-3：漏斗内开始时有一定水量a1，向漏斗倒水，同时漏斗放水，最后存在于漏斗中的为水量a2。这三个演示过程中倒水与流水的过程可遮住漏斗，向学生提问：漏斗中水量倒水过程中的变化不可知，仅知道起初与最后的水量，如何统计这一时间段内漏斗中水量的平均值？学生可根据之前的学习知识回答：平均水量为。之后教师总结规律：存量时刻在变化，为统计简便，间断计数的存量平均数计算用以下方式进行统计：存量的平均数=。利用这一方式，亦得到多次间断计数的存量平均发展水平。

演示3-4，水流入的速度与从漏斗中流出的速度不停变化，可遮住漏斗，把漏斗的水量看做不停变化的未知量，间隔一定时间，记录若干次漏斗中各时间点的水量，计为n次，每次的漏斗中水量为ai，(i=1,2,…n)。分时间间隔相等与不等两种情况，由学生讨论：漏斗内平均水量的求解方式；若流出的水总量为A，经过的总时间为T，则平均流出水量如何求解。

第一种情况：间断计数的水量a1、a2、a3…an，记录间隔时间相等，因计算时认为水量指标值在两个相邻时点间变动是均匀的，相邻两个时点的水量平均数为，即任意两个时点间的水量序时平均数，再将各时间段的平均水量相加，除以总的时间长度n-1。 a==称为首末折半法。

第二种情况：时间间隔不相等，相邻两个时点的水量平均数为，然后再以时间间隔长度fi为权数与之相乘。计算水量使用序时加权算术平均数。公式：a=称为折半加权平均法。单位时间内流出水量为。可知流量平均值（流量的平均发展水平）a=.由教师总结并展示上述公式。

演示4-1：漏斗内开始时有一定水量a1，向漏斗倒水，同时漏斗放水，保持漏斗内的水量不变，流出量与倒入量保持平衡，最后存在于漏斗中的为水量a2=a1，漏斗内流出的水量为3a1时，停止倒水与漏斗放水。

演示4-2：漏斗内开始时有一定水量a1，向漏斗倒水，同时漏斗放水，最后存在于漏斗中的为水量a2，且与a1有明显不同，漏斗内流出的水量为3，即3倍漏斗内平均水量，此时停止倒水与停止漏斗放水。

提问：此两种情况漏斗内的水可视为更新过几次？

对于第一种情况，学生较易判断，漏斗中水量不变，而净流出的水量为漏斗内存水量3倍，可视为漏斗内水量更新了3次。但第二种情况，需要教师引导，学生判断：流出的水量是漏斗中平均水量的3倍，进而得到结论：存量周转次数=。与这一原理相关的在各个章节内出现的内容，有：流动资产周转次数=、商品周转次数=，等。可通过向学生提问，或由学生举例，也可以用小黑板，多媒体文档事先准备，在此时补充。之后，进行之前所提内容的总结。通过演示得到的结论，可让学生理解，并要求将各个不同章节的相关内容整理起来，加深并巩固。最后进行以下演示，并请学生思考。

演示5-1：不往漏斗中倒水，漏斗中的水由满至流干。

演示5-2：往漏斗中倒水，漏斗中的水同样由满至流干，倒入的水量为漏斗容量的2倍，流出的水量自然为漏斗容量的3倍。

演示5-3：往空漏斗中倒水，漏斗中水不流出，漏斗由全空至装满。

演示5-4：往空漏斗中倒水，漏斗中的水同样由空至装满，倒入的水量为漏斗容量的3倍，流出的水量自然为漏斗容量的2倍。

演示5-5：往空漏斗中倒水，但倾倒速度与流出速度相同，且在倾倒过程中，漏斗中始终没有积水，倒入的水量为漏斗容量的3倍。

提问：在以上5种情况中，漏斗内的水可视为更新过几次？

可在事后告诉学生，5-1视为更新2次，5-2视为更新6次，5-3视为更新0次，5-4视为更新4次，5-5视为更新无数次。公式为： 存量周转次数=。

最后，由学生对上述实验现象进行总结，并由教师进行提炼，得到相关知识点的归纳。

进行这一系列的教学演示,有一些注意要点。首先，在教授新课时似乎也可以进行这一教学归纳，但是困难更大。表现为：对于流量和存量，学生如果没有真正区分两者，是很难理解并联想到水流的问题中去；初学知识时对于这一系列的规律运用于国民经济统计的哪些方面并无认识，在之后接触到时，又将会有对这一系列的演示回忆的困难；包含演示所含规律的知识分布于较多章节中，经过一段时间的遗忘，对演示的记忆不深刻，回忆也是细碎而不系统的，反而让学生感觉这一演示很牵强，不会主动进行知识的总结。所以，在复习课中展示更能有较好的效果。其次，需要教师事先准备仪器，仪器设备的操作对于教师来说，是个很大的考验。若在课堂上现场演示，一旦失误就要重新开始，造成课堂拖沓，因此需要教师在之前进行针对性训练。或者事先将演示拍摄下来，删去操作失误的部分，视频剪辑整理后可以在课堂上播放，并且制作多媒体课件配合讲解。作为一堂复习课，这样做所花的工夫比同类课程多很多，但课件与视频有一定的保存价值，可重复使用并改进。

通过演示，加强“流量”与“存量”原理的接触与直观认识，能拓宽学生思路，使学生更好地理解国民统计各章节有联系的知识。以“流量”与“存量”的区别与联系作为基础，通过直观认识进行理解，有系统地将平均存量、流量与存量共同影响下的存量周转次数等知识贯穿起来。演示的同时，逐步地进行知识归纳与提炼，揭示规律，巩固学生的知识，构建牢固的知识体系。通过从不同的角度解决原本抽象知识的学习，更能拓宽学生思路，使知识印象鲜明。通过这样一系列演示教学，一些通过单纯逐章复习难以很好掌握的知识点，可以更好地为学生所接受，使学生更有效率地学习。

参考文献：

[1]娄庆松,曹少华.统计基础知识[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]黄书田,刘娟.国民经济统计概论[M].北京:中国人民大学出版社,2004.

（无锡高等师范学校）